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1、
課時(shí)規(guī)范練44 雙曲線
一、選擇題
1.已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=3,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是( )
A.雙曲線 B.雙曲線左邊一支
C.雙曲線右邊一支 D.一條射線
答案:C
解析:∵|PM|-|PN|=3<4,由雙曲線定義知,其軌跡為雙曲線的一支.
又∵|PM|>|PN|,故點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的右支.
2.與橢圓+y2=1共焦點(diǎn)且過點(diǎn)P(2,1)的雙曲線方程是( )
A.-y2=1 B.-y2=1
C.=1 D.x2-=1
答案:B
解析:橢圓+y2=1的焦點(diǎn)為(±,0).
因?yàn)殡p曲線與橢圓共焦點(diǎn),所以排除A,C.
又雙
2、曲線-y2=1經(jīng)過點(diǎn)(2,1),所以選B.
3.如圖,正六邊形ABCDEF的兩個(gè)頂點(diǎn)A,D為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),其余4個(gè)頂點(diǎn)都在雙曲線上,則該雙曲線的離心率是( )
A.+1 B.-1
C. D.
答案:A
解析:令正六邊形的邊長為m,則有AD=2m,AB=m,BD=m,
該雙曲線的離心率等于+1.
4.已知雙曲線=1(a>0,b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線y2=20x的焦點(diǎn)重合,該雙曲線的離心率為,則該雙曲線的漸近線斜率為( )
A.±2 B.± C.± D.±
答案:C
解析:由拋物線y2=20x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(5,0),可得雙曲線=1的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(5,0),即得a
3、=5.
又由e=,可解得c=,
則b2=c2-a2=,即b=.
由此可得雙曲線的漸近線的斜率為k=±=±.
5.設(shè)F1,F2是雙曲線-y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)P在雙曲線上,當(dāng)△F1PF2的面積為2時(shí),的值為( )
A.2 B.3 C.4 D.6
答案:B
解析:設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),依題意得,|F1F2|=2=4,
|F1F2||y0|=2|y0|=2,∴|y0|=1.
又∵=1,∴=3(+1)=6,
·=(-2-x0,-y0)·(2-x0,-y0)=-4=3.
6.(20xx山東高考)拋物線C1:y=x2(p>0)的焦點(diǎn)與雙曲線C2:-y2=1的右焦點(diǎn)的連線交C1于第一
4、象限的點(diǎn)M.若C1在點(diǎn)M處的切線平行于C2的一條漸近線,則p=( )
A. B. C. D.
答案:D
解析:設(shè)M,y'='=,故在M點(diǎn)處的切線的斜率為,故M.由題意又可知拋物線的焦點(diǎn)為,雙曲線右焦點(diǎn)為(2,0),且,(2,0)三點(diǎn)共線,可求得p=,故選D.
二、填空題
7.(20xx江蘇高考)雙曲線=1的兩條漸近線的方程為 .?
答案:y=±x
解析:由題意可知所求雙曲線的漸近線方程為y=±x.
8.已知雙曲線x2-=1的左頂點(diǎn)為A1,右焦點(diǎn)為F2,P為雙曲線右支上一點(diǎn),則的最小值為 .?
答案:-2
解析:由題可知A1(-1,0),F2(2,0).設(shè)P
5、(x,y)(x≥1),
則=(-1-x,-y),=(2-x,-y),·=(-1-x)(2-x)+y2=x2-x-2+y2=x2-x-2+3(x2-1)=4x2-x-5.
∵x≥1,函數(shù)f(x)=4x2-x-5的圖象的對(duì)稱軸為x=,
∴當(dāng)x=1時(shí),·取得最小值-2.
9.中心在原點(diǎn)的雙曲線,一個(gè)焦點(diǎn)為F(0,),一個(gè)焦點(diǎn)到最近頂點(diǎn)的距離是-1,則雙曲線的方程是 .?
答案:y2-=1
10.設(shè)雙曲線x2-=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F2,P是雙曲線上的一點(diǎn),且|PF1|∶|PF2|=3∶4,則△PF1F2的面積等于 .?
答案:8
解析:依題意|F1F2|=6,|PF2
6、|-|PF1|=2,又|PF1|∶|PF2|=3∶4,所以|PF1|=6,|PF2|=8,所以等腰△PF1F2的面積為S=×8×=8.
11.已知雙曲線=1(a>0,b>0)的左、右頂點(diǎn)分別是A1,A2,M是雙曲線上任意一點(diǎn),若直線MA1,MA2的斜率之積等于2,則該雙曲線的離心率是 .?
答案:
解析:設(shè)點(diǎn)M(x0,y0),A1(-a,0),A2(a,0),
則直線MA1的斜率是,直線MA2的斜率是,直線MA1,MA2的斜率之積是·,故=2,故該雙曲線的離心率e=.
三、解答題
12.已知雙曲線C1:=1(a>0,b>0)的離心率為2.若拋物線C2:x2=2py(p>0)
7、的焦點(diǎn)到雙曲線C1的漸近線的距離為2,求拋物線C2的方程.
解:由于e==2,∴c=2a,即c2=4a2.又有c2=a2+b2,∴b2=3a2,即b=a.∴雙曲線的漸近線方程y=±x即為y=±x,
即±x+y=0.
又拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F,F到漸近線的距離為2,
即=2,解得p=8.
∴拋物線C2的方程為x2=16y.
13.已知雙曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F2在坐標(biāo)軸上,離心率為,且過點(diǎn)(4,-),點(diǎn)M(3,m)在雙曲線上.
(1)求雙曲線方程;
(2)求證:=0;
(3)求△F1MF2的面積.
(1)解:因?yàn)閑=,所以可設(shè)雙曲線方程為x2-y2=λ.
因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)
8、(4,-),
所以16-10=λ,即λ=6.
所以雙曲線方程為x2-y2=6.
(2)證明:由(1)可知a=b=,所以c=2.
所以F1(-2,0),F2(2,0).
所以=-.
因?yàn)辄c(diǎn)(3,m)在雙曲線上,所以9-m2=6,即m2=3.
故·=-1,所以MF1⊥MF2.所以·=0.
(3)解:△F1MF2的底邊長|F1F2|=4,
△F1MF2的高h(yuǎn)=|m|=,所以=6.
[來源:]
14.如圖所示,雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,F1,F2分別為左、右焦點(diǎn),雙曲線的左支上有一點(diǎn)P,∠F1PF2=,且△PF1F2的面積為2,又雙曲線的離心率為2,求該雙曲線的方程.
9、
解:設(shè)雙曲線方程為=1(a>0,b>0),[來源:數(shù)理化網(wǎng)]
F1(-c,0),F2(c,0),P(x0,y0).
在△PF1F2中,由余弦定理,得[來源:]
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos
=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,
即4c2=4a2+|PF1|·|PF2|,
又∵=2,
∴|PF1|·|PF2|·sin=2,
∴|PF1|·|PF2|=8.
∴4c2=4a2+8,即b2=2.
又∵e==2,∴a2=,
∴雙曲線的方程為=1.
15.直線l:y=(x-2)和雙曲線C:=1(a>0,b>0)
10、交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=,又l關(guān)于直線l1:y=x對(duì)稱的直線l2與x軸平行.
(1)求雙曲線C的離心率;
(2)求雙曲線C的方程.[來源:]
解:(1)設(shè)雙曲線C:=1過一、三象限的漸近線l1:=0的傾斜角為α.
因?yàn)閘和l2關(guān)于l1對(duì)稱,記它們的交點(diǎn)為P.
而l2與x軸平行,記l2與y軸交點(diǎn)為Q點(diǎn).
依題意有∠QPO=∠POM=∠OPM=α.
又l:y=(x-2)的傾斜角為60°,則2α=60°,
所以tan 30°=.于是e2==1+=1+,
所以e=.
(2)由,可設(shè)雙曲線方程為=1,即x2-3y2=3k2.
將y=(x-2)代入x2-3y2=3k2中得x2
11、-3·3(x-2)2=3k2.化簡得8x2-36x+36+3k2=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|=|x1-x2|
=2=2
=,求得k2=1.
故所求雙曲線C的方程為-y2=1.
四、選做題
1.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F恰為雙曲線=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn),且兩曲線交點(diǎn)的連線過點(diǎn)F,則雙曲線的離心率為( )
A.2+ B.1+ C.2 D.
答案:B
解析:拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F,故雙曲線=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為,根據(jù)圖形的性質(zhì)可知兩曲線交點(diǎn)的連線AB垂直于x軸,故AB為雙曲線的通徑,則有=2p,∴p2=,又
12、A在雙曲線上,故=1,整理得=1.
設(shè)=t,∴t2-4t-4=0,∴t=2+2.
∵e2==1+2+2=3+2=(1+)2,
∴e=1+.
2.已知雙曲線x2-y2=1,點(diǎn)F1,F2為其兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn),若PF1⊥PF2,則|PF1|+|PF2|的值為 .?
答案:2
解析:不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上,因?yàn)镻F1⊥PF2,
所以(2)2=|PF1|2+|PF2|2,又因?yàn)閨PF1|-|PF2|=2,所以(|PF1|-|PF2|)2=4,可得2|PF1|·|PF2|=4,則(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=12,
13、所以|PF1|+|PF2|=2.
3.已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為(2,0),右頂點(diǎn)為(,0).
(1)求雙曲線C的方程;[來源:數(shù)理化網(wǎng)]
(2)若直線l:y=kx+與雙曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B,且>2(其中O為原點(diǎn)),求k的取值范圍.
解:(1)設(shè)雙曲線C的方程為=1(a>0,b>0).
由已知得a=,c=2,再由c2=a2+b2得b2=1,
所以雙曲線C的方程為-y2=1.
(2)將y=kx+代入-y2=1中,
整理得(1-3k2)x2-6kx-9=0,
由題意得
故k2≠且k2<1.①
設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),
則xA+xB=,xAxB=,
由·>2得xAxB+yAyB>2,
xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+)(kxB+)=(k2+1)xAxB+k(xA+xB)+2=(k2+1)·k·+2=,
于是>2,即>0,解得
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