新版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件: 第5章 數(shù)列 第4節(jié) 數(shù)列求和學(xué)案 理 北師大版

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1、 1

2、 1 第四節(jié) 數(shù)列求和 [考綱傳真] (教師用書獨(dú)具)1.掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.2.掌握特殊的非等差、等比數(shù)列的幾種常見的求和方法. (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第87頁) [基礎(chǔ)知識(shí)填充] 1.公式法 (1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式: Sn==na1+d; (2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式: Sn= 2.幾種數(shù)列求和的常用方法 (1)分組求和法:一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式

3、是由若干個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列組成的,則求和時(shí)可用分組求和法,分別求和而后相加減. (2)裂項(xiàng)相消法:把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差,在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消,從而求得前n項(xiàng)和.裂項(xiàng)時(shí)常用的三種變形: ①=-; ②=; ③=-. (3)錯(cuò)位相減法:如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的,那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法求解. (4)倒序相加法:如果一個(gè)數(shù)列{an}與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù),那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法求解. (5)并項(xiàng)求和法:一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中,可兩兩結(jié)合求解,則稱之為并項(xiàng)求和.形如

4、an=(-1)nf(n)類型,可采用兩項(xiàng)合并求解. 例如,Sn=1002-992+982-972+…+22-12 =(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5 050. [基本能力自測(cè)] 1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”) (1)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列,且公比不等于1,則其前n項(xiàng)和Sn=.(  ) (2)當(dāng)n≥2時(shí),=.(  ) (3)求Sn=a+2a2+3a3+…+nan之和時(shí)只要把上式等號(hào)兩邊同時(shí)乘以a即可根據(jù)錯(cuò)位相減法求得.(  ) (4)如果數(shù)列{an}是周期為k(k為大于1的正整數(shù))的周期數(shù)列,那么Skm=mSk.( 

5、 ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2.(教材改編)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若an=,則S5等于(  ) A.1      B. C. D. B [∵an==-, ∴S5=a1+a2+…+a5=1-+-+…-=.] 3.?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=,前n項(xiàng)和為9,則n等于(  ) A.9 B.99 C.10 D.100 B [∵an==-,∴Sn=a1+a2+…+an=(-)+(-)+…+(-)+(-)=-1,令-1=9,得n=99,故選B.] 4.?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,則S17=___

6、_____. 9 [S17=1-2+3-4+5-6+…+15-16+17=1+(-2+3)+(-4+5)+(-6+7)+…+(-14+15)+(-16+17)=1+1+1+…+1=9.] 5.若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n+2n-1,則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=__________. 2n+1-2+n2 [Sn=+=2n+1-2+n2.] (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第87頁) 分組轉(zhuǎn)化求和  (20xx·北京高考)已知{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4. (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)cn=an+bn,求數(shù)

7、列{cn}的前n項(xiàng)和. [解] (1)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q, 則q===3, 所以b1==1,b4=b3q=27,所以bn=3n-1(n=1,2,3,…). 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d. 因?yàn)閍1=b1=1,a14=b4=27, 所以1+13d=27,即d=2. 所以an=2n-1(n=1,2,3,…). (2)由(1)知an=2n-1,bn=3n-1. 因此cn=an+bn=2n-1+3n-1. 從而數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和 Sn=1+3+…+(2n-1)+1+3+…+3n-1 =+=n2+. [規(guī)律方法] 分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型 (1)若an =bn±

8、cn,且{bn},{cn}為等差或等比數(shù)列,則可采用分組求和法求{an}的前n項(xiàng)和. (2)通項(xiàng)公式為an=的數(shù)列,其中數(shù)列{bn},{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列,可采用分組求和法求和. 易錯(cuò)警示:注意在含有字母的數(shù)列中對(duì)字母的分類討論. [跟蹤訓(xùn)練] (20xx·南昌一模)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=1,S3+S4=S5. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)令bn=(-1)n-1an,求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和T2n. [解] (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d, 由S3+S4=S5可得a1+a2+a3=a5,即3a2=a5, ∴3(1+d)=1+4d

9、,解得d=2. ∴an=1+(n-1)×2=2n-1. (2)由(1)可得bn=(-1)n-1·(2n-1). ∴T2n=1-3+5-7+…+(2n-3)-(2n-1) =(-2)×n=-2n. 裂項(xiàng)相消法求和  (20xx·全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n. (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和. [解] (1)因?yàn)閍1+3a2+…+(2n-1)an=2n,故當(dāng)n≥2時(shí), a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2(n-1), 兩式相減得(2n-1)an=2, 所以an=(n≥2). 又由題設(shè)可得a

10、1=2,滿足上式, 所以{an}的通項(xiàng)公式為an=. (2)記的前n項(xiàng)和為Sn. 由(1)知==-, 則Sn=-+-+…+-=. [規(guī)律方法] 利用裂項(xiàng)相消法求和的注意事項(xiàng),(1)抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng),也有可能前面剩兩項(xiàng),后面也剩兩項(xiàng).,(2)消項(xiàng)規(guī)律:消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng),后邊就剩幾項(xiàng),前邊剩第幾項(xiàng),后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng).,(3)將通項(xiàng)裂項(xiàng)后,有時(shí)需要調(diào)整前面的系數(shù),使裂開的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)相等.如:若{an}是等差數(shù)列,則=,=. [跟蹤訓(xùn)練] (20xx·石家莊一模)已知等差數(shù)列{an}中,2a2+a3+a5=20,且前10項(xiàng)和S10=100. (1)

11、求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)若bn=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):79140181】 [解] (1)由已知得 解得 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=1+2(n-1)=2n-1. (2)bn==, 所以Tn= ==. 錯(cuò)位相減法求和  (20xx·山東高考)已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且a1+a2=6,a1a2=a3. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2){bn}為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn.已知S2n+1=bnbn+1,求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn. [解] (1)設(shè){an}的公比為q, 由題意知a1(1+q)=6,a

12、q=a1q2, 又an>0,由以上兩式聯(lián)立方程組解得a1=2,q=2, 所以an=2n. (2)由題意知S2n+1==(2n+1)bn+1, 又S2n+1=bnbn+1,bn+1≠0, 所以bn=2n+1. 令cn=,則cn=. 因此Tn=c1+c2+…+cn =+++…++, 又Tn=+++…++, 兩式相減得 Tn=+-, 所以Tn=5-. [規(guī)律方法] (1)錯(cuò)位相減法求和的適用范圍 如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時(shí),可采用錯(cuò)位相減法求和. (2)錯(cuò)位相減法求和的注意事項(xiàng) ①在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)

13、式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn-qSn”的表達(dá)式. ②在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí),若等比數(shù)列的公比為參數(shù),應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解. [跟蹤訓(xùn)練] (20xx·石家莊質(zhì)檢(二))已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若Sm-1=-4,Sm=0,Sm+2=14(m≥2,且m∈N+). 【導(dǎo)學(xué)號(hào):79140182】 (1)求m的值; (2)若數(shù)列{bn}滿足=log2bn(n∈N+),求數(shù)列{(an+6)·bn}的前n項(xiàng)和. [解] (1)由已知得am=Sm-Sm-1=4, 且am+1+am+2=Sm+2-Sm=14, 設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,

14、則2am+3d=14, ∴d=2. 由Sm=0,得ma1+×2=0,即a1=1-m, ∴am=a1+(m-1)×2=m-1=4, ∴m=5. (2)由(1)知a1=-4,d=2,∴an=2n-6, ∴n-3=log2bn,得bn=2n-3. ∴(an+6)·bn=2n×2n-3=n×2n-2. 設(shè)數(shù)列{(an+6)·bn}的前n項(xiàng)和為Tn, ∴Tn=1×2-1+2×20+…+(n-1)×2n-3+n×2n-2,?、? 2Tn=1×20+2×21+…+(n-1)×2n-2+n×2n-1,?、? ①-②,得-Tn=2-1+20+…+2n-2-n×2n-1 =-n×2n-1 =2n-1--n×2n-1, ∴Tn=(n-1)·2n-1+(n∈N+).

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