《高等數(shù)學：第三章 第五節(jié) 極值》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高等數(shù)學：第三章 第五節(jié) 極值（40頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第五節(jié) 函數(shù)的極值與最大最小值 一、函數(shù)極值及其求法 二、最大最小值問題 三、小結(jié)一、函數(shù)的極值及求法一、函數(shù)的極值及求法 點點x1和和x3有一個共同特征：有一個共同特征：),(),()(1333133 xxxxxU 的去心鄰域的去心鄰域3x)()()(33xfxfxUx 總總有有，時時當當對對 同理同理1x2xa4x5x3x1xbyx01 1 它們都是區(qū)間它們都是區(qū)間( a , b ) 的內(nèi)部點，的內(nèi)部點， 同時，如同時，如 x3，在其左右兩，在其左右兩側(cè)的鄰近小范圍內(nèi)，總有側(cè)的鄰近小范圍內(nèi)，總有f (x) 0，當當時時 f (x) 0 ，則點則點為為 f (x) 的一的一 個極大值點個極大
2、值點， 為為 f (x) 的一個極大值。的一個極大值。 的左側(cè)變到右側(cè)時，的左側(cè)變到右側(cè)時，f (x) 的符號由的符號由正變負，正變負，則則即為即為 f (x) 的一個極大值點。）的一個極大值點。） 時時 f (x) 0 ，則點則點為為 f (x) 的一的一個極小值點，個極小值點，為為 f (x) 的一個極小值。的一個極小值。 （3）如果當）如果當),(00 xxx ),(00 xxx0 x說明：該定理對駐點和導數(shù)不存在的點都適用。說明：該定理對駐點和導數(shù)不存在的點都適用。和和時時 f (x) 不變號，不變號，處無極值處無極值 。 （1）如果當）如果當 ),(00 xxx ),(00 xxx0
3、 x)(0 xf定理定理2 : 設設 f (x) 在在),()(000 xxxU內(nèi)連續(xù)，內(nèi)連續(xù)，)( (0可可以以不不存存在在xf（當（當 x 由由0 x0 x,)(0內(nèi)內(nèi)可可導導在在xU時時 f (x) 0，當當時時 f (x) 0 ，則點則點為為 f (x) 的一的一 個極大值點個極大值點， 為為 f (x) 的一個極大值。的一個極大值。 的左側(cè)變到右側(cè)時，的左側(cè)變到右側(cè)時，f (x) 的符號由的符號由正變負，正變負，則則即為即為 f (x) 的一個極大值點。）的一個極大值點。） 則則 f (x) 在點在點 求函數(shù)求函數(shù) f (x) 的極值和極值點的步驟（一）的極值和極值點的步驟（一）（1
4、）求導數(shù)）求導數(shù) f (x) ；（2）求出）求出 f (x) 的全部駐點，即的全部駐點，即 f (x) = 0 的點；的點；（3）找出）找出 f (x) 的所有不可導的點；的所有不可導的點；（4）用定理）用定理 2 判斷每一個駐點和每一個不可判斷每一個駐點和每一個不可 導的點是否為極值點？如果是，是極大值導的點是否為極值點？如果是，是極大值 點還是極小值點？點還是極小值點？（5）計算出各極值點處的函數(shù)值，即為所求函）計算出各極值點處的函數(shù)值，即為所求函 數(shù)的全部極值。數(shù)的全部極值。例例1:求求 的單調(diào)增減區(qū)間和極值的單調(diào)增減區(qū)間和極值32) 1() 1()( xxxf解：（解：（1）先求導數(shù)）
5、先求導數(shù)223) 1() 1( 3) 1() 1( 2)( xxxxxf) 15() 1() 1(2 xxx（2）令）令0)( xf1,2 . 0,1 xxx（3）用所求駐點將（）用所求駐點將（ ， ） 分為四部分并列表分為四部分并列表)1,( )( xf)2. 0,1( 1 2 . 0)1,2. 0 (1),1 ( )(xfx 0 00 0312534560否否極大極大極小極小，得駐點，得駐點結(jié)論：結(jié)論： 單調(diào)增加區(qū)間：單調(diào)增加區(qū)間：),1(, )2. 0,( 單調(diào)減少區(qū)間：單調(diào)減少區(qū)間：)1,2. 0 ( 點點 x = 0 . 2 為極大值點，為極大值點，31253456)2 . 0( f
6、 點點 x = 1 為極小值點，為極小值點，0) 1 ( f 點點 x = -1 為駐點，但不是極值點。為駐點，但不是極值點。1 1510 xy為極大值為極大值為極小值為極小值例例2:求求 的單調(diào)增減區(qū)間和極值的單調(diào)增減區(qū)間和極值3223)(xxxf 解：解：311)( xxf311x 令令, 0)( xf得駐點得駐點 x = 1 ,又又 x = 0 為不可導點為不可導點)( xf)(xf)0,( 不存在不存在)1,0 (),1 ( 010極大值極大值21 極小值極小值 在在( , 0) 和和( 1 , + ) 上單調(diào)增加，在上單調(diào)增加，在( 0 , 1 )上上單調(diào)減少，單調(diào)減少，f ( 0
7、) = 0 為極大值，為極大值， f ( 1 ) = 0.5 為為 極小值極小值0 x例例3 3解解.593)(23的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxxxf963)(2 xxxf，令令0)( xf. 3, 121 xx得駐點得駐點列表討論列表討論x)1,( ), 3( )3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00 極大值極大值極小值極小值)3(f極小值極小值.22 )1( f極大值極大值,10 )3)(1(3 xx593)(23 xxxxfMm圖形如下圖形如下問題：問題：對于駐點，是否有比較簡便的方法進一步對于駐點，是否有比較簡便的方法進一步判斷其是否為極值點？判斷其是否為極值點？定理定理3
8、：（駐點為極值點的充分條件）：（駐點為極值點的充分條件）設設 ，0)( 0 xf 存在，則有存在，則有)( 0 xf（1）如果）如果 ，則，則 為為 的極小值；的極小值；0)( 0 xf)(0 xf)(xf（2）如果）如果 ，則，則 為為 的極大值；的極大值；0)( 0 xf)(0 xf)(xf（3）如果）如果 ，定理失效。，定理失效。0)( 0 xf證明證明: (1)000)( )( lim)( 0 xxxfxfxfxx 0)( lim00 xxxfxx 存在存在 的某個去心鄰域的某個去心鄰域 ，0 x)(0 xU,)(0時時當當xUx )(0)( 00 xxxxxf 因此，當因此，當 時，
9、時，0 xx 0)( xf當當 時，時，0)( xf0 xx 由由定理定理 2 ， 為極小值為極小值)(0 xf例例3：求函數(shù)求函數(shù) 的極值的極值1) 1()(32 xxf解：（解：（1）xxxf2) 1(3)( 22 22) 1(6 xx，0)( xf（2）令）令得駐點得駐點1, 0,1321 xxx（3）) 15( ) 1(6)(22 xxxf（4）) 10( ) 10(6)0( f06 f (x) 在在 x = 0 處取極小值。處取極小值。定理定理 3 失效，改用定理失效，改用定理 2, 0) 1 ( ) 1( ff又又 當當 x 從從 1 的左邊變到右邊時，的左邊變到右邊時，0)( x
10、f故故 f (-1)不是極值；同理知，不是極值；同理知，f (1) 也不是極值也不是極值 不變號不變號, 0)125( )12(6)2( 22 f又又所以所以 f (2) 為極小值為極小值 求函數(shù)求函數(shù) f (x) 的極值和極值點的步驟（二）的極值和極值點的步驟（二）（1）求導數(shù)）求導數(shù) f (x) ；（2）求出）求出 f (x) 的全部駐點，即的全部駐點，即 f (x) = 0 的點；的點；（3）找出）找出 f (x) 的所有不可導的點；的所有不可導的點；（4）對每一個駐點，用定理）對每一個駐點，用定理 2 或定理或定理 3 判判 斷其是否為極值點，對每一個不可導點，斷其是否為極值點，對每一
11、個不可導點， 用定理用定理 2 判斷其是否為極值點；判斷其是否為極值點；（5）計算出各極值點處的函數(shù)值，即為所求函）計算出各極值點處的函數(shù)值，即為所求函 數(shù)的全部極值。數(shù)的全部極值。二、二、 最大值與最小值，極值的應用最大值與最小值，極值的應用（一）最大值與最小值（一）最大值與最小值 若若 y = f (x) 在在 a , b 上連續(xù)，則它一定在區(qū)上連續(xù)，則它一定在區(qū) 間間 a , b 上取最大值和上取最大值和最小值。最小值。) )()()()(00 xfxfxfxf 或或則稱則稱 為為 f (x) 在在 上的最大（或最?。┲瞪系淖畲螅ɑ蜃钚。┲?ba)(0 xf 最大最小值概念是全局性的，而
12、極值則是局部的概念。最大最小值概念是全局性的，而極值則是局部的概念。 問題：問題： 如何求如何求 y = f (x) 在在 a , b 上的最大或最小值上的最大或最小值？設設 f ( x ) 在在 a , b 上有定義，上有定義，,0bax 有有若若,bax 結(jié)論：結(jié)論：函數(shù)在函數(shù)在 a , b 上的最大最小值點必包含在上的最大最小值點必包含在函數(shù)的駐點、導數(shù)不存在的點和區(qū)間的端點之中。函數(shù)的駐點、導數(shù)不存在的點和區(qū)間的端點之中。假設：假設：f (x) 在在 （ a , b ）內(nèi)除有限個點外處處可導，）內(nèi)除有限個點外處處可導，且駐點的個數(shù)也是有限的。且駐點的個數(shù)也是有限的。（1）若最大值或最小
13、值在區(qū)間內(nèi)部取得，）若最大值或最小值在區(qū)間內(nèi)部取得，則它們也是極值。則它們也是極值。（2）最大值或最小值可以在區(qū)間的端點上取得。）最大值或最小值可以在區(qū)間的端點上取得。（3）函數(shù)的極值點必包含在函數(shù)的駐點和導函數(shù)的極值點必包含在函數(shù)的駐點和導數(shù)不存在的點中。數(shù)不存在的點中。求連續(xù)函數(shù)在求連續(xù)函數(shù)在 a , b 上最大最小值的步驟：上最大最小值的步驟：（1）求出函數(shù)在）求出函數(shù)在 （ a , b ） 內(nèi)的全部內(nèi)的全部駐點，即駐點，即在在 ( a , b ) 內(nèi)內(nèi)使使 f (x) = 0 的全部點；的全部點；（2）求出函數(shù)在）求出函數(shù)在 ( a , b ) 內(nèi)內(nèi)所有不可導的點；所有不可導的點；（3
14、）比較函數(shù)在駐點、不可導點以及區(qū)間端點）比較函數(shù)在駐點、不可導點以及區(qū)間端點處的函數(shù)值的大小，最大者（或最小者）即為處的函數(shù)值的大小，最大者（或最小者）即為函數(shù)在該閉區(qū)間上的最大值（或最小值）。函數(shù)在該閉區(qū)間上的最大值（或最小值）。例例1：求函數(shù)：求函數(shù) 在在 和和 上的最大值和最小值。上的最大值和最小值。4,3 解：解：1266)( 2 xxxf)2)(1( 6 xx0)( xf令令得駐點：得駐點：1,221 xx0,3 （1）在閉區(qū)間）在閉區(qū)間 上上4,3 )4,3(1,)4,3(221 xx142)4(,23)3(,7) 1 (,34)2( ffff且且 最大值為最大值為 f (4) =
15、 142 ，最小值為，最小值為 f (1) = 7 （2）在閉區(qū)間）在閉區(qū)間 上上0,3 )0,3(1,)0,3(221 xx14)0( f且且 最大值為最大值為 f (-2) = 34 ，最小值為，最小值為 f (0) = 14 141232)(23 xxxxf14123223 xxxy.4, 3|23|)(22和最小值和最小值上的最大值上的最大值在在求求例例 xxxf解：解：| )1)(2( |)( xxxf 21, )1)(2(4213,)1)(2(xxxxxxx或或,4213時時或或當當 xx, 32)( xxf,21時時當當 x, 32)( xxf, 0)( xf令令, 5 . 1
16、x得唯一駐點得唯一駐點1,2xx分分段段點點,20)3( f, 0)2()1( ff,25. 0)5 . 1( f, 6)4( f.4, 3|23|)(22和最小值和最小值上的最大值上的最大值在在求求例例 xxxf解：解：| )1)(2( |)( xxxf 21, )1)(2(4213,)1)(2(xxxxxxx或或,20)3( f, 0)2()1( ff,25. 0)5 . 1( f, 6)4( f上的最大值上的最大值在在為為4, 3)(20)3( xff上的最小值上的最小值在在為為4, 3)(0)2()1( xfff幾點注記：幾點注記：（1）若）若 f (x) 在在 a , b 上單調(diào)增加
17、（或減少）上單調(diào)增加（或減少）則則 f (a) （或（或 f (b) ）為最小值，）為最小值，f (b) （或（或 f (a) ）為最大值。為最大值。（2）如果）如果 f (x) 在在 a , b 上連續(xù)，在上連續(xù)，在 ( a , b )內(nèi)內(nèi)有唯一駐點，且該駐點為極大值點，則該極大有唯一駐點，且該駐點為極大值點，則該極大值點就是最大值點。同樣，若該駐點為極小值值點就是最大值點。同樣，若該駐點為極小值點，點，則它就是最小值點。則它就是最小值點。 xy0ba0 x0abxy0 x例例3 3形面積最大形面積最大所圍成的三角所圍成的三角及及線線處的切線與直處的切線與直使曲線在該點使曲線在該點上求一點，
18、上求一點，曲邊曲邊成一個曲邊三角形，在成一個曲邊三角形，在圍圍及拋物線及拋物線，由直線由直線808022 xyxyxyxyTxyoPABC2xy 解解如圖如圖,),(00yxP設設所所求求切切點點為為的斜率為的斜率為則切線則切線PT),(2000 xxxyy ,200 xy ),0,21(0 xA)16, 8(200 xxB ),0, 8(C)16)(218(212000 xxxSABC 0(016)xTxyoPABC2xy ,2|00 xykxx 的方程為的方程為切線切線PT,2200 xxxy , 0)1616643(41020 xxS令令解得解得).(16,31600舍去舍去 xx8)3
19、16( s. 0 .274096)316(為極大值為極大值 s.274096)316(最最大大者者為為所所有有三三角角形形中中面面積積的的 sTxyoPABC2xy ,16230 xs唯一駐點為極大值點，由注記唯一駐點為極大值點，由注記2可知，可知，)16)(218(212000 xxxSABC 0(016)x注記注記 3：有些實際問題，往往可以根據(jù)問題的有些實際問題，往往可以根據(jù)問題的性質(zhì)斷定所考慮的函數(shù)性質(zhì)斷定所考慮的函數(shù) 一定有最大或最小一定有最大或最小值，且一定在所考慮的區(qū)間內(nèi)部取得，這時如值，且一定在所考慮的區(qū)間內(nèi)部取得，這時如 果函數(shù)果函數(shù) 在該區(qū)間內(nèi)部有唯一駐點在該區(qū)間內(nèi)部有唯一
20、駐點 ，則，則 就是所求最大或最小值點，就是所求最大或最小值點， 即為所求即為所求最大或最小值。最大或最小值。 )(xf)(xf0 x0 x)(0 xf例例4. 敵人乘汽車從河的北岸敵人乘汽車從河的北岸A處以處以1千米千米/分鐘分鐘的速度向正北逃竄，同時我軍摩托車從河的的速度向正北逃竄，同時我軍摩托車從河的南岸南岸B處向正東追擊，處向正東追擊，速度為速度為2千米千米/分鐘分鐘B 與與 A的水平距離為的水平距離為4公里，河公里，河寬寬0. 5 公里，問我軍摩托公里，問我軍摩托車何時射擊最好（相車何時射擊最好（相距最近射擊最好）？距最近射擊最好）？公里公里5 . 0公公里里4B A )(tsBCA
21、解解 (1)建立敵我相距函數(shù)關(guān)系建立敵我相距函數(shù)關(guān)系).(分分追擊至射擊的時間追擊至射擊的時間處發(fā)起處發(fā)起為我軍從為我軍從設設Bt敵我相距函數(shù)敵我相距函數(shù)22)24()5 . 0()(ttts )(ts.)()2(的最小值點的最小值點求求tss )(ts.)24()5 . 0(5 . 7522ttt , 0)( ts令令得唯一駐點得唯一駐點. 5 . 1 t.5 . 1分鐘射擊最好分鐘射擊最好處發(fā)起追擊后處發(fā)起追擊后故得我軍從故得我軍從B公里公里5 . 0公公里里4A )(tsBCA例例5：要做一個容積為：要做一個容積為 V 的圓柱形罐頭筒，怎的圓柱形罐頭筒，怎樣設計才能使所用材料最?。繕釉O計
22、才能使所用材料最省？hr解：設罐頭筒的底半徑為解：設罐頭筒的底半徑為 r ,高為高為 h , 總表面積為總表面積為 S顯然，材料最省，就是要顯然，材料最省，就是要總表面積總表面積 S 最小。最小。,222hrrS ,2hrV 2rVh ,222rVrS ),0( r224rVrS 23)2( 2rVr 320 VrS 得得令令根據(jù)實際問題可以斷定，總表面積一定存在最根據(jù)實際問題可以斷定，總表面積一定存在最小值而且一定在小值而且一定在 內(nèi)部取得，現(xiàn)在表面內(nèi)部取得，現(xiàn)在表面積函數(shù)積函數(shù) S 在在 內(nèi)僅有一個駐點，所以該內(nèi)僅有一個駐點，所以該駐點就是最小值點。駐點就是最小值點。),0( ),0( 所以當?shù)装霃剿援數(shù)装霃?時，總表面積時，總表面積 S 最小最小32 Vr 此時高為此時高為2rVh 232 VV322 V r2 結(jié)論結(jié)論：所做罐頭筒的高與底直徑相等時，用料：所做罐頭筒的高與底直徑相等時，用料 最省。最省。作業(yè)：作業(yè)：習題習題3 4: 10, 12, 14(1, 2, 5)習題習題3 5: 1(1,3), 3, 5
高等數(shù)學：第三章 第五節(jié) 極值
