新編全國(guó)通用高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題26 函數(shù)與方程的思想、分類討論的思想含解析

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1、【走向高考】（全國(guó)通用）20xx高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題26 函數(shù)與方程的思想、分類討論的思想（含解析）一、選擇題1(文)方程mx有解，則m的最大值為()A1B0C1 D2答案A解析mx，令t0，則x1t2，m1t2t(t)21，故選A(理)已知對(duì)于任意的a1,1，函數(shù)f(x)x2(a4)x42a的值總大于0，則x的取值范圍是()A1x3Bx3C1x2 Dx2答案B解析將f(x)x2(a4)x42a看作是a的一次函數(shù)，記為g(a)(x2)ax24x4.當(dāng)a1,1時(shí)恒有g(shù)(a)0，只需滿足條件即解之得x3.方法點(diǎn)撥1.函數(shù)與方程的關(guān)系函數(shù)與方程是兩個(gè)不同的概念，但它們之間有

2、著密切的聯(lián)系，方程f(x)0的解就是函數(shù)yf(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，函數(shù)yf(x)也可以看作二元方程f(x)y0，通過(guò)方程進(jìn)行研究2應(yīng)用函數(shù)與方程思想解決函數(shù)、方程、不等式問(wèn)題，是多元問(wèn)題中的常見(jiàn)題型，常見(jiàn)的解題思路有以下兩種：(1)分離變量，構(gòu)造函數(shù)，將不等式恒成立、方程求解等轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值(或值域)，然后求解(2)換元，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一次不等式、二次不等式或二次方程，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)加以解決2(文)(20xx哈三中二模)一只螞蟻從正方體ABCDA1B1C1D1的頂點(diǎn)A處出發(fā)，經(jīng)正方體的表面，按最短路線爬行到頂點(diǎn)C1處，則下列圖形中可以表示正方體及螞蟻?zhàn)疃膛佬新肪€的正視圖的是()A(

3、1)(2) B(1)(3)C(2)(4) D(3)(4)答案C解析爬行路線為時(shí)正視圖為(2)；爬行路線是時(shí)，正視圖為(4)，故選C方法點(diǎn)撥若幾何圖形的位置不確定時(shí)，常常要對(duì)各種不同情況加以討論(理)有四根長(zhǎng)都為2的直鐵條，若再選兩根長(zhǎng)都為a的直鐵條，使這六根鐵條端點(diǎn)處相連能夠焊接成一個(gè)三棱錐形的鐵架，則a的取值范圍是()A(0，) B(1,2)C(，) D(0,2)答案A解析若構(gòu)成三棱錐有兩種情形一種情形是三條長(zhǎng)為2的線段圍成三角形作為棱錐的底面，過(guò)BC的中點(diǎn)M作與BC垂直的平面，在平面內(nèi)，以A為圓心AP2為半徑畫(huà)圓，點(diǎn)P在此圓周上，且不在平面ABC內(nèi)時(shí)，構(gòu)成三棱錐PABC，此時(shí)PBPCa，易

4、求得aa，0a2，取兩者的并集得，0a0且a1，指數(shù)運(yùn)算中對(duì)底數(shù)的限制，不等式兩邊同乘以一個(gè)正數(shù)(負(fù)數(shù))，排列組合中的分類計(jì)數(shù)(4)由圖形的不確定性引起的討論，如圖形的類型、位置，角的終邊所在象限、點(diǎn)線面位置等，點(diǎn)斜式(斜截式)直線方程適用范圍，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(5)由參數(shù)的變化引起的分類討論：含參數(shù)的問(wèn)題(方程、不等式、函數(shù)等)，由于參數(shù)的不同取值會(huì)導(dǎo)致結(jié)果不同或不同的參數(shù)求解、證明的方法不同等(6)由實(shí)際問(wèn)題的實(shí)際意義引起的分類討論3(文)圓錐曲線1的離心率e，則a的值為()A1 BC1或 D以上均不正確答案C解析因焦點(diǎn)在x軸上和y軸上的不同，離心率e關(guān)于a的表達(dá)式發(fā)生變化，故需分

5、類當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，e2，解得a；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，e2，解得a1.故選C(理)將1,2,3,4,5排成一列a1a2a3a4a5(如43215中，a14，a23，a32，a41，a55)，則滿足a1a3，a3a5的排列個(gè)數(shù)是()A10 B12C14 D16答案D解析a3a2，a3a1，a2a3入手討論)，(1)當(dāng)a33時(shí)，a2，a4只能是4,5，共有AA種；(2)當(dāng)a32時(shí)，a2，a4可以為3,4,5，a5a4，a11，則雙曲線1的離心率e的取值范圍是()A(1，) B(，)C， D(，)答案B解析e2()21(1)2，因?yàn)楫?dāng)a1時(shí)，01，所以2e25，即e.5如圖所示，在AOB中，點(diǎn)A(2,

6、1)，B(3,0)，點(diǎn)E在射線OB上自O(shè)開(kāi)始移動(dòng)設(shè)OEx，過(guò)E作OB的垂線l，記AOB在直線l左邊部分的面積為S，則函數(shù)Sf(x)的圖象是()答案D解析當(dāng)0x2時(shí)，f(x)xxx2，是開(kāi)口向上的拋物線，且f(2)1；當(dāng)23時(shí)，f(x)是確定的常數(shù)，圖象為直線二、填空題6如圖，正六邊形ABCDEF中，P是CDE內(nèi)(包括邊界)的動(dòng)點(diǎn)設(shè)(，R)，則的取值范圍是_答案3,4解析建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)正六邊形邊長(zhǎng)為2，則C(2,0)，A(1，)，B(1，)，D(1，)，E(1，)，F(xiàn)(2,0)，設(shè)P(x，y)可得(x1，y)，(2,0)，(1，)，則xy2，當(dāng)點(diǎn)P在如圖陰影部分所示的平面區(qū)域內(nèi)時(shí)，

7、可作平行直線系xy2z，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)E或C時(shí)，取得最小值，()最小值2023；當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)D時(shí)，取得最大值，()最大值124，則的取值范圍是3,4方法點(diǎn)撥和函數(shù)與方程思想密切關(guān)聯(lián)的知識(shí)點(diǎn)(1)函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化對(duì)函數(shù)yf(x)，當(dāng)y0時(shí)，就化為不等式f(x)0，借助于函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解決有關(guān)問(wèn)題，而研究函數(shù)的性質(zhì)也離不開(kāi)不等式(2)數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點(diǎn)去處理數(shù)列問(wèn)題十分重要(3)解析幾何中的許多問(wèn)題，例如直線與二次曲線的位置關(guān)系問(wèn)題，需要通過(guò)解二元方程組才能解決這都涉及二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論(4)立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計(jì)算，經(jīng)常需要運(yùn)用

8、列方程或建立函數(shù)關(guān)系的方法加以解決，引進(jìn)空間向量后，立體幾何與函數(shù)的關(guān)系就更加密切(5)(理)函數(shù)f(x)(abx)n(nN*)與二項(xiàng)式定理密切相關(guān)，利用這個(gè)函數(shù)，用賦值法和比較系數(shù)法可以解決很多有關(guān)二項(xiàng)式定理的問(wèn)題及求和問(wèn)題7(文)若關(guān)于x的方程cos2x2cosxm0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_分析將方程變形為mcos2x2cosx，則當(dāng)方程有實(shí)數(shù)根時(shí)，cos2x2cosx的取值范圍就是m的取值范圍答案解析原方程可化為mcos2x2cosx.令f(x)cos2x2cosx，則f(x)2cos2x12cosx22，由于1cosx1，所以當(dāng)cosx時(shí)，f(x)取得最大值，當(dāng)cosx1時(shí)，f

9、(x)取得最小值3，故函數(shù)f(x)的值域?yàn)?，即m.方法點(diǎn)撥本題若令cosxt，則可通過(guò)換元法將原方程化為關(guān)于t的一元二次方程，但求解過(guò)程將非常繁瑣，而通過(guò)分離參數(shù)，引進(jìn)函數(shù)，便可通過(guò)函數(shù)的值域較為簡(jiǎn)單地求得參數(shù)m的取值范圍(理)如果方程cos2xsinxa0在(0，上有解，則a的取值范圍是_答案(1,1分析可分離變量為acos2xsinx，轉(zhuǎn)化為確定的相關(guān)函數(shù)的值域解析解法1：把方程變?yōu)閍cos2xsinx.設(shè)f(x)cos2xsinx(x(0，)顯然當(dāng)且僅當(dāng)af(x)的值域時(shí)，af(x)有解f(x)(1sin2x)sinx(sinx)2，且由x(0，知，sinx(0,1f(x)的值域?yàn)?1,

10、1，a的取值范圍是(1,1解法2：令tsinx，由x(0，可得t(0,1把原方程變?yōu)閠2t1a0，依題意，該方程在(0,1上有解，設(shè)f(t)t2t1a.其圖象是開(kāi)口向上的拋物線，對(duì)稱軸為x，在區(qū)間(0,1的左側(cè)，如下圖所示因此f(t)0在(0,1上有解，當(dāng)且僅當(dāng)，即，1.因?yàn)镸是線段AB的中點(diǎn)，所以因?yàn)镻(0，2)，M(x0，y0)，N(a,0)三點(diǎn)共線，所以，所以，即2k.因?yàn)閗，所以2k2，當(dāng)且僅當(dāng)k時(shí)等號(hào)成立，所以2，則a0.三、解答題9(文)設(shè)函數(shù)f(x)lnxp(x1)，pR.(1)當(dāng)p1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)g(x)xf(x)p(2x2x1)對(duì)任意x1都有g(shù)(x

11、)0成立，求p的取值范圍解析(1)當(dāng)p1時(shí)，f(x)lnxx1，其定義域?yàn)?0，)所以f (x)1.由f (x)10得0x1，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，)(2)由函數(shù)g(x)xf(x)p(2x2x1)xlnxp(x21)，得g(x)lnx12px.由(1)知，當(dāng)p1時(shí)，f(x)f(1)0，即不等式lnxx1成立當(dāng)p時(shí)，g(x)lnx12px(x1)12px(12p)x0，即g(x)在1，)上單調(diào)遞減，從而g(x)g(1)0滿足題意；當(dāng)p0，12px0，從而g(x)lnx12px0，即g(x)在(1，)上單調(diào)遞增，從而存在x0(1，)使得g(x0)g(1)0不滿足

12、題意；當(dāng)p0時(shí)，由x1知g(x)xlnxp(x21)0恒成立，此時(shí)不滿足題意綜上所述，實(shí)數(shù)p的取值范圍為p.(理)已知函數(shù)f(x)(a1)lnxax21.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)設(shè)a0，故f(x)在(0，)單調(diào)遞增；當(dāng)a1時(shí)，f (x)0，故f(x)在(0，)單調(diào)遞減；當(dāng)1a0；x時(shí)，f (x)0.故f(x)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減(2)不妨假設(shè)x1x2.而a1，由(1)知f(x)在(0，)單調(diào)遞減，從而x1，x2(0，)，|f(x1)f(x2)|4|x1x2|等價(jià)于x1，x2(0，)，f(x2)4x2f(x1)4x1令g(x)f(x)4x，則g(x)2ax4.等價(jià)于g(x)在(0

13、，)單調(diào)遞減，即2ax40.從而a2.故a的取值范圍為(，2方法點(diǎn)撥導(dǎo)數(shù)在近幾年來(lái)已逐漸成為高考命題中的壓軸題，導(dǎo)數(shù)作為研究函數(shù)性質(zhì)的工具，具備廣泛適用性，可以分析各種函數(shù)，而且容易與參數(shù)結(jié)合命題，尤其在問(wèn)題轉(zhuǎn)化、構(gòu)造新函數(shù)解決問(wèn)題等方面體現(xiàn)明顯因此我們?cè)谄饺沼?xùn)練時(shí)要注意分類討論思想轉(zhuǎn)化與歸納思想，函數(shù)與方程思想等方面的訓(xùn)練，加強(qiáng)對(duì)問(wèn)題的分析，以及處理問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力10(文)(20xx安徽文，16)設(shè)ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是a、b、c，且b3，c1，ABC的面積為，求cosA與a的值分析已知b、c和ABC的面積易求sinA，由平方關(guān)系可求cosA，但要注意開(kāi)方時(shí)符號(hào)的選取及

14、討論，再結(jié)合余弦定理可求a的值解析由三角形面積公式，得S31sinA，sinA，因?yàn)閟in2Acos2A1.所以cosA.當(dāng)cosA時(shí)，由余弦定理得a2b2c22bccosA32122138，所以a2.當(dāng)cosA時(shí)，由余弦定理得a2b2c22bccosA3212213()12，所以a2.(理)已知函數(shù)f(x)sinxcosxm(sinxcosx)(1)若m1，求函數(shù)f(x)的最值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間，上的最小值等于2，求實(shí)數(shù)m的值解析(1)當(dāng)m1時(shí)，f(x)sinxcosx(sinxcosx)，設(shè)sinxcosxt，則sinxcosx，所以f(x)h(t)t2t(t1)21.由于tsi

15、nxcosxsin(x)，所以t.于是當(dāng)t時(shí)函數(shù)f(x)取得最大值；當(dāng)t1時(shí)函數(shù)f(x)取得最小值1.(2)設(shè)sinxcosxt，則sinxcosx，所以f(x)g(t)t2mt(tm)2m2，又因?yàn)閤，tsinxcosxsin(x)，所以1t.當(dāng)m時(shí)，g(t)在1，上單調(diào)遞減，當(dāng)t時(shí)，g(t)取得最小值，得m2，所以m，與m矛盾；當(dāng)1m時(shí)，g(t)在tm處取得最小值，得m22，所以m25，無(wú)解綜上，當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間，上的最小值等于2時(shí)，實(shí)數(shù)m的值等于2.11(文)已知公差不為0的等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1為a.(aR)，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn且，成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式及Sn；(

16、2)記An，Bn，當(dāng)n2時(shí)，試比較An與Bn的大小解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由()2，得(a1d)2a1(a13d)因?yàn)閐0，所以da1a.所以anna，Sn.(2)因?yàn)?)，所以An(1)因?yàn)閍2n12n1a，所以Bn(1)，由n2時(shí)，2nCCCn1，即10時(shí)，AnBn；當(dāng)aBn.(理)已知f(x)，數(shù)列an滿足a1，an1f(an)(nN*)，(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)記Sn(x)(x0)，求Sn(x)分析(1)找出an與an1關(guān)系；(2)用錯(cuò)位相減法求和解析(1)由已知得an1，3.3.是首項(xiàng)為3，公差為3的等差數(shù)列(2)由(1)得33(n1)3n，Sn(x)3x6x29x3

17、3nxn.x1時(shí)，Sn(1)3693n；x1時(shí)，Sn(x)3x6x29x33nxn，xSn(x)3x26x33(n1)xn3nxn1，(1x)Sn(x)3x3x23xn3nxn1，Sn(x).綜上，當(dāng)x1時(shí)，Sn(1)n(n1)，當(dāng)x1時(shí)，Sn(x).方法點(diǎn)撥一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，均值定理、等比數(shù)列的求和公式等性質(zhì)、定理與公式在不同的條件下有不同的結(jié)論，或者在一定的限制條件下才成立，這時(shí)要小心，應(yīng)根據(jù)題目條件確定是否進(jìn)行分類討論12(文)設(shè)函數(shù)f(x)exax2.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若a1，k為整數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，(xk)f (x)x10，求k的最大值分析

18、(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，需判斷f (x)的正負(fù)，因?yàn)楹瑓?shù)a，故需分類討論；(2)分離參數(shù)k，將不含有參數(shù)的式子看作一個(gè)新函數(shù)g(x)，將求k的最大值轉(zhuǎn)化為求g(x)的最值問(wèn)題解析(1)f(x)的定義域?yàn)?，)，f (x)exa.若a0，則f (x)0，所以f(x)在(，)上單調(diào)遞增若a0，則當(dāng)x(，lna)時(shí)，f (x)0，所以，f(x)在(，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，)上單調(diào)遞增(2)由于a1，所以(xk)f (x)x1(xk)(ex1)x1.故當(dāng)x0時(shí)，(xk)f (x)x10等價(jià)于k0)令g(x)x，則g(x)1.由(1)知，函數(shù)h(x)exx2在(0，)上單調(diào)遞增而h(

19、1)0，所以h(x)在(0，)上存在唯一的零點(diǎn)故g(x)在(0，)存在唯一的零點(diǎn)設(shè)此零點(diǎn)為，則(1,2)當(dāng)x(0，)時(shí)，g(x)0.所以g(x)在(0，)上的最小值為g()又由g()0，可得e2，所以g()1(2,3)由于式等價(jià)于kg()，故整數(shù)k的最大值為2.方法點(diǎn)撥本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及參數(shù)的取值范圍的求法利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍時(shí)，經(jīng)常需將參數(shù)分離出來(lái)，轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，最終轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，求得參數(shù)的取值范圍(理)設(shè)函數(shù)f(x)x3kx2x(kR)(1)當(dāng)k1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)k0時(shí)，求函數(shù)f(x)在k，k上的最小值m和最大值M.解析f(x)3x22kx1.(1

20、)當(dāng)k1時(shí)f(x) 3x22x1，41280，f(x)在R上單調(diào)遞增即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，)，f(x)沒(méi)有單調(diào)遞減區(qū)間(2)當(dāng)k0時(shí)，f(x)3x22kx1，其開(kāi)口向上，對(duì)稱軸x ，且過(guò)(0,1)(i)當(dāng)4k2124(k)(k)0，即k0，即k時(shí)，令f(x)3x22kx10解得：x1，x2，注意到kx2x1k，從而kx2x10，f(x)的最小值mf(k)k，f(x2)f(k)xkxx2(2k3k)(x2k)(x2k)2k210，f(x)的最大值Mf(k)2k3k.綜上所述，當(dāng)kb0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A為橢圓E的左頂點(diǎn)，點(diǎn)B為橢圓E的上頂點(diǎn)，且|AB|2.(1)若橢圓E的離心率為，求橢圓

21、E的方程；(2)設(shè)P為橢圓E上一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，直線F2P與y軸相交于點(diǎn)Q，若以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)F1，證明：|OP|.解析(1)設(shè)c，由題意得a2b24，且，解得a，b1，c，所以橢圓E的方程為y21.(2)證明：由題意得a2b24，所以橢圓E的方程為1，則F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，c.設(shè)P(x0，y0)，由題意知x0c，則直線F1P的斜率kF1P，直線F2P的斜率kF2P，所以直線F2P的方程為y(xc)，當(dāng)x0時(shí)，y，即點(diǎn)Q(0，)，所以直線F1Q的斜率為kF1Q，因?yàn)橐訮Q為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)F1，所以PF1F1Q，所以kF1PkF1Q1，化簡(jiǎn)得yx(2a24)，又因?yàn)镻為橢圓

22、E上一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，所以1，x00，y00，聯(lián)立，解得x0，y02a2，所以|OP|2xy(a22)22，因?yàn)閍2b242，所以|OP|.(理)(20xx新課標(biāo)理，20)已知橢圓C：9x2y2m2(m0)，直線l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M.(1)證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；(2)若l過(guò)點(diǎn)，延長(zhǎng)線段OM與C交于點(diǎn)P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)l的斜率；若不能，說(shuō)明理由立意與點(diǎn)撥考查直線的斜率、橢圓方程與幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系(1)問(wèn)中涉及弦的中點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題，故可以采取“點(diǎn)差法”或“韋達(dá)定理”兩種方法求解；(

23、2)根據(jù)(1)中結(jié)論，設(shè)直線OM方程并與橢圓方程聯(lián)立，求得M坐標(biāo)，利用xP2xM以及直線l過(guò)點(diǎn)(，m)列方程求k的值解析(1)設(shè)直線l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)將ykxb代入9x2y2m2，得(k29)x22kbxb2m20，故xM，yMkxMb.于是直線OM的斜率kOM，即kOMk9.所以直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值(2)四邊形OAPB能為平行四邊形因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)(，m)，所以l不過(guò)原點(diǎn)且與C有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是k0，k3.由(1)得OM的方程為yx.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為xP.由得x，即xP .將點(diǎn)(，m)的坐標(biāo)代入直線l的方程得b，因此xM.四邊形OAPB為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段AB與線段OP互相平分，即xP2xM.于是2.解得k14，k24.因?yàn)閗i0，ki3，i1,2，所以當(dāng)l的斜率為4或4時(shí)，四邊形OAPB為平行四邊形