高考數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)練系列 排列組合與二項(xiàng)式定理教案 蘇教版

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1、考綱導(dǎo)讀排列、組合、二項(xiàng)式定理1掌握分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理、并能用它分析和解決一些簡單的應(yīng)用問題2理解排列的意義,掌握排列數(shù)計(jì)算公式,并能用它解決一些簡單的應(yīng)用問題3理解組合的意義,掌握組合數(shù)計(jì)算公式和組合數(shù)性質(zhì),并能用它們解決一些簡單的應(yīng)用問題4掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)展開式的性質(zhì),并能用它們計(jì)算和證明一些簡單的問題知識(shí)網(wǎng)絡(luò)組合排列組合二項(xiàng)式定理兩個(gè)計(jì)數(shù)原理排列排列概念排列數(shù)公式組合概念組合數(shù)公式組合數(shù)性質(zhì)應(yīng)用通項(xiàng)公式二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)應(yīng)用高考導(dǎo)航排列與組合高考重點(diǎn)考察學(xué)生理解問題、綜合運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理分析問題和解決問題的能力及分類討論思想它是高中數(shù)學(xué)中從內(nèi)容到方法都比較

2、獨(dú)特的一個(gè)組成部分,是進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率論的基礎(chǔ)知識(shí)由于這部分內(nèi)容概念性強(qiáng),抽象性強(qiáng),思維方法新穎,同時(shí)解題過程中極易犯“重復(fù)”或“遺漏”的錯(cuò)誤,而且結(jié)果數(shù)目較大,無法一一檢驗(yàn),因此學(xué)生要學(xué)好本節(jié)有一定的難度解決該問題的關(guān)鍵是學(xué)習(xí)時(shí)要注意加深對(duì)概念的理解,掌握知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別,嚴(yán)謹(jǐn)而周密地去思考分析問題二項(xiàng)式定理是進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí),高考重點(diǎn)考查展開式及通項(xiàng),難度與課本內(nèi)容相當(dāng)另外利用二項(xiàng)式定理及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)解決一些較簡單而有趣的小題,在高考中也時(shí)有出現(xiàn) 第1課時(shí) 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理基礎(chǔ)過關(guān)1分類計(jì)數(shù)原理(也稱加法原理):做一件事情,完成它可以有n類辦法,在第一類辦法中有m1種

3、不同的方法,在第二類辦法中有m2種不同的方法,在第n類辦法中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N 種不同的方法2分步計(jì)數(shù)原理(也稱乘法原理):做一件事情,完成它需要分成n個(gè)步驟,做第一步有m1種不同的方法,做第二步有m2種不同的方法,做n步有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N 種不同的方法3解題方法:枚舉法、插空法、隔板法典型例題例1. 高三(1)、(2)、(3)班分別有學(xué)生48,50,52人(1) 從中選1人當(dāng)學(xué)生代表的方法有多少種?(2) 從每班選1人組成演講隊(duì)的方法有多少種?(3) 從這150名學(xué)生中選4人參加學(xué)代會(huì)有多少種方法?(4) 從這150名學(xué)生中選4人參加數(shù)理化四個(gè)課外

4、活動(dòng)小組,共有多少種方法?解:(1)485052150種 (2)485052124800種 (3) (4)變式訓(xùn)練1:在直角坐標(biāo)xoy平面上,平行直線x=n,(n=0,1,2,3,4,5),y=n,(n=0,1,2,3,4,5),組成的圖形中,矩形共有( )A、25個(gè) B、36個(gè) C、100個(gè) D、225個(gè)解:在垂直于x軸的6條直線中任意取2條,在垂直于y軸的6條直線中任意取2條,這樣的4 條直線相交便得到一個(gè)矩形,所以根據(jù)分步記數(shù)原理知道:得到的矩形共有個(gè), 故選D。例2. (1) 將5封信投入6個(gè)信箱,有多少種不同的投法?(2) 設(shè)I1,2,3,4,5,6,A與B都是I的子集,AB1,3,

5、5,則稱(A,B)為理想配,所有理想配共有多少種?(3) 隨著電訊事業(yè)的發(fā)展,許多地方電話號(hào)碼升位,若某地由原來7位電話號(hào)碼升為8位電話號(hào)碼,問升位后可多裝多少門電話機(jī)?(電話號(hào)碼首位不為0)解:(1)65 (2)27 (3)電話號(hào)碼首位不為0:910791068.1107變式訓(xùn)練2:一個(gè)圓分成6個(gè)大小不等的小扇形,取來紅、黃、蘭、白、綠、黑6種顏色。請(qǐng)問:6個(gè)小扇形分別著上6種顏色有多少種不同的著色方法?從這6種顏色中任選5種著色,但相鄰兩個(gè)扇形不能著相同的顏色, 則有多少種不同的著色方法?解:6個(gè)小扇形分別著上6種不同的顏色,共有種著色方法.6個(gè)扇形從6種顏色中任選5種著色共有種不同的方法

6、;其中相鄰兩個(gè)扇形是同一種顏色的著色方法共有;因此滿足條件的著色方法共有種著色方法.例3. 如圖A,B,C,D為海上的四個(gè)小島,現(xiàn)在要建造三座橋,將這四個(gè)小島連接起來,則不同的建橋方案有( )DAA、8種 B、12種 C、16種 D、20種BC解:第一類:從一個(gè)島出發(fā)向其它三島各建一橋,共有=4種方法;第二類:一個(gè)島最多建設(shè)兩座橋,例如:ABCD,DCBA,這樣的兩個(gè)排列對(duì)應(yīng)一種建橋方法,因此有種方法;根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知道共有4+12=16種方法變式訓(xùn)練3:某公司招聘進(jìn)8名員工,平均分給下屬的甲、乙兩個(gè)部門,其中兩名翻譯人員不能同時(shí)分給一個(gè)部門,另三名電腦編程人員也不能同時(shí)分給一個(gè)部門,求有多

7、少種不同的分配方案解:用分步計(jì)數(shù)原理先分英語翻譯,再分電腦編程人員,最后分其余各人,故有2(33)336種例4. 如圖,小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn),結(jié)點(diǎn)之間的連線表示它們有網(wǎng)線相連,連線上標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時(shí)間內(nèi)可以通過的最大信息量,現(xiàn)從結(jié)點(diǎn)A向結(jié)點(diǎn)B傳遞信息,信息可以沿不同的路徑同時(shí)傳遞,則單位時(shí)間傳遞的最大信息量是( )A、26 B、24 C、20 D、19 3 5 12B 4 6 A 6 7612 8 解:要完成的這件事是:“從A向B傳遞信息”,完成這件事有4類辦法:第一類:1253第二類 : 12 6 4第三類 :12 6 7 第四類;:12 8 6可見:第一類中單位時(shí)間傳遞的最大信

8、息量是3;第二類單位時(shí)間傳遞的最大信息量是4; 第三類單位時(shí)間傳遞的最大信息量是6;第四類單位時(shí)間傳遞的最大信息量是6。所以由分類記數(shù)原理知道共有:3+4+6+6=19,故選D變式訓(xùn)練4:7個(gè)相同的小球,任意放入4個(gè)不同的盒子,則每個(gè)盒子都不空的放法有多少種?解:首先要清楚:“每個(gè)盒子都不空”的含義是“每個(gè)盒子里至少有1個(gè)球”。于是,我們采用“隔板法”來解決。在7個(gè)小球中的每兩個(gè)之間分別有6個(gè)空,我們從6個(gè)空中任意選3個(gè)分別插入3塊隔板,則這3塊隔板就把7個(gè)小球分成4部分,而且每一部分至少有1個(gè)球。即有=20種方法,又每一種分割方法都對(duì)應(yīng)著一種放球的放法。所以共有20種放球放法。注;(1)本題

9、若采取“分類討論”的方法來解決,則顯得很麻煩;大家可以試一試。(2)隔板法只能用于“各個(gè)元素不加區(qū)別”的情況,否則不能使用.兩個(gè)原理的區(qū)別在于,前者每次得到的是最后的結(jié)果,后者每次得到的是中間結(jié)果,即每次僅完成整件事情的一部分,當(dāng)且僅當(dāng)幾個(gè)步驟全部做完后,整件事情才算完成第2課時(shí) 排 列基礎(chǔ)過關(guān)1一般地說,從n個(gè)不同元素中,任取m(mn)個(gè)元素,按照一定的順序排成一列,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列排列的定義包含兩個(gè)基本內(nèi)容:一是“取出元素”;二是“按照一定順序排列”因此當(dāng)元素完全相同,并且元素的排列順序也完全相同時(shí),才是同一個(gè)排列2從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的所有排列的

10、個(gè)數(shù),叫做從個(gè)為不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù),用符號(hào)Amn表示排列數(shù)公式Amn 這里mn,其中等式的右邊是 個(gè)連續(xù)的自然數(shù)相乘,最大的是 ,最小的是 3n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列,叫做n個(gè)不同元素的一個(gè)全排列,全排列數(shù)用Ann表示,它等于自然數(shù)從1到n的連乘積,自然數(shù)從1到n的連乘積叫做n的階乘,用 表示4解有約束條件的排列問題的方法有直接法、間接法、元素位置分析法、插空法、捆綁法、枚舉法、對(duì)稱法、隔板法5排列問題常用框圖來處理典型例題例1、(1) 元旦前某宿舍的四位同學(xué)各寫一張賀卡先集中起來,然后每人從中拿一張別人送出的賀卡,則四張賀卡的不同分配有多少種?(2) 同一排6張編號(hào)1,2,

11、3,4,5,6的電影票分給4人,每人至少1張,至多2張,且這兩張票有連續(xù)編號(hào),則不同分法有多少種?(3)(06湖南理14)某工程隊(duì)有6項(xiàng)工程需要單獨(dú)完成,其中工程乙必須在工程甲完成后才能進(jìn)行,工程丙必須在工程乙完成后才能進(jìn)行,工程丁必須在工程丙完成后立即進(jìn)行那么安排這6項(xiàng)工程的不同排法有多少種數(shù)?解:(1)分類:9種(2)假設(shè)五個(gè)連續(xù)空位為一個(gè)整元素a,單獨(dú)一個(gè)空位為一個(gè)元素b,另4人為四個(gè)元素c1、c2、c3、c4問題化為a,b,c1,c2,c3,c4的排列,條件是a,b不相鄰,共有48種;(3)將丙,丁看作一個(gè)元素,設(shè)想5個(gè)位置,只要其余2項(xiàng)工程選擇好位置,剩下3個(gè)位置按甲、乙(兩?。┲形?/p>

12、一的,故有20種變式訓(xùn)練1:有2個(gè)紅球、3個(gè)黃球、4個(gè)白球,同色球不加以區(qū)分, 將這9個(gè)球排成一列有 _ 種不同的方法.解:9個(gè)球排成一列有種排法,再除去2紅、3黃、4白的順序即可,故共有排法種。 答案:1260例25男4女站成一排,分別指出滿足下列條件的排法種數(shù)(1) 甲站正中間的排法有 種,甲不站在正中間的排法有 種(2) 甲、乙相鄰的排法有 種,甲乙丙三人在一起的排法有 種(3) 甲站在乙前的排法有 種,甲站在乙前,乙站在丙前(不要求一定相鄰)的排法有 種丙在甲乙之間(不要求一定相鄰)的排法有 種(4) 甲乙不站兩頭的排法有 種,甲不站排頭,乙不站排尾的排法種有 種(5) 5名男生站在一

13、起,4名女生站在一起的排法有 種(6) 女生互不相鄰的排法有 種,男女相間的排法有 種(7) 甲與乙、丙都不相鄰的排法有 種,甲乙丙三人有且只有兩人相鄰的排法有 種(8) 甲乙丙三人至少有1人在兩端的排法有 種(9) 甲乙之間有且只有4人的排法有 種解:(1)8!, 88! (2) 28!,67!(3) 9!, 1, 21(4) 7!8!777!(5) 25!4!(6) 5!, 5!4!2(7) 9!28!227!, 36!2(8) 9!6!(9) 捆綁法24! 也可用枚舉法247! 變式訓(xùn)練2:從包含甲的若干名同學(xué)中選出4人分別參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)和英語競賽,每名同學(xué)只能參加一種競賽,且任2

14、名同學(xué)不能參加同一種競賽,若甲不參加物理和化學(xué)競賽,則共有72種不同的參賽方法,問一共有多少名同學(xué)?解:5例3. 在4000到7000之間有多少個(gè)四個(gè)數(shù)字均不相同的偶數(shù) 解:分兩類類5在千位上:15280類4或6在千位上:24448故有280448728個(gè)變式訓(xùn)練3:3張卡片的正反面上分別有數(shù)字0和1,3和4,5和6,當(dāng)把它們拼在一起組成三位數(shù)字的時(shí)可得到多少個(gè)不同的三位數(shù)(6可做9用)解:若6不能做9用,由于0不能排百位,此時(shí)有54240個(gè)這40個(gè)三位數(shù)中含數(shù)字6的有23214220個(gè),故6可做9用時(shí),可得三位數(shù)402060個(gè)例4. (1) 從6名短跑運(yùn)動(dòng)員中選4人參加4100米接力賽,問其

15、中不跑第一棒的安排方法有多少種?(2) 一排長椅上共有10個(gè)座位,現(xiàn)有4人就坐,恰有5個(gè)連續(xù)空位的坐法有多少種?解:(1)先安排第四棒,再安排其他三棒的人選,故有5300種 60對(duì)(2)假設(shè)五個(gè)連續(xù)空位為一個(gè)元素A,B為單獨(dú)一個(gè)空位元素,另4個(gè)為元素C1,C2,C3,C4間題轉(zhuǎn)化為A,B,C1,C2,C3,C4排列,條件A,B不相鄰,有480種.變式訓(xùn)練4:某地奧運(yùn)火炬接力傳遞路線共分6段,傳遞活動(dòng)分別由6名火炬手完成如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產(chǎn)生,最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產(chǎn)生,則不同的傳遞方案共有 種(用數(shù)字作答)解:96小結(jié)歸納1解排列應(yīng)用問題首先必須認(rèn)真分析題意看能否

16、把問題歸結(jié)為排隊(duì)(即排列)問題,較簡單的排列問題常用框圖或樹型來處理(注意也有個(gè)別問題不能用框圖來處理 如不相鄰問題等)2解有約束條件的排列問題的幾種策略a. 特殊元素,特殊位置優(yōu)先定位(也有個(gè)別例外情況,見例1)b. 相鄰問題捆綁處理不相鄰問題插空處理c. 正難則反,等價(jià)轉(zhuǎn)換3解排列應(yīng)用問題思路一定要清晰,并隨時(shí)注意轉(zhuǎn)換解題角度,通過練習(xí)要認(rèn)真理會(huì)解排列問題的各種方法4由于排列問題的結(jié)果一般數(shù)目較大不易直接驗(yàn)證,解題時(shí)要深入分析,嚴(yán)密周詳,要防止重復(fù)和遺漏為此可用多種不同的方法求解看看結(jié)果是否相同第3課時(shí) 組 合基礎(chǔ)過關(guān)1一般地說,從n個(gè)不同元素中,任取m(mn)個(gè)元素并成一組,叫做從n個(gè)不

17、同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合2排列與組合的共同點(diǎn),就是都要“從n個(gè)不同元素中,任取個(gè)元素”,而不同點(diǎn)就是前者要“按一定的順序成一列”,而后者卻是“不論怎樣的順序并成一組”從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù),叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù),用符號(hào)Cmn表示組合數(shù)公式 在求具體的組合數(shù)時(shí),常用上面的公式,分子由連續(xù)個(gè)自然數(shù)之積,最大的數(shù)為,最小的數(shù)是,分母是,如果進(jìn)行抽象的證明時(shí),一般常用下面的公式 ,它的分子是,分母是與的積3組合數(shù)性質(zhì): 典型例題例1. 某培訓(xùn)班有學(xué)生15名,其中正副班長各一名,先選派5名學(xué)生參加某種課外活動(dòng).(1) 如果班長和副班長必須在內(nèi)有多少

18、種選派法.(2) 如果班長和副班長有且只有1人在內(nèi)有多少種派法.(3) 如果班長和副班長都不在內(nèi)有多少種派法.(4) 如果班長和副班長至少有1人在內(nèi),有多少種派法.解;(1) 286 (2) 1430 (3) 1287(4) 1716變式訓(xùn)練1:從4名男生和3名女生中選4人參加某個(gè)座談會(huì),若這4個(gè)人中必須既有男生又有女生,則不同的選法有( )A140B120 C35D34 解:D例2. 從4名男生和3名女生中選出3人,分別從事三項(xiàng)不同的工作,若這3人中至少有1名女生,則選派方案共有( )A、108種 B、186種 C.216種 D、270種解:沒有女生的選法有, 至少有1名女生的選法有種,所以

19、選派方案總共有:31=186種。 故選B.變式訓(xùn)練2:從5位男教師和4位女教師中選出3位教師派到3個(gè)班擔(dān)任班主任(每班一位班主任),要求這3位班主任中男女教師都要有,則不同的選派方案共有( )A210種B420種 C630種D840種解:B例3. (1) 把10本相同的書分給編號(hào)1,2,3的閱覽室,要求每個(gè)閱覽室分得的書數(shù)不大于其編號(hào)數(shù),則不同的分法有多少種?(2) 以平行六面體ABCDA1B1C1D21的任意三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形,從中隨機(jī)取出兩個(gè)三角形,則這兩個(gè)三角形不共面情況有多少種?(3) 一次文藝演出中需要給舞臺(tái)上方安裝一排完全相同的彩燈15只,現(xiàn)以不同的亮燈方式來增加舞臺(tái)效果,設(shè)計(jì)者

20、按照每次亮燈時(shí)恰好有6只是關(guān)的,且相鄰的燈不能同時(shí)關(guān)掉,兩端的燈必須要亮的要求進(jìn)行設(shè)計(jì),求有多少不同的亮燈方式?解:(1)先在編號(hào)為1,2,3的閱覽室中依次放入0,1,2本書,再用隔板法分配剩下的書有15種,(2)平行六面體中能構(gòu)成三角形個(gè)數(shù)56為任取兩個(gè)有種情況,其中共面的有12,因而不共面的有12種 (3)變式訓(xùn)練3:馬路上有編號(hào)為1, 2, 3, 4.10的十盞路燈,為節(jié)約用電,又不影響照明可以把其中的三盞關(guān)掉,但不能關(guān)掉相鄰的兩盞,也不能關(guān)掉兩端的路燈,則滿足條件的關(guān)燈方法種數(shù)有_種.解:20 用插排法,把七盞亮燈排成一排,七盞亮燈之間有6個(gè)間隔,再將三盞不亮的燈插入其中的3個(gè)間隔,一

21、種插法對(duì)應(yīng)一種關(guān)燈的方法,故有種關(guān)燈方法例4. 四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共有10個(gè)點(diǎn),(1) 在其中取4個(gè)共面的點(diǎn),共有多少種不同的取法?(2) 在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn),共有多少種不同的取法解:(1)四個(gè)點(diǎn)共面的取法可分三類第一類:再同一個(gè)面上取,共有4個(gè)面;第二類:在一條棱上取三點(diǎn),再在它所對(duì)的棱上取中點(diǎn),共有6個(gè)面;第三類:在六條棱的六個(gè)中點(diǎn)中取,取兩對(duì)對(duì)棱的4個(gè)中點(diǎn),共有3個(gè)面故有69種(2) 用間接法共141個(gè)面變式訓(xùn)練4:在1, 2, 3100這100個(gè)數(shù)中任選不同的兩個(gè)數(shù),求滿足下列條件時(shí)各有多少種不同的取法(1) 其和是3的倍數(shù) (2) 其差是3的倍數(shù)(大數(shù)減小數(shù)). (3) 相加

22、,共有多少個(gè)不同的和. (4) 相乘,使其積為7的倍數(shù).解:(1) 1650 (2) 1617 (3) 197 (4)1295小結(jié)歸納1解有關(guān)組合應(yīng)用問題時(shí),首先要判斷這個(gè)問題是不是組合問題區(qū)別組合問題和排列問題的唯一標(biāo)準(zhǔn)是“順序”需要考慮順序的是排列問題不需要考慮順序的的才是組合問題2要注意準(zhǔn)確理解“有且僅有” “至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等詞語的確切含義3組合問題的一般可抽象為“選派”模型來處理另外有的問題也可用框圖結(jié)合對(duì)應(yīng)思想來處理。4避免重復(fù)和遺漏第4課時(shí) 排列組合綜合題基礎(chǔ)過關(guān)1解排列組合題中常用的方法有直接法、間接法、兩個(gè)原理、元素位置分析法、捆綁法、插空法、 枚舉

23、法、隔板法、對(duì)稱法;常用的數(shù)學(xué)思想主要有分類討論、思想轉(zhuǎn)化、化歸思想、對(duì)應(yīng)思想.2解排列組合綜合題一般要遵循以下的兩個(gè)原則(1)按元素性質(zhì)進(jìn)行分類(2)按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步.3處理排列組合綜合性問題時(shí)一般方法是先取(選)后排,但有時(shí)也可以邊取(選)邊排.4對(duì)于有多個(gè)約束條件的問題,先應(yīng)該深入分析每個(gè)約束條件,再綜合考慮如何分類或分步,但對(duì)于綜合性較強(qiáng)的問題則需要交叉使用兩個(gè)原理來解決問題.典型例題例1. 五個(gè)人站成一排,求在下列條件下的不同排法種數(shù):(1)甲必須在排頭;(2)甲必須在排頭,并且乙在排尾;(3)甲、乙必須在兩端;(4)甲不在排頭,并且乙不在排尾;(5)甲、乙不在兩端;(6)甲

24、在乙前;(7)甲在乙前,并且乙在丙前;(8)甲、乙相鄰;(9)甲、乙相鄰,但是與丙不相鄰;(10)甲、乙、丙不全相鄰解析:(1)特殊元素是甲,特殊位置是排頭;首先排“排頭”有種,再排其它4個(gè)位置有種,所以共有:=24種(2)甲必須在排頭,并且乙在排尾的排法種數(shù):=6種(3)首先排兩端有種,再排中間有種,所以甲、乙必須在兩端排法種數(shù)為:=12種(4)甲不在排頭,并且乙不在排尾排法種數(shù)為:2+=78種(5)因?yàn)閮啥宋恢梅蠗l件的排法有種,中間位置符合條件的排法有種,所以甲、乙不在兩端排法種數(shù)為=36種(6)因?yàn)榧?、乙共?!種順序,所以甲在乙前排法種數(shù)為:2!=60種(7)因?yàn)榧?、乙、丙共?!種

25、順序,所以甲在乙前,并且乙在丙前排法種數(shù)為:3!=20種(8)把甲、乙看成一個(gè)人來排有種,而甲、乙也存在順序變化,所以甲、乙相鄰排法種數(shù)為=48種(9)首先排甲、乙、丙外的兩個(gè)有,從而產(chǎn)生3個(gè)空,把甲、乙看成一個(gè)人與丙插入這3個(gè)空中的兩個(gè)有,而甲、乙也存在順序變化,所以甲、乙相鄰,但是與丙不相鄰排法種數(shù)為=24種(10)因?yàn)榧?、乙、丙相鄰有,所以甲、乙、丙不全相鄰排法種數(shù)為=84種變式訓(xùn)練1:某棟樓從二樓到三樓共10級(jí),上樓只許一步上一級(jí)或兩級(jí),若規(guī)定從二樓到三樓用8步走完,則不同的上樓方法有( )A45種B36種 C28種D25種解:C. 8步走10級(jí),則其中有兩步走兩級(jí),有6步走一級(jí)一步走

26、兩級(jí)記為a,一步走一級(jí)記為b,所求轉(zhuǎn)化為2個(gè)a和6個(gè)b排成一排,有多少種排法故上樓的方法有C28種;或用插排法例2. (1) 某校從8名教師中選派4名教師同時(shí)去4個(gè)遠(yuǎn)地區(qū)支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能事去或同不去,則不同的選派方案菜有多少處?(2) 5名乒乓選手的球隊(duì)中,有2名老隊(duì)員和3名新隊(duì)員,現(xiàn)從中選出3名隊(duì)員排成1、2、3號(hào)參加團(tuán)體比賽,則入選的3名隊(duì)員中至少有一名老隊(duì)員,且1、2號(hào)中至少有1名新隊(duì)員的排法有多少種?解:(1)分類:第一為甲丙都去,第二類不去共有種(2)分類:第一類兩名老隊(duì)員都去,第二類去一名老隊(duì)員共有種變式訓(xùn)練2:某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的六個(gè)節(jié)目已安排成節(jié)目

27、單,開演前又增加了三個(gè)新節(jié)目,如果將這三個(gè)節(jié)目插入原來的節(jié)目單中,那么不同的插法種數(shù)是( )A504B210 C336D120 解:A504 故選A 例3. 已知直線ax+by+c=0中的系數(shù)a,b,c是從集合-3,-2,-1,0,1,2,3中取出的三個(gè)不同的元素,且該直線的傾斜角為銳角,請(qǐng)問這樣的直線有多少條?解:首先把決定“直線條數(shù)”的特征性質(zhì),轉(zhuǎn)化為對(duì)“a,b,c”的情況討論。設(shè)直線的傾斜角為,并且為銳角。則tan=0,不妨設(shè)ab,那么b0當(dāng)c0時(shí),則a有3種取法,b有3種取法,c有4種取法,并且其中任意兩條直線不重合,所以這樣的直線有334=36條當(dāng)c=0時(shí), a有3種取法,b有3種取

28、法, 其中直線:3x-3y=0,2x-2y=0,x-y=0重合,所以這樣的直線有33-2=7條故符合條件的直線有7+36=43條變式訓(xùn)練3:將5名大學(xué)生畢業(yè)生分配到某公司所屬的三個(gè)部門中去,要求每個(gè)部門至少分配一人,則不同的分配方案共有_種.解: 例4. 從集合1,2,3,20中任選3個(gè)不同的數(shù),使這3個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,這樣的等差數(shù)列可以有多少個(gè)?解:a,b,c a,b,c成等差數(shù)列 要么同為奇數(shù),要么同為偶數(shù),故滿足題設(shè)的等差數(shù)列共有AA180(個(gè))變式訓(xùn)練4:某賽季足球比賽中的計(jì)分規(guī)則是:勝一場得3分,平一場得1分,負(fù)一場得0分,一球 隊(duì)打完15場,積33分,若不考慮順序,該隊(duì)勝負(fù)平的情況共

29、有多少種?解:設(shè)該隊(duì)勝負(fù)平的情況是:勝x場,負(fù)y場,則平15(xy)場,依題意有:x9 。故有3種情況,即勝、負(fù)、平的場數(shù)是:9,0,6;10,2,3;11,4,0小結(jié)歸納1排列組合應(yīng)用題的背景豐富無特定的模式和規(guī)律可循,背景陌生時(shí),必須認(rèn)真審題,把握問題的本質(zhì)特征,并善于把問題轉(zhuǎn)化為排列組合的常規(guī)模式進(jìn)而求解.2排列組合應(yīng)用題題形多變,但首先要弄清是有序還是無序,這是一個(gè)核心問題.3對(duì)于用直接法解較難的問題時(shí),則采用間接法解. 基礎(chǔ)過關(guān)第5課時(shí) 二項(xiàng)式定理1(ab)n (nN),這個(gè)公式稱做二項(xiàng)式定理,右邊的多項(xiàng)式叫做(ab)n的二項(xiàng)展開式,其中的系數(shù) 叫做二項(xiàng)式系數(shù)式中的 叫做二項(xiàng)展開式的

30、通項(xiàng),用Tr1表示,即通項(xiàng)公式Tr1 是表示展開式的第r1項(xiàng)2二項(xiàng)式定理中,二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)有: 在二項(xiàng)式展開式中,與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相等,即: 如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù),中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大;如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù),中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等并且最大,即當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),n+1是奇數(shù),展開式共有n+1項(xiàng),中間一項(xiàng),即:第 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,為 ;當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),n+1是偶數(shù),展開式共有n+1項(xiàng),中間兩項(xiàng),即第 項(xiàng)及每 項(xiàng),它們的二項(xiàng)式系數(shù)最大,為 二項(xiàng)式系數(shù)的和等于,即 二項(xiàng)展開式中,偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和等于奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和 即 展開式中相鄰兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的比是:3二項(xiàng)式定理主要有

31、以下應(yīng)用近似計(jì)算解決有關(guān)整除或求余數(shù)問題用二項(xiàng)式定理證明一些特殊的不等式和推導(dǎo)組合公式(其做法稱為“賦值法”)注意二項(xiàng)式定理只能解決一些與自然數(shù)有關(guān)的問題 楊輝三角形典型例題例1. (1) (06湖南理11)若(ax1)5的展開式中x3的系數(shù)是80,則實(shí)數(shù)a的值是 (2) (06湖北文8)在的展開式中,x的冪指數(shù)是整數(shù)的有 項(xiàng)(3) (1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)6展開式中x2項(xiàng)的系數(shù)為 解:(1)2 (2)5項(xiàng) (3)35變式訓(xùn)練1:若多項(xiàng)式, 則( )A、9 B、10 C、9 D、10解:根據(jù)左邊的系數(shù)為1,易知,左邊的系數(shù)為0,右邊的系數(shù)為, 故選D。 例2. 已知f

32、(x)(1+x)m+(1+x)n,其中m、nN展開式中x的一次項(xiàng)系數(shù)為11,問m、n為何值時(shí),含x3項(xiàng)的系數(shù)取得最小值?最小值是多少? 由題意,則含x3項(xiàng)的系數(shù)為,當(dāng)n5或6時(shí)x3系數(shù)取得最小值為30變式訓(xùn)練2:分已知的展開式中第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為,其中,則展開式中常數(shù)項(xiàng)是( )A、 45i B、 45i C、 45 D、45解析: 第三項(xiàng),第五項(xiàng)的系數(shù)分別為,依據(jù)題意有:,整理得即解方程(n10)(n5)0,當(dāng) 時(shí),有r=8,故常數(shù)項(xiàng)為=45 故選D例3. 若求()+()+()解:對(duì)于式子:令x=0,便得到:=1令x=1,得到=1又原式:()+()+()=原式:()+()+()=200

33、4注意:“二項(xiàng)式系數(shù)”同二項(xiàng)式展開式中“項(xiàng)的系數(shù)”的區(qū)別與聯(lián)系.變式訓(xùn)練3:若,則的值是( )AB1 C0D2解:A例4. 已知二項(xiàng)式,(nN)的展開式中第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)的比是10:1,(1)求展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和(2)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)以及二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)解:(1)第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)的比是10:1,解得n=8令x=1得到展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為(1-2)=1(2) 展開式中第r項(xiàng), 第r+1項(xiàng),第r+2項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值分別為,若第r+1項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值最大,則必須滿足: 并且 ,解得5r6;所以系數(shù)最大的項(xiàng)為T=1792;二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T=1120變式訓(xùn)練4:已知()

34、n的第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第三項(xiàng)的二項(xiàng)系數(shù)的比是14:3,求展開式中不含x的項(xiàng).求(x1)(x1)2(x1)3(x1)4(x1)5的展開式中x2項(xiàng)的系數(shù).解:小結(jié)歸納1注意(ab)n及(ab)n展開式中,通項(xiàng)公式分別為及這里且展開式都有n+1項(xiàng),在使用時(shí)要注意兩個(gè)公式的區(qū)別,求二項(xiàng)式的展開式中的指定項(xiàng),要扣住通項(xiàng)公式來解決問題2二項(xiàng)式的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是兩個(gè)不同的概念,前者僅與二項(xiàng)式的指數(shù)及項(xiàng)數(shù)有關(guān),與二項(xiàng)式無關(guān),后者與二項(xiàng)式,二項(xiàng)式的指數(shù)及項(xiàng)數(shù)均有關(guān)3應(yīng)用二項(xiàng)式定理計(jì)算一個(gè)數(shù)的乘方的近似值時(shí),應(yīng)根據(jù)題設(shè)中對(duì)精確度的要求,決定展開式中各項(xiàng)的取舍4求余數(shù)或證明整除問題,被除數(shù)是冪指數(shù)問

35、題時(shí),解決問題的關(guān)鍵是將底數(shù)轉(zhuǎn)化為除數(shù)的倍數(shù)加1或減1通過練習(xí)要仔細(xì)地去體會(huì)其中的變形技巧排列組合二項(xiàng)式定理章節(jié)測試題一、選擇題:1. 的展開式中的系數(shù)為( )A10 B5 C D11233122312.將1,2,3填入的方格中,要求每行、每列都沒有重復(fù)數(shù)字,下面是一種填法,則不同的填寫方法共有( )A6種B12種C24種D48種3. 的展開式中的系數(shù)是( )A B C3 D4 4.設(shè)則中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為( )A2B3C4D55. 12名同學(xué)合影,站成前排4人后排8人,現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排,若其他人的相對(duì)順序不變,則不同調(diào)整方法的總數(shù)是 ( )A B CD 6.某班級(jí)要從4名男士

36、、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務(wù),如果要求至少有1名女生,那么不同的選派方案種數(shù)為( )A.14 B.24 C7.從5名男生和5名女生中選3人組隊(duì)參加某集體項(xiàng)目的比賽,其中至少有一名女生入選的組隊(duì)方案數(shù)為( ) A.100 B.110 C8.某市擬從4個(gè)重點(diǎn)項(xiàng)目和6個(gè)一般項(xiàng)目中各選2個(gè)項(xiàng)目作為本年度啟動(dòng)的項(xiàng)目,則重點(diǎn)項(xiàng)目A和一般項(xiàng)目B至少有一個(gè)被選中的不同選法種數(shù)是( )A15 B45 C60 D759. 展開式中的常數(shù)項(xiàng)為( ) A1 B C D10. 4張卡片上分別寫有數(shù)字1,2,3,4,從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張,則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為( )ABCD11.一生產(chǎn)過

37、程有4道工序,每道工序需要安排一人照看現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人中安排4人分別照看一道工序,第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人,第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人,則不同的安排方案共有( )A24種B36種C48種D72種12.在的展開式中,含的項(xiàng)的系數(shù)是( )(A)-15 (B)85 (C)-120 (D)27413.若(x+)n的展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù),則展開式中x4項(xiàng)的系數(shù)為( )(A)6 (B)7 (C)8 (D)9 二、填空題:14.從10名男同學(xué),6名女同學(xué)中選3名參加體能測試,則選到的3名同學(xué)中既有男同學(xué)又有女同學(xué)的不同選法共有 種(用數(shù)字作答)15. 的展開式中常數(shù)

38、項(xiàng)為 ;各項(xiàng)系數(shù)之和為 (用數(shù)字作答)16.(x+)9展開式中x2的系數(shù)是 .(用數(shù)字作答)17.記的展開式中第m項(xiàng)的系數(shù)為,若,則=_.18. 展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 19.的展開式中的系數(shù)為 (用數(shù)字作答)20.某地奧運(yùn)火炬接力傳遞路線共分6段,傳遞活動(dòng)分別由6名火炬手完成如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產(chǎn)生,最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產(chǎn)生,則不同的傳遞方案共有 種(用數(shù)字作答)21. 展開式中的系數(shù)為_。22.從甲、乙等10名同學(xué)中挑選4名參加某校公益活動(dòng),要求甲、乙中至少有1人參加,則不同的挑選方法共有_種。23. 的二項(xiàng)展開式中的系數(shù)為 (用數(shù)字作答) 24.有4張分別標(biāo)有數(shù)

39、字1,2,3,4的紅色卡片和4張分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的藍(lán)色卡片,從這8張卡片中取出4張卡片排成一行如果取出的4張卡片所標(biāo)的數(shù)字之和等于10,則不同的排法共有 種(用數(shù)字作答)25.用1,2,3,4,5,6組成六位數(shù)(沒有重復(fù)數(shù)字),要求任何相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同,且1和2相鄰,這樣的六位數(shù)的個(gè)數(shù)是 (用數(shù)字作答) 三、解答題26由0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字。(1)能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)?(2)能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)?(3)能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字且被25個(gè)整除的四位數(shù)?(4)組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中比4032大的數(shù)有多少個(gè)?27已知的展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列(1)求n的值;(2)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)

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