新版高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)分類自測 雙曲線 理

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1、 1

2、 1 高考理科數(shù)學(xué)考點(diǎn)分類自測:雙曲線 一、選擇題 1.“ab<0”是“方程ax2+by2=c表示雙曲線”的 (  ) A.必要但不充分條件     B.充分但不必要條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 2.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±x,若頂點(diǎn)到漸近線的距離為1,則雙曲線的方程為

3、 (  ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 3.設(shè)直線l過雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn),且與C的一條對(duì)稱軸垂直,l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|為C的實(shí)軸長的2倍,則C的離心率為 (  ) A. B. C. 2 D.3 4.已知雙曲線x2-=1的左頂點(diǎn)為A1,右焦點(diǎn)為F2,P為雙曲線右支上一點(diǎn),則 · 的最小值為 (  )

4、A.-2 B.-C.1 D.0 5.設(shè)橢圓+=1和雙曲線-x2=1的公共焦點(diǎn)分別為F1、F2,P為這兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn),則cos∠F1PF2的值為 (  ) A. B. C. D.- 6.已知雙曲線mx2-y2=1(m>0)的右頂點(diǎn)為A,若該雙曲線右支上存在兩點(diǎn)B、C使得△ABC為等腰直角三角形,則實(shí)數(shù)m的值可能為 (  ) A. B.1 C.2 D. 3 二、填空題 7.已知點(diǎn)(2,3)在雙曲線C:-=1(a>

5、0,b>0)上,C的焦距為4,則它的離心率為________. 8.已知雙曲線kx2-y2=1(k>0)的一條漸近線與直線2x+y+1=0垂直,那么雙曲線的離心率為________;漸近線方程為____________. 9.P為雙曲線x2-=1右支上一點(diǎn),M、N分別是圓(x+4)2+y2=4和(x-4)2+y2=1上的點(diǎn),則|PM|-|PN|的最大值為________. 三、解答題 10.已知雙曲線關(guān)于兩坐標(biāo)軸對(duì)稱,且與圓x2+y2=10相交于點(diǎn)P(3,-1),若此圓過點(diǎn)P的切線與雙曲線的一條漸近線平行,求此雙曲線的方程. 11.雙曲線-=1(a>1,b>0

6、)的焦距為2c,直線l過點(diǎn)(a,0)和(0,b),且點(diǎn)(1,0)到直線l的距離與點(diǎn)(-1,0)到直線l的距離之和s≥c,求雙曲線的離心率e的取值范圍. 12.P(x0,y0)(x0≠±a)是雙曲線E:-=1(a>0,b>0)上一點(diǎn),M、N分別是雙曲線E的左、右頂點(diǎn),直線PM,PN的斜率之積為. (1)求雙曲線的離心率; (2)過雙曲線E的右焦點(diǎn)且斜率為1的直線交雙曲線于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),C為雙曲線上一點(diǎn),滿足 =λ + ,求λ的值. 詳解答案 一、選擇題1.解析:若ax2+by2=c表示雙曲線,即+=1表示雙曲線,則<0

7、,這就是說“ab<0”是必要條件,然而若ab<0,c可以等于0,即“ab<0”不是充分條件. 答案:A 2.解析:不妨設(shè)頂點(diǎn)(a,0)到直線x-3y=0的距離為1,即=1,解得a=2.又=,所以b=,所以雙曲線的方程為-=1. 答案:A 3.解析:設(shè)雙曲線C的方程為-=1,焦點(diǎn)F(-c,0),將x=-c代入-=1可得y2=,所以|AB|=2×=2×2a.∴b2=2a2.c2=a2+b2=3a2.∴e==. 答案:B 4.解析:設(shè)點(diǎn)P(x,y),其中x≥1.依題意得A1(-1,0)、F2(2,0),則有=x2-1,y2=3(x2-1), · =(-1-x,-y)·(2-x,-y)=(

8、x+1)(x-2)+y2=x2+3(x2-1)-x-2=4x2-x-5=4(x-)2-,其中x≥1.因此,當(dāng)x=1時(shí), · 取得最小值-2. 答案:A 5.解析:由題意可知m-2=3+1,解得m=6. 法一:由橢圓與雙曲線的對(duì)稱性,不妨設(shè)點(diǎn)P為第一象限內(nèi)的點(diǎn),F(xiàn)1(0,-2),F(xiàn)2(0,2),聯(lián)立+=1與-x2=1組成方程組,解得P(,).所以由兩點(diǎn)距離公式計(jì)算得|PF1|=+,|PF2|=-. 又|F1F2|=4,所以由余弦定理得 cos∠F1PF2==. 法二:由橢圓與雙曲線的對(duì)稱性,不妨設(shè)點(diǎn)P為第一象限內(nèi)的點(diǎn),F(xiàn)1(0,-2).F2(0,2),由題意得|PF1|+|PF2|=

9、2,|PF1|-|PF2|=2,|F1F2|=4,解得|PF1|=+,|PF2|=-,同上由余弦定理可得cos∠F1PF2=. 答案:B 6.解析:由題意可得,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(,0),設(shè)直線AB的方程為y=tan 45°(x-),即x=y(tǒng)+,與雙曲線方程聯(lián)立可得,,則(m-1)y2+2y=0,解得y=0或y=.由題意知y=為B點(diǎn)的縱坐標(biāo),且滿足>0,即0

10、,三個(gè)方程,三個(gè)未知量,可以解出a=1,b=,c=2,所以,離心率e=2. 答案:2 8.解析:雙曲線kx2-y2=1的漸近線方程是y=±x.∵雙曲線的一條漸近線與直線2x+y+1=0垂直,∴=,k=,∴雙曲線的離心率為 e==,漸近線方程為x±y=0. 答案: x±y=0 9.解析:雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(-4,0)、F2(4,0),為兩個(gè)圓的圓心,半徑分別為r1=2,r2=1,|PM|max=|PF1|+2, |PN|min=|PF2|-1,故|PM|-|PN|的最大值為(|PF1|+2)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+3=5. 答案:5 三、解答題 10.解:

11、切點(diǎn)為P(3,-1)的圓x2+y2=10的切線方程是3x-y=10. ∵雙曲線的一條漸近線與此切線平行,且雙曲線關(guān)于兩坐標(biāo)軸對(duì)稱,∴兩漸近線方程為3x±y=0. 設(shè)所求雙曲線方程為9x2-y2=λ(λ≠0). ∵點(diǎn)P(3,-1)在雙曲線上,代入上式可得λ=80, ∴所求的雙曲線方程為-=1. 11.解:直線l的方程為+=1,即bx+ay-ab=0. 由點(diǎn)到直線的距離公式,且a>1,得到點(diǎn)(1,0)到直線l的距離d1=, 同理得到點(diǎn)(-1,0)到直線l的距離d2=. ∴s=d1+d2==. 由s≥c,得≥c,即5a≥2c2. 于是得5≥2e2,即4e4-25e2+25≤0.

12、 解不等式,得≤e2≤5. 由于e>1,∴e的取值范圍是[,]. 12.解:(1)點(diǎn)P(x0,y0)(x≠±a)在雙曲線-=1上, 有-=1. 由題意又有·=, 可得a2=5b2,c2=a2+b2=6b2, 則e==. (2)聯(lián)立,得4x2-10cx+35b2=0, 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則① 設(shè) =(x3,y3), =λ+ ,即 又C為雙曲線上一點(diǎn),即x-5y=5b2, 有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2. 化簡得:λ2(x-5y)+(x-5y)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b2, 又A(x1,y1),B(x2,y2)在雙曲線上,所以x-5y=5b2, x-5y=5b2. 由①式又有x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)= -4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2, 得:λ2+4λ=0,解出λ=0,或λ=-4.

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