新編全國(guó)通用高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題11 空間幾何體含解析

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1、【走向高考】（全國(guó)通用）20xx高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題11 空間幾何體一、選擇題1(20xx河北衡水中學(xué)三調(diào)) 如圖正方形OABC的邊長(zhǎng)為1 cm，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長(zhǎng)是()A8 cmB6 cmC2(1) cmD2(1) cm答案A解析 由直觀圖得，原圖形是如圖所示的平行四邊形OABC，其中AOOB，可得OA1，OB2OB2，故AB3，原圖形的周長(zhǎng)為：2(31)8.方法點(diǎn)撥空間幾何體的直觀圖畫(huà)法規(guī)則空間幾何體直觀圖的畫(huà)法常采用斜二測(cè)畫(huà)法用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)平面圖形的直觀圖規(guī)則為“軸夾角45(或135)，平行長(zhǎng)不變，垂直長(zhǎng)減半”2(文)某四棱錐的底

2、面為正方形，其三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積等于()A1B2C3D4答案B解析由三視圖知，該幾何體底面是正方形，對(duì)角線長(zhǎng)為2，故邊長(zhǎng)為，幾何體是四棱錐，有一條側(cè)棱與底面垂直，其直觀圖如圖，由條件知PC，AC2，PA3，體積V()232.(理)(20xx新鄉(xiāng)、許昌、平頂山調(diào)研)在三棱錐PABC中，PA平面ABC，ACBC，D為側(cè)棱PC上的一點(diǎn)，它的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，則下列命題正確的是()AAD平面PBC，且三棱錐DABC的體積為BBD平面PAC，且三棱錐DABC的體積為CAD平面PBC，且三棱錐DABC的體積為DAD平面PAC，且三棱錐DABC的體積為答案C解析PA平面ABC，PABC，

3、又ACBC，PAACA，BC平面PAC，又AD平面PAC，BCAD，由正視圖可知，ADPC，又PCBCC，AD平面PBC，且VDABCVPABC4(44).方法點(diǎn)撥1.空間幾何體的三視圖畫(huà)法規(guī)則三視圖的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是從物體的正前方、正左方、正上方看到的物體輪廓線的正投影圍成的平面圖形，三視圖的畫(huà)法規(guī)則為“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”2識(shí)讀三視圖時(shí)，要特別注意觀察者的方位與三視圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系和虛實(shí)線3(文)(20xx洛陽(yáng)市期末)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖與側(cè)視圖均為半徑是1的圓，則這個(gè)幾何體的體積是()A. B.C D.答案C解析由三視圖知，該幾何體是一個(gè)球切去后所得的幾何體

4、，故其體積為：V13，選C.(理)(20xx河南八市質(zhì)檢)已知某幾何體的三視圖如圖所示，那么這個(gè)幾何體的外接球的表面積為()A4B12C2D4答案B解析根據(jù)三視圖可知該幾何體是一個(gè)四棱錐D1ABCD，它是由正方體ABCDA1B1C1D1切割出來(lái)的，所以外接球的直徑2RBD12，所以R，所以S4R212.方法點(diǎn)撥在分析空間幾何體的三視圖問(wèn)題時(shí)，先根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面，然后根據(jù)正(主)視圖或側(cè)(左)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實(shí)線和虛線所對(duì)應(yīng)的棱、面的位置，特別注意由各視圖中觀察者與幾何體的相對(duì)位置與圖中的虛實(shí)線來(lái)確定幾何體的形狀4(20xx唐山市一模)某幾何體的三視圖如圖所示，則

5、該幾何體的體積為()A. B.C8D8答案C解析由三視圖知原幾何體是棱長(zhǎng)為2的正方體中挖掉一個(gè)圓錐，VV正方體V圓錐222(12)28.方法點(diǎn)撥1.求幾何體的表面積與體積問(wèn)題，熟記公式是關(guān)鍵，應(yīng)多角度全方位的考慮(1)給出幾何體的形狀、幾何量求體積或表面積，直接套用公式(2)用三視圖給出幾何體，先依據(jù)三視圖規(guī)則想象幾何體的形狀特征，必要時(shí)畫(huà)出直觀圖，找出其幾何量代入相應(yīng)公式計(jì)算(3)用直觀圖給出幾何體，先依據(jù)線、面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)定理討論分析幾何體的形狀特征，再求體積或表面積(4)求幾何體的體積常用等積轉(zhuǎn)化的方法，轉(zhuǎn)換原則是其高易求，底面在幾何體的某一面上，求不規(guī)則幾何體的體積，主要用割補(bǔ)

6、法2涉及球與棱柱、棱錐的切、接問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及多面體中的特殊點(diǎn)或線作截面，把空間問(wèn)題化歸為平面問(wèn)題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系3若球面上四點(diǎn)P、A、B、C構(gòu)成的線段PA、PB、PC兩兩垂直，一般先將四棱錐PABCD補(bǔ)成球的內(nèi)接長(zhǎng)方體，利用4R2PA2PB2PC2解決問(wèn)題5(文)(20xx山東文，9)已知等腰直角三角形的直角邊的長(zhǎng)為2，將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()A. B.C2D4答案B解析考查1.旋轉(zhuǎn)體的幾何特征；2.幾何體的體積由題意知，該等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)為2，斜邊上的高為，所得旋轉(zhuǎn)體為同底等高的兩個(gè)全等圓錐，所以，其體

7、積為2()2，故選B.(理)(20xx山東理，7)在梯形ABCD中，ABC，ADBC，BC2AD2AB2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面圍成的幾何體的體積為()A. B.C.D2答案C解析梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面圍成的幾何體是一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓柱挖去一個(gè)底面半徑為1，高為1的圓錐所得的組合體；所以該組合體的體積為VV圓柱V圓錐1221212.故選C.6(文)(20xx安徽理，7)一個(gè)多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的表面積為()A21B18C21D18答案A解析如圖，還原直觀圖為棱長(zhǎng)為2的正方體截去兩個(gè)角，其6個(gè)面都被截去了一個(gè)直角邊長(zhǎng)為1

8、的等腰直角三角形，表面增加了兩個(gè)邊長(zhǎng)為的正三角形，故其表面積S6(2211)()2221.(理)一個(gè)半徑為1的球體經(jīng)過(guò)切割后，剩下部分幾何體的三視圖如圖所示，則剩下部分幾何體的表面積為()A. B.C4 D.答案D解析由三視圖知該幾何體是一個(gè)球體，保留了下半球，上半球分為四份，去掉了對(duì)頂?shù)膬煞?，故表面積為球的表面積，去掉球表面積加上6個(gè)的圓面積S4R2(4R2)6R2R2，又R1，S.方法點(diǎn)撥注意復(fù)合體的表面積計(jì)算，特別是一個(gè)幾何體切割去一部分后剩余部分的表面積計(jì)算要弄清增加和減少的部分7(文)(20xx福建文，9)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于()A82B112C142D1

9、5答案B解析考查三視圖和表面積由三視圖還原幾何體，該幾何體是底面為直角梯形，高為2的直四棱柱，且底面直角梯形的兩底長(zhǎng)分別為1,2，直角腰長(zhǎng)為1，斜腰為.底面積為233，側(cè)面積為224282，所以該幾何體的表面積為112，故選B.(理)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是()A1616B88C168 D.答案A解析由三視圖可知，幾何體為圓柱中挖去一個(gè)正四棱柱，所以體積V2242241616.8(文)已知一個(gè)三棱錐的正視圖與俯視圖如圖所示，則該三棱錐的側(cè)視圖面積為()A. B.C1 D.答案B解析由題意知，此三棱錐的底面為有一個(gè)角為30的直角三角形，其斜邊長(zhǎng)AC2，一個(gè)側(cè)面DAC為等腰直角

10、三角形，DE1，BF，其側(cè)視圖為直角三角形，其兩直角邊與DE、BF的長(zhǎng)度相等，面積S1.(理)某幾何體的三視圖(單位：m)如圖所示，則其表面積為()A(9632)m2B(6432)m2C(1141616)m2D(801616)m2答案D解析由三視圖知該幾何體是一個(gè)組合體，中間是一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體(由正、側(cè)視圖中間部分和俯視圖知)，上部是一個(gè)有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐，下部是一個(gè)正四棱錐，表面積S2(444)4424(42)801616(m2)二、填空題9(文)某幾何體的三視圖如圖所示，則其體積為_(kāi)答案解析由三視圖可知，此幾何體是底面半徑為1，高為2的半個(gè)圓錐V(122).(理)(20xx天

11、津文，10)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為_(kāi)m3.答案解析本題考查三視圖及簡(jiǎn)單幾何體的體積計(jì)算，考查空間想象能力和簡(jiǎn)單的計(jì)算能力由三視圖知，該幾何體下面是圓柱、上面是圓錐V124222.10(文)某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積為_(kāi)答案48解析由三視圖知，該幾何體是一個(gè)組合體，其上部為長(zhǎng)方體，下部為橫放的四棱柱，其底面是上底長(zhǎng)2，下底長(zhǎng)6，高為2的等腰梯形，柱高為4，其體積V242(26)2448.(理)某幾何體的三視圖(單位：cm)如下圖，則這個(gè)幾何體的表面積為_(kāi)cm2.答案122解析由三視圖知，該幾何體為正三棱柱，底面積S12(2)2，側(cè)面積S23(22

12、)12，表面積SS1S2122cm2.三、解答題11(文)(20xx北京文，18)如圖，在三棱錐VABC中，平面VAB平面ABC，VAB為等邊三角形，ACBC且ACBC，O，M分別為AB，VA的中點(diǎn)(1)求證：VB平面MOC；(2)求證：平面MOC平面VAB；(3)求三棱錐VABC的體積分析本題主要考查線線平行、線面平行、線線垂直、線面垂直、面面垂直、三棱錐的體積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、空間想象能力、邏輯推理能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力第一問(wèn)，在三角形ABV中，利用中位線的性質(zhì)得OMVB，最后直接利用線面平行的判定得到結(jié)論；第二問(wèn)，先在三角形ABC中得到OCAB，再利用面

13、面垂直的性質(zhì)得OC平面VAB，最后利用面面垂直的判定得出結(jié)論；第三問(wèn)，將三棱錐進(jìn)行等體積轉(zhuǎn)化，利用VCVABVVABC，先求出三角形VAB的面積，由于OC平面VAB，所以O(shè)C為錐體的高，利用錐體的體積公式計(jì)算出體積即可解析(1)因?yàn)镺，M分別為AB，VA的中點(diǎn)，所以O(shè)MVB.又因?yàn)閂B平面MOC，所以VB平面MOC.(2)因?yàn)锳CBC，O為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)CAB.又因?yàn)槠矫鎂AB平面ABC，且OC平面ABC，平面VAB平面ABCAB所以O(shè)C平面VAB.又因?yàn)镺C平面MOC所以平面MOC平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中，ACBC，所以AB2，OC1.所以等邊三角形VAB的面積SVAB

14、.又因?yàn)镺C平面VAB，所以三棱錐CVAB的體積等于OCSVAB.又因?yàn)槿忮FVABC的體積與三棱錐CVAB的體積相等，所以三棱錐VABC的體積為.(理)如圖，在四棱錐PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分別是CD、PC的中點(diǎn)，求證：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.解析(1)因?yàn)槠矫鍼AD底面ABCD，且PA垂直于這兩個(gè)平面的交線AD，所以PA底面ABCD.(2)因?yàn)锳BCD，CD2AB，E為CD的中點(diǎn)，所以ABDE，且ABDE.所以四邊形ABED為平行四邊形所以BEAD.又因?yàn)锽E平面PAD，AD平面

15、PAD，所以BE平面PAD.(3)因?yàn)锳BAD，而且ABED為平行四邊形，所以BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD.所以PACD.所以CD平面PAD.所以CDPD.因?yàn)镋和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，所以PDEF.所以CDEF，又因?yàn)镃DBE，BEEFE，所以CD平面BEF. 所以平面BEF平面PCD.12(文)在如圖所示的幾何體中，面CDEF為正方形，面ABCD為等腰梯形，ABCD，AC，AB2BC2，ACFB.(1)求證：AC平面FBC；(2)求四面體FBCD的體積；(3)線段AC上是否存在點(diǎn)M，使得EA平面FDM？證明你的結(jié)論解析(1)證明：在ABC中，AC，AB2，BC1，AC

16、BC.又ACFB，AC平面FBC.(2)解：AC平面FBC，ACFC.CDFC，F(xiàn)C平面ABCD.在等腰梯形ABCD中可得BCD120，CBDC1，F(xiàn)C1.SBCD，四面體FBCD的體積為：VFBCDSBCDFC.(3)線段AC上存在點(diǎn)M，且M為AC中點(diǎn)時(shí)，有EA平面FDM，證明如下：連接CE，與DF交于點(diǎn)N，連接MN.因?yàn)镃DEF為正方形，所以N為CE中點(diǎn)所以EAMN.因?yàn)镸N平面FDM，EA平面FDM，所以EA平面FDM.所以線段AC上存在點(diǎn)M，使得EA平面FDM成立(理)如圖，三棱柱ABCA1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形且側(cè)棱垂直于底面，側(cè)棱長(zhǎng)是，D是AC的中點(diǎn)(1)求證：B1C平

17、面A1BD；(2)求二面角A1BDA的大??；(3)求直線AB1與平面A1BD所成的角的正弦值解析解法一：(1)設(shè)AB1與A1B相交于點(diǎn)P，則P為AB1中點(diǎn)，連接PD，D為AC中點(diǎn)，PDB1C.又PD平面A1BD，B1C平面A1BD.B1C平面A1BD.(2)正三棱柱ABCA1B1C1，AA1底面ABC.又 BDAC，A1DBDA1DA就是二面角A1BDA的平面角AA1，ADAC1，tanA1DA.A1DA，即二面角A1BDA的大小是.(3)由(2)作AMA1D，M為垂足BDAC，平面A1ACC1平面ABC，平面A1ACC1平面ABCAC，BD平面A1ACC1，AM平面A1ACC1，BDAM，A

18、1DBDD，AM平面A1DB，連接MP，則APM就是直線AB1與平面A1BD所成的角AA1，AD1，在RtAA1D中，A1DA，AM1sin60，APAB1.sinAPM.直線AB1與平面A1BD所成的角的正弦值為.解法二：(1)同解法一(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0)，A(1,0,0)，A1(1,0，)，B(0，0)，B1(0，)，(1，)，(1,0，)設(shè)平面A1BD的法向量為n(x，y，z)則nxyz0，nxz0，則有，得n(，0,1)由題意，知(0,0，)是平面ABD的一個(gè)法向量設(shè)n與所成角為，則cos，.二面角A1BDA的大小是.(3)由已知，得(1，)，n(，0,1)

19、，設(shè)直線AB1與平面A1BD所成角為，則sin.直線AB1與平面A1BD所成的角的正弦值為.13(文)(20xx鄭州市質(zhì)檢)如圖，已知三棱柱ABCABC的側(cè)棱垂直于底面，ABAC，BAC90，點(diǎn)M，N分別為AB和BC的中點(diǎn)(1)證明：MN平面AACC；(2)設(shè)ABAA，當(dāng)為何值時(shí)，CN平面AMN，試證明你的結(jié)論解析(1)取AB的中點(diǎn)E，連接ME，NE，因?yàn)镸，N分別為AB和BC的中點(diǎn)，所以NEAC，MEAA又因?yàn)锳C平面AACC，AA平面AACC，所以ME平面AACC，NE平面AACC，所以平面MNE平面AACC，因?yàn)镸N平面EMN，所以MN平面AACC；(2)連接BN，設(shè)AAa，則ABAAa

20、，由題意知BCa，NCBN，因?yàn)槿庵鵄BCABC側(cè)棱垂直于底面，所以ABC平面BBCC，因?yàn)锳BAC，點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，所以AN平面BBCC，CNAN，要使CN平面AMN，只需CNNB即可，所以CN2NB2BC2，即222a2，則時(shí)，CN平面AMN.(理)(20xx天津文，17)如圖，已知AA1平面ABC，BB1AA1，ABAC3，BC2，AA1，BB12，點(diǎn)E和F分別為BC和A1C的中點(diǎn)(1)求證：EF平面A1B1BA；(2)求證：平面AEA1平面BCB1；(3)求直線A1B1與平面BCB1所成角的大小分析考查1.空間中線面位置關(guān)系的證明；2.直線與平面所成的角(1)要證明EF平面A1B1

21、BA，需在平面A1B1BA內(nèi)找到一條直線與EF平行，結(jié)合條件用中位線定理先證線線平行，再用判定定理證明；(2)先證明線面垂直，再利用面面垂直的判定定理證明；(3)先結(jié)合上面證明過(guò)程和題設(shè)條件找出線面角，再利用斜三角形知識(shí)求解；也可利用圖形特征，建立坐標(biāo)系用空間向量求解解析(1)如圖，連接A1B，在A1BC中，因?yàn)镋和F分別是BC，A1C的中點(diǎn)，所以EFBA1，又因?yàn)镋F平面A1B1BA，所以EF平面A1B1BA.(2)因?yàn)锳BAC，E為BC中點(diǎn)，所以AEBC，因?yàn)锳A1平面ABC，BB1AA1，所以BB1平面ABC，從而B(niǎo)B1AE，又BCBB1B，所以AE平面BCB1，又因?yàn)锳E平面AEA1，

22、所以平面AEA1平面BCB1.(3)取BB1中點(diǎn)M和B1C中點(diǎn)N，連接A1M，A1N，NE，因?yàn)镹和E分別為B1C、BC的中點(diǎn)，所以NEBB1，NEBB1，故NEAA1，NEAA1，所以A1NAE，A1NAE.又因?yàn)锳E平面BCB1，所以A1N平面BCB1，從而A1B1N就是直線A1B1與平面BCB1所成角，在ABC中，可得AE2，所以A1NAE2，因?yàn)锽MAA1，BMAA1，所以A1MAB，A1MAB，又由ABBB1，有A1MBB1.在RtA1MB1中，可得A1B14，在RtA1NB1中，sinA1B1N，因此A1B1N30，所以，直線A1B1與平面BCB1所成角為30.14(文)(20xx

23、陜西文，18)如圖1，在直角梯形ABCD中，ADBC, BAD，ABBCADa，E是AD的中點(diǎn)，O是AC與BE的交點(diǎn)將ABE沿BE折起到圖2中A1BE的位置，得到四棱錐A1BCDE.圖1圖2(1)證明：CD平面A1OC；(2)當(dāng)平面A1BE平面BCDE時(shí)，四棱錐A1BCDE的體積為36，求a的值分析考查1.線面垂直的判定；2.面面垂直的性質(zhì)定理；3.空間幾何體的體積(1)利用轉(zhuǎn)化思想及BECD，先證BE平面A1OC.(2)利用平面A1BE平面BCDE找出棱錐的高，利用方程思想和棱錐的體積公式，列出關(guān)于a的方程求解解析(1)在題圖1中，因?yàn)锳BBCADa，E是AD的中點(diǎn)，BAD，所以BEAC，故

24、在題圖2中，BEA1O，BEOC，從而B(niǎo)E平面A1OC，又CDBE，所以CD平面A1OC；(2)由已知，平面A1BE平面BCDE，且平面A1BE平面BCDEBE， 又由(1)知，A1OBE，所以A1O平面BCDE，即A1O是四棱錐A1BCDE的高，由題圖1可知，A1OABa，平行四邊形BCDE面積SBCABa2，從而四棱錐A1BCDE的體積為VSA1Oa2aa3，由a336，得a6.(理)(20xx四川理，18)一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示在正方體中，設(shè)BC的中點(diǎn)為M，GH的中點(diǎn)為N.(1)請(qǐng)將字母F，G，H標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處(不需說(shuō)明理由)；(2)證明：直線

25、MN平面BDH；(3)求二面角AEGM的余弦值分析本題主要考查簡(jiǎn)單空間圖形的直觀圖、空間線面平行的判定與性質(zhì)、二面角的計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力(1)注意ABCD是底面，將平面展開(kāi)圖還原可得點(diǎn)F、G、H的位置. (2)根據(jù)直線與平面平行的判定定理，應(yīng)考慮證明MN平行于平面BDH內(nèi)的一條直線連接O、M，易得MNHO是平行四邊形，從而MNOH，進(jìn)而證得MN平面BDH.(3)求二面角的方法一是幾何法，要作出二面角AEGM的平面角，首先要過(guò)M作平面AEGC的垂線，然后再過(guò)垂足作棱EG的垂線，再將垂足與點(diǎn)M連接，即可得二面角AEGM的平面角二是向量法，由于幾何體是特殊的

26、正方體，便于建立坐標(biāo)系，故可轉(zhuǎn)化為兩向量夾角求解解析(1)點(diǎn)F、G、H的位置如圖所示(2)連接BD，設(shè)O為BD的中點(diǎn)因?yàn)镸、N分別是BC、GH的中點(diǎn)，所以O(shè)MCD，且OMCD，NHCD，且NHCD，所以O(shè)MNH，OMNH，所以MNHO是平行四邊形，從而MNOH，又MN平面BDH，OH平面BDH，所以MN平面BDH.(3)連接AC，過(guò)M作MPAC于P. 在正方體ABCDEFGH中，ACEG，所以MPEG.過(guò)P作PKEG于K，連接KM，所以EG平面PKM，從而KMEG.所以PKM是二面角AEGM的平面角設(shè)AD2，則CM1，PK2，在RtCMP中，PMCMsin 45.在RtKMP中，KM.所以cosPKM.即二面角AEGM的余弦值為.(另外，也可利用空間坐標(biāo)系求解)方法點(diǎn)撥1.折疊問(wèn)題中，要畫(huà)出折疊前的平面圖形與折疊后的直觀圖，對(duì)比找出其位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系弄清其不變量和變化量及折疊前后的垂直性與平行性是關(guān)鍵2立體幾何中的存在型問(wèn)題，主要題型是，是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P滿足某種要求(如線線平行或垂直、線面平行或垂直等).