高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪教師用書(shū)：第8章 第5節(jié) 空間向量的運(yùn)算及應(yīng)用 Word版含解析

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1、 第五節(jié)　空間向量的運(yùn)算及應(yīng)用 [最新考綱]　1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.2.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示.3.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直.4.理解直線的方向向量及平面的法向量.5.能用向量語(yǔ)言表述線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系.6.能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡(jiǎn)單定理． 1．空間向量的有關(guān)概念 名稱 定義 空間向量 在空間中，具有大小和方向的量 方向向量 A、B是空間直線l上任意兩點(diǎn)，則稱為直線l的方向向量 法向量 如果直線l

2、垂直于平面α，那么把直線l的方向向量n叫做平面α的法向量 共線向量 (或平行向量) 表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量 2．空間向量的有關(guān)定理 (1)共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb. (2)共面向量定理：如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底． 3．兩個(gè)向

3、量的數(shù)量積 (1)非零向量a，b的數(shù)量積a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律： ①結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交換律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4．空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用 設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． 向量表示 坐標(biāo)表示 數(shù)量積 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 共線 a＝λb (b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 垂直 a·b＝0 (a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a| 夾角

4、 〈a，b〉 (a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝ 5．空間位置關(guān)系的向量表示 位置關(guān)系 向量表示 直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2 l1∥l2 n1∥n2?n1＝λn2 l1⊥l2 n1⊥n2?n1·n2＝0 直線l的方向向量為n，平面α的法向量為m l∥α n⊥m?n·m＝0 l⊥α n∥m?n＝λm 平面α，β的法向量分別為n，m α∥β n∥m?n＝λm α⊥β n⊥m?n·m＝0 1．對(duì)空間任一點(diǎn)O，若＝x＋y(x＋y＝1)，則P，A，B三點(diǎn)共線． 2．對(duì)空間任一點(diǎn)O，若＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，則P，A，B，C四點(diǎn)

5、共面． 3．平面的法向量的確定：設(shè)a，b是平面α內(nèi)兩不共線向量，n為平面α的法向量，則求法向量的方程組為 一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)空間中任意兩非零向量a，b共面．(　　) (2)若A，B，C，D是空間任意四點(diǎn)，則有＋＋＋＝0.(　　) (3)設(shè){a，b，c}是空間的一個(gè)基底，則a，b，c中至多有一個(gè)零向量．(　　) (4)兩向量夾角的范圍與兩異面直線所成角的范圍相同．(　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 二、教材改編 1．設(shè)u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,4)分別是平面α，β的法向量．若α⊥β，則t＝(　　) A

6、．3　　　　 B．4　　　　 C．5　　　　 D．6 C　[∵α⊥β，則u·v＝－2×6＋2×(－4)＋4t＝0， ∴t＝5.] 2．在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn)．若＝a，＝b，＝c，則下列向量中與相等的向量是(　　) A．－a＋b＋c　　　 B．a(chǎn)＋b＋c C．－a－b＋c D．a(chǎn)－b＋c A　[＝＋＝＋(－)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.] 3．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，則下列向量是平面ABC法向量的是(　　) A．(－1,1,1) B．(1，－1,1) C． D． C　[設(shè)n＝(x，y，

7、z)為平面ABC的法向量， 則化簡(jiǎn)得∴x＝y(tǒng)＝z.故選C.] 4．已知a＝(2,3,1)，b＝(－4,2，x)，且a⊥b，則|b|＝________. 2　[∵a⊥b，∴a·b＝0， 即－8＋6＋x＝0，∴x＝2. ∴b＝(－4,2,2)， ∴|b|＝＝2.] 考點(diǎn)1　空間向量的線性運(yùn)算 　用基向量表示指定向量的方法 (1)結(jié)合已知向量和所求向量觀察圖形． (2)將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中． (3)利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來(lái)． 　1.如圖所示，已知空間四邊形OABC，其對(duì)角線為OB，AC，M，N分別為OA，BC

8、的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且＝2，若＝x＋y＋z，則x＋y＋z＝________. 　[連接ON，設(shè)＝a，＝b，＝c， 則＝－＝(＋)－＝b＋c－a， ＝＋＝＋ ＝a＋＝a＋b＋c. 又＝x＋y＋z，所以x＝，y＝，z＝， 因此x＋y＋z＝＋＋＝.] 2.如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)＝a，＝b，＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)， 試用a，b，c表示以下各向量： (1)；(2)；(3)＋. [解]　(1)因?yàn)镻是C1D1的中點(diǎn)， 所以＝＋＋＝a＋＋ ＝a＋c＋＝a＋c＋b. (2)因?yàn)镹是BC的中點(diǎn)， 所以＝＋＋

9、＝－a＋b＋ ＝－a＋b＋＝－a＋b＋c. (3)因?yàn)镸是AA1的中點(diǎn)， 所以＝＋＝＋ ＝－a＋＝a＋b＋c， 又＝＋＝＋ ＝＋＝c＋a， 所以＋＝＋＝a＋b＋c. 　空間向量的線性運(yùn)算類(lèi)似于平面向量中的線性運(yùn)算． 考點(diǎn)2　共線(共面)向量定理的應(yīng)用 　證明三點(diǎn)共線和空間四點(diǎn)共面的方法比較 三點(diǎn)(P，A，B)共線 空間四點(diǎn)(M，P，A，B)共面 ＝λ且同過(guò)點(diǎn)P ＝x＋y 對(duì)空間任一點(diǎn)O，＝＋t 對(duì)空間任一點(diǎn)O，＝＋x＋y 對(duì)空間任一點(diǎn)O，＝x＋(1－x) 對(duì)空間任一點(diǎn)O，＝x＋y＋(1－x－y) 　如圖，已知E，F(xiàn)，G，H分別為空間四邊形ABCD的邊AB

10、，BC，CD，DA的中點(diǎn)． (1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面； (2)求證：BD∥平面EFGH. [證明]　(1)連接BG，EG，則＝＋ ＝＋＝＋＋＝＋. 由共面向量定理的推論知E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面． (2)因?yàn)椋剑剑?－)＝， 所以EH∥BD. 又EH平面EFGH，BD平面EFGH， 所以BD∥平面EFGH. 　(1)本例(2)在證明中運(yùn)用了向量共線定理及線面平行的判定定理． (2)三點(diǎn)共線通常轉(zhuǎn)化為向量共線，四點(diǎn)共面通常轉(zhuǎn)化為向量共面，線面平行可轉(zhuǎn)化為向量共線、共面來(lái)證明． 　1.已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，

11、則λ與μ的值可以是(　　) A．2， B．－， C．－3,2 D．2,2 A　[∵a∥b，∴設(shè)b＝xa，∴ 解得或故選A.] 2．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，則實(shí)數(shù)λ等于________． 　[∵a與b不共線，故存在實(shí)數(shù)x，y使得c＝xa＋yb， ∴解得故填.] 考點(diǎn)3　空間向量數(shù)量積的應(yīng)用 　(1)利用數(shù)量積解決問(wèn)題的兩條途徑：一是根據(jù)數(shù)量積的定義，利用模與夾角直接計(jì)算；二是利用坐標(biāo)運(yùn)算． (2)空間向量的數(shù)量積可解決有關(guān)垂直、夾角、長(zhǎng)度問(wèn)題． ①a≠0，b≠0，a⊥b?a·b＝0. ②|a|＝.

12、③cos〈a，b〉＝. 　如圖所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面為平行四邊形，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都為1，且兩兩夾角為60°. (1)求AC1的長(zhǎng)； (2)求證：AC1⊥BD； (3)求BD1與AC夾角的余弦值． [解]　(1)記＝a，＝b，＝c， 則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， ∴a·b＝b·c＝c·a＝. |1|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×＝6， ∴||＝，即AC1的長(zhǎng)為. (2)證明：∵1＝a＋b＋c，＝b－a， ∴1·＝(a＋b＋c)·(b－a

13、) ＝a·b＋|b|2＋b·c－|a|2－a·b－a·c ＝b·c－a·c＝|b||c|cos 60°－|a||c|cos 60°＝0. ∴1⊥，∴AC1⊥BD. (3)1＝b＋c－a，＝a＋b， ∴|1|＝，||＝， 1·＝(b＋c－a)·(a＋b) ＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1. ∴cos〈1，〉＝＝. ∴AC與BD1夾角的余弦值為. 　 對(duì)于不方便建立空間直角坐標(biāo)系的題目，常常借助基向量及數(shù)量積的定義求解；倘若建系方便，則通過(guò)坐標(biāo)法求解． [教師備選例題]　 如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點(diǎn)，

14、計(jì)算： (1)·； (2)·. [解]　設(shè)＝a，＝b，＝c. 則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， (1)＝＝c－a，＝－a， ·＝·(－a)＝a2－a·c＝， (2)·＝(＋＋)·(－) ＝·(－) ＝·(－) ＝·(c－a) ＝＝. 　如圖，已知直三棱柱ABC-A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別是A1B1，A1A的中點(diǎn)． (1)求的模； (2)求cos〈，〉的值； (3)求證：A1B⊥C1M. [解]　(1)如圖，以點(diǎn)C作為坐標(biāo)原點(diǎn)O，CA，CB，CC1所在直線

15、分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系． 由題意得B(0,1,0)，N(1,0,1)， 所以|| ＝ ＝. (2)由題意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)， 所以＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)， ·＝3，||＝，||＝， 所以cos〈，〉＝＝. (3)證明：由題意得C1(0,0,2)，M， ＝(－1,1，－2)， ＝， 所以·＝－＋＋0＝0， 所以⊥， 即A1B⊥C1M. 考點(diǎn)4　利用向量證明平行與垂直 　1.利用空間向量證明平行的方法 線線平行 證明兩直線的方向向量共線 線面平行 ①證明該直線的方向

16、向量與平面的某一法向量垂直；②證明直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行 面面平行 ①證明兩平面的法向量為共線向量；②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問(wèn)題 2.利用空間向量證明垂直的方法 線線垂直 證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零 線面垂直 證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示 面面垂直 證明兩個(gè)平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎? 　如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，點(diǎn)M在PB上，PB＝4PM，PB與平面ABCD成30

17、°角，求證： (1)CM∥平面PAD； (2)平面PAB⊥平面PAD. [解]　(1)證明：由題意知，CB，CD，CP兩兩垂直，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB所在直線為x軸，CD所在直線為y軸，CP所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz. ∵PC⊥平面ABCD， ∴∠PBC為PB與平面ABCD所成的角， ∴∠PBC＝30°. ∵PC＝2，∴BC＝2，PB＝4， ∴D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M， ∴＝(0，－1,2)，＝(2，3,0)， ＝. 設(shè)n＝(x，y，z)為平面PAD的一個(gè)法向量， 由即 令y＝2，得n＝

18、(－，2,1)． ∵n·＝－×＋2×0＋1×＝0， ∴n⊥.又CM平面PAD， ∴CM∥平面PAD. (2)法一：由(1)知＝(0,4,0)，＝(2，0，－2)， 設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為m＝(x0，y0，z0)， 由即 令x0＝1，得m＝(1,0，)． 又∵平面PAD的一個(gè)法向量n＝(－，2,1)， ∴m·n＝1×(－)＋0×2＋×1＝0， ∴平面PAB⊥平面PAD. 法二：取AP的中點(diǎn)E，連接BE， 則E(，2,1)，＝(－，2,1)． ∵PB＝AB，∴BE⊥PA. 又∵·＝(－，2,1)·(2，3,0)＝0， ∴⊥.∴BE⊥DA. 又PA∩DA＝A，

19、∴BE⊥平面PAD. 又∵BE平面PAB， ∴平面PAB⊥平面PAD. 　點(diǎn)M的求解是本例的難點(diǎn)，求解的方式有兩種：一是在平面BCP中借助直角三角形中的邊角關(guān)系求解，二是借助向量共線定理利用＝4求解． 　如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD -A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD中點(diǎn)． (1)求證：B1E⊥AD1； (2)在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由． [解]　以A為原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)AB＝a. (1)證明：A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0

20、,1,1)，E，B1(a,0,1)， 故＝(0,1,1)，＝. 因?yàn)椤? ＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0， 因此⊥， 所以B1E⊥AD1. (2)存在滿足要求的點(diǎn)P， 假設(shè)在棱AA1上存在一點(diǎn)P(0,0，z0)， 使得DP∥平面B1AE，此時(shí)＝(0，－1，z0)， 再設(shè)平面B1AE的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)． ＝(a,0,1)，＝. 因?yàn)閚⊥平面B1AE，所以n⊥，n⊥， 得 取x＝1，則y＝－，z＝－a， 則平面B1AE的一個(gè)法向量n＝. 要使DP∥平面B1AE，只要n⊥， 有－az0＝0，解得z0＝. 所以存在點(diǎn)P，滿足DP∥平面B1AE，此時(shí)AP＝.