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2、 1
課時規(guī)范練10 冪函數(shù)
一、選擇題
1.已知冪函數(shù)f(x)=xα的圖象經過點,則f(4)的值為( )
A.16 B. C. D.2
答案:C
解析:由已知,得=2α,即2α=,∴α=-,
∴f(x)=.∴f(4)=.
2.設<1,則下列不等關系成立的是( )
A.aa
3、C
解析:<1?1>b>a>0,在A和B中,y=ax(0ab,所以結論不成立;在C中,y=xn(n>0)在(0,+∞)內是單調遞增的,又a0且a≠1,則“函數(shù)f(x)=ax在R上是減函數(shù)”是“函數(shù)g(x)=(
4、2-a)x3在R上是增函數(shù)”的( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件[來源:]
C.充分必要條件
D.既不充分也不必要條件
答案:A
解析:函數(shù)f(x)=ax在R上是減函數(shù),等價于00且a≠1);函數(shù)g(x)=(2-a)x3在R上是增函數(shù),等價于2-a>0,又a>0且a≠1,故0
5、=x-1及直線y=x,y=1,x=1將平面直角坐標系的第一象限分成八個“區(qū)域”:①,②,③,④,⑤,⑥,⑦,⑧(如圖所示),那么冪函數(shù)y=的圖象經過的“區(qū)域”是( )
A.④,⑦ B.④,⑧
C.③,⑧ D.①,⑤
答案:D
解析:對冪函數(shù)y=xα,當α∈(0,1)時,其圖象在x∈(0,1)的部分在直線y=x上方,且圖象過點(1,1),當x>1時其圖象在直線y=x下方,故經過第①⑤兩個“區(qū)域”.
二、填空題
7.若函數(shù)f(x)=則f(f(f(0)))= .?
答案:1
解析:f(f(f(0)))=f(f(-2))=f(1)=1.
8.由冪函數(shù)y=xn的圖象過點(
6、8,2),則這個冪函數(shù)的定義域是 .?
答案:R
解析:由8n=2得到n=,冪函數(shù)y=的定義域為R.
9.若y=是偶函數(shù),且在(0,+∞)內是減函數(shù),則整數(shù)a的值是 .?
答案:1,3,5或-1
解析:由題意,得a2-4a-9應為負偶數(shù),
即a2-4a-9=(a-2)2-13=-2k(k∈N*),(a-2)2=13-2k,
當k=2時,a=5或-1;
當k=6時,a=3或1.[來源:]
10.給出下列四個命題:
①函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)與函數(shù)y=logaax(a>0,且a≠1)的定義域相同;
②函數(shù)y=x3與y=3x的值域相同;
③函數(shù)y=與y
7、=都是奇函數(shù);
④函數(shù)y=(x-1)2與y=2x-1在區(qū)間[0,+∞)上都是增函數(shù).
其中正確命題的序號是 .?
答案:①③
解析:①中y=ax與y=logaax=x的定義域均為R;
②中y=x3的值域為R,而y=3x的值域為(0,+∞);
③y=是奇函數(shù),
y=也是奇函數(shù);
④y=(x-1)2在[0,+∞)上不單調,y=2x-1在[0,+∞)上是單調遞增函數(shù),故①③正確.
11.已知冪函數(shù)y=xα,α∈的圖象過定點A,且點A在直線=1(m>0,n>0)上,則log2= .?
答案:1
解析:由冪函數(shù)的圖象知y=xα,α∈的圖象恒過定點A(1,1),[來源
8、:]
又點A在直線=1(m>0,n>0)上,∴=1.
∴l(xiāng)og2=log2=log22=1.
三、解答題
12.若函數(shù)f(x)是冪函數(shù),且滿足=3,求f的值.
解:依題意設f(x)=xα(α∈R),則有=3,即2α=3,得α=log23,則f(x)=,于是f.
13.已知f(x)=(m2+m)·,當m取什么值時,
(1)f(x)是正比例函數(shù);
(2)f(x)是反比例函數(shù);
(3)在第一象限內它的圖象是上升曲線.
解:(1)由題意知
解得m=1±.
(2)由題意知
解得m=0(舍)或m=2,故m=2.
(3)由題意知
解得m∈(-∞,-1)∪(1+,+∞).
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9、.函數(shù)f(x)=2x和g(x)=x3的圖象的示意圖如圖所示,設兩函數(shù)的圖象交于點A(x1,y1),B(x2,y2),且x1g(1)
10、=1,f(2)=4g(10)=1 000,
所以x2∈[9,10],即b=9.
(3)由題意可得,f(8)0,x>0),
(1)若f(x)在[1,2]上最小值為,求實數(shù)a的值.
(2)當m,n∈(0,+∞),f(x)在[m,n]上值域為[-n,-m],求實數(shù)a的取值范圍.
11、解:(1)∵f(x)在[1,2]上單調遞減,
∴ymin=f(2)=,解得a=4.
(2)∵f(x)在(0,+∞)單調遞減,∴
即m,n是方程=-x的兩個正根,
等價于函數(shù)g(x)=ax2-x+a與x軸的正半軸有兩個交點.
∵g(0)=a>0,對稱軸x=>0,
∴只需Δ>0,即1-4a2>0,解得0
12、m>0.
2.已知冪函數(shù)f(x)=xα的部分對應值如下表:
x
1
f(x)
1
則不等式f(|x|)≤2的解集是 .?
答案:{x|-4≤x≤4}
解析:由表知,∴α=,∴f(x)=.
∴|x≤2,即|x|≤4,故-4≤x≤4.
3.已知冪函數(shù)y=(m∈N*)的圖象關于y軸對稱,且在(0,+∞)上函數(shù)值隨x的增大而減小,求滿足(a+1<(3-2a的a的取值范圍.
解:∵函數(shù)f(x)在(0,+∞)上遞減,∴m2-2m-3<0,解得-13-2a>0,或0>a+1>3-2a或a+1<0<3-2a.
解得a<-1或
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