新版高考數(shù)學一輪復習學案訓練課件： 第8章 平面解析幾何 第6節(jié) 拋物線學案 理 北師大版

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1、 1

2、 1 第六節(jié)　拋物線 [考綱傳真]　(教師用書獨具)1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單幾何性質(范圍、對稱性、頂點、離心率).2.理解數(shù)形結合思想.3.了解拋物線的實際背景及拋物線的簡單應用． (對應學生用書第141頁) [基礎知識填充] 1．拋物線的定義 平面內與一個定點F和一條定直線l(l不過F)的距離相等的點的集合叫作拋物線．點F叫作拋物線的焦點，直

3、線l叫作拋物線的準線． 2．拋物線的標準方程與幾何性質 標準方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的幾何意義：焦點F到準線l的距離 圖形 頂點 O(0,0) 對稱軸 y＝0 x＝0 焦點 F F F F 離心 率 e＝1 準線方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦半徑(其中P(x0，y0)) |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y(tǒng)0＋ |PF|

4、＝－y0＋ [知識拓展]　已知y2＝2px，過焦點F的直線l交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，l的傾斜角為θ，如圖8-6-1，則 圖8-6-1 (1)|AB|＝x1＋x2＋p＝； (2)x1x2＝，y1y2＝－p2； (3)＋＝； (4)S△AOB＝； (5)|CD|＝2p，即通徑，通徑是過拋物線焦點弦中最短的弦． [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡一定是拋物線．(　　) (2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲線是焦點在x軸上的拋物線，且其

5、焦點坐標是，準線方程是x＝－.(　　) (3)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形．(　　) (4)AB為拋物線y2＝2px(p>0)的過焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝，y1y2＝－p2，弦長|AB|＝x1＋x2＋p.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．拋物線y＝x2的準線方程是(　　) A．y＝－1　　 B．y＝－2 C．x＝－1 D．x＝－2 A　[∵y＝x2，∴x2＝4y，∴準線方程為y＝－1.] 3．(教材改編)若拋物線y＝4x2上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標是(　　) A．　 B． C． D

6、．0 B　[M到準線的距離等于M到焦點的距離，又準線方程為y＝－，設M(x，y)，則y＋＝1，∴y＝.] 4．頂點在原點，對稱軸是y軸，并且經過點P(－4，－2)的拋物線方程是________． x2＝－8y　[設拋物線的方程為x2＝my，將點P(－4，－2)代入x2＝my，得m＝－8，所以拋物線方程是x2＝－8y.] 5．(20xx·浙江高考)若拋物線y2＝4x上的點M到焦點的距離為10，則M到y(tǒng)軸的距離是________． 9　[設點M的橫坐標為x，則點M到準線x＝－1的距離為x＋1，由拋物線的定義知x＋1＝10，∴x＝9， ∴點M到y(tǒng)軸的距離為9.] (對應學生用書第1

7、42頁) 拋物線的定義及應用 　(1)已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，準線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點，若＝4 ，則|QF|＝(　　) A．　　　 B． C．3 D．2 (2)(20xx·全國卷Ⅱ)已知F是拋物線C：y2＝8x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點，則|FN|＝________. (1)C　(2)6　[(1)∵＝4 ， ∴||＝4||， ∴＝. 如圖，過Q作QQ′⊥l，垂足為Q′，設l與x軸的交點為A，則|AF|＝4， ∴＝＝， ∴|QQ′|＝3. 根據(jù)拋物線定義可知|QF|＝|QQ′|

8、＝3. (2)如圖，不妨設點M位于第一象限內，拋物線C的準線交x軸于點A，過點M作準線的垂線，垂足為點B，交y軸于點P，∴PM∥OF. 由題意知，F(xiàn)(2,0)，|FO|＝|AO|＝2. ∵點M為FN的中點，PM∥OF， ∴|MP|＝|FO|＝1. 又|BP|＝|AO|＝2， ∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3. 由拋物線的定義知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.] [規(guī)律方法]　應用拋物線定義的兩個關鍵點 (1)由拋物線定義，把拋物線上點到焦點距離與到準線距離相互轉化. (2)注意靈活運用拋物線上一點P(x，y)到焦點F的距離|PF|＝|x|＋或|PF

9、|＝|y|＋. [跟蹤訓練]　(1)(20xx·廣東汕頭調研)已知P是拋物線y2＝4x上的一個動點，Q是圓(x－3)2＋(y－1)2＝1上的一個動點，N(1,0)是一個定點，則|PQ|＋|PN|的最小值為(　　) A．3 B．4 C．5 D．＋1 (2)動圓過點(1,0)，且與直線x＝－1相切，則動圓的圓心的軌跡方程為________. 【導學號：79140289】 (1)A　(2)y2＝4x　[(1)由拋物線方程y2＝4x，可得拋物線的焦點F(1,0)，又N(1,0)，所以N與F重合． 過圓(x－3)2＋(y－1)2＝1的圓心M作拋物線準線的垂線MH，交圓于Q，交拋物

10、線于P，則|PQ|＋|PN|的最小值等于|MH|－1＝3. (2)設動圓的圓心坐標為(x，y)，則圓心到點(1,0)的距離與到直線x＝－1的距離相等，根據(jù)拋物線的定義易知動圓的圓心的軌跡方程為y2＝4x.] 拋物線的標準方程與幾何性質 　(1)點M(5,3)到拋物線y＝ax2的準線的距離為6，那么拋物線的標準方程是(　　) A．x2＝y(tǒng) B．x2＝y(tǒng)或x2＝－y C．x2＝－y D．x2＝12y或x2＝－36y (2)(20xx·全國卷Ⅰ)以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A，B兩點，交C的準線于D，E兩點．已知|AB|＝4，|DE|＝2，則C的焦點到準線的距離為(　　)

11、 A．2 B．4 C．6 D．8 (1)D　(2)B　[(1)將y＝ax2化為x2＝y(tǒng). 當a>0時，準線y＝－，則3＋＝6，∴a＝. 當a<0時，準線y＝－，則＝6，∴a＝－. ∴拋物線方程為x2＝12y或x2＝－36y. (2)設拋物線的方程為y2＝2px(p＞0)，圓的方程為x2＋y2＝r2. ∵|AB|＝4，|DE|＝2， 拋物線的準線方程為x＝－， ∴不妨設A，D. ∵點A，D在圓x2＋y2＝r2上， ∴∴＋8＝＋5，∴p＝4(負值舍去)． ∴C的焦點到準線的距離為4.] [規(guī)律方法]　1.求拋物線的標準方程的方法 (1)求拋物線的標準方程常用待定系數(shù)法

12、，因為未知數(shù)只有p，所以只需一個條件確定p值即可. (2)拋物線方程有四種標準形式，因此求拋物線方程時，需先定位，再定量. 2.研究拋物線的焦點坐標或準線方程，必須把拋物線化成標準方程，正確的求出p. [跟蹤訓練]　(1)(20xx·河南中原名校聯(lián)考)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，O為坐標原點，M為拋物線上一點，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面積為4，則拋物線的方程為 (　　) A．y2＝6x B．y2＝8x C．y2＝16x D．y2＝ (2)若拋物線y2＝2x上一點M到它的焦點F的距離為，O為坐標原點，則△MFO的面積為(　　) A． B． C． D．

13、 (1)B　(2)B　[(1)設M(x，y)，因為|OF|＝，|MF|＝4|OF|， 所以|MF|＝2p， 由拋物線定義知x＋＝2p， 所以x＝p，所以y＝±p. 又△MFO的面積為4， 所以××p＝4，解得p＝4(p＝－4舍去)． 所以拋物線的方程為y2＝8x. (2)由題意知， 拋物線準線方程為x＝－. 設M(a，b)，由拋物線的定義可知， 點M到準線的距離為， 所以a＝1， 代入拋物線方程y2＝2x， 解得b＝±， 所以S△MFO＝××＝.] 直線與拋物線的位置關系 ◎角度1　直線與拋物線的交點問題 　(20xx·全國卷Ⅰ)在直角坐標系xO

14、y中，直線l：y＝t(t≠0)交y軸于點M，交拋物線C：y2＝2px(p>0)于點P，M關于點P的對稱點為N，連接ON并延長交C于點H. (1)求； (2)除H以外，直線MH與C是否有其他公共點？說明理由． [解]　(1)如圖，由已知得M(0，t)，P. 又N為M關于點P的對稱點， 故N， 故直線ON的方程為y＝x， 將其代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0, 解得x1＝0，x2＝.因此H. 所以N為OH的中點，即＝2. (2)直線MH與C除H以外沒有其他公共點．理由如下： 直線MH的方程為y－t＝x，即x＝(y－t)． 代入y2＝2px得y2－4ty

15、＋4t2＝0，解得y1＝y(tǒng)2＝2t， 即直線MH與C只有一個公共點， 所以除H以外，直線MH與C沒有其他公共點． ◎角度2　與拋物線弦長或中點有關的問題 　(20xx·北京高考)已知拋物線C：y2＝2px過點P(1,1)．過點作直線l與拋物線C交于不同的兩點M，N，過點M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點A，B，其中O為原點． (1)求拋物線C的方程，并求其焦點坐標和準線方程； (2)求證：A為線段BM的中點． [解]　(1)由拋物線C：y2＝2px過點P(1,1)，得p＝. 所以拋物線C的方程為y2＝x. 拋物線C的焦點坐標為，準線方程為x＝－. (2)證明：由題意，

16、設直線l的方程為y＝kx＋(k≠0)，l與拋物線C的交點為M(x1，y1)，N(x2，y2)． 由得4k2x2＋(4k－4)x＋1＝0， 則x1＋x2＝，x1x2＝. 因為點P的坐標為(1,1)，所以直線OP的方程為y＝x，點A的坐標為(x1，x1)． 直線ON的方程為y＝x，點B的坐標為. 因為y1＋－2x1＝ ＝ ＝ ＝＝0， 所以y1＋＝2x1， 故A為線段BM的中點． [規(guī)律方法]　解決直線與拋物線位置關系問題的三種常用方法 (1)直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓的位置關系類似，一般要用到根與系數(shù)的關系. (2)有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋

17、物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用弦長公式. (3)涉及拋物線的弦長、弦中點等相關問題時，一般采用“設而不求，整體代入”的解法. 提醒：涉及弦的中點、弦所在直線的斜率時一般用“點差法”求解. [跟蹤訓練]　已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，拋物線C與直線l1：y＝－x的一個交點的橫坐標為8. (1)求拋物線C的方程； (2)不過原點的直線l2與l1垂直，且與拋物線交于不同的兩點A，B，若線段AB的中點為P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面積. 【導學號：79140290】 [解]　(1)易知直線與拋物線的交點坐標為(8，－8)， ∴(－8)2＝2p×8，∴2p＝8，∴拋物線方程為y2＝8x. (2)直線l2與l1垂直，故可設直線l2：x＝y(tǒng)＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直線l2與x軸的交點為M. 由得y2－8y－8m＝0， Δ＝64＋32m>0，∴m>－2. y1＋y2＝8，y1y2＝－8m， ∴x1x2＝＝m2. 由題意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0， ∴m＝8或m＝0(舍)， ∴直線l2：x＝y(tǒng)＋8，M(8,0)． 故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝·|FM|·|y1－y2| ＝3＝24.