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課時規(guī)范練39 直線及其方程
一、選擇題
1.直線經(jīng)過原點和點(-1,-1),則它的傾斜角α是( )
A.45° B.135° C.45°或135° D.0°
答案:A
解析:直線的斜率k==1,∴tan α=1.∴α=45°.[來源:]
2.已知點P(3,m)在過M(2,-1)和N(-3,4)的直線上,則m的值是( )
A.5 B.2 C.-2 D.-6
3、
答案:C
解析:過點M,N的直線方程為.[來源:]
又∵P(3,m)在這條直線上,∴,m=-2.
3.一次函數(shù)y=-x+的圖象同時經(jīng)過第一、二、四象限的必要不充分條件是( )
A.m>1,且n>1 B.mn>0
C.m>0,且n<0 D.m>0,且n>0
答案:B
解析:因為y=-x+經(jīng)過第一、二、四象限,故-<0,>0,即m>0,n>0,但此為充要條件,因此,其必要不充分條件為mn>0,故選B.
4.設(shè)A,B是x軸上的兩點,點P的橫坐標為2,且|PA|=|PB|,若直線PA的方程為x-y+1=0,則直線PB的方程是( )
A.x+y-5=0 B.2x-y-1=0
C.
4、2x-y-4=0 D.2x+y-7=0
答案:A
解析:易知A(-1,0).
∵|PA|=|PB|,
∴P在AB的中垂線即x=2上.∴B(5,0).
∵PA,PB關(guān)于直線x=2對稱,∴kPB=-1.
∴l(xiāng)PB:y-0=-(x-5),即x+y-5=0.
5.已知函數(shù)f(x)=ax(a>0,且a≠1),當x<0時,f(x)>1,方程y=ax+表示的直線是( )
答案:C
解析:∵f(x)=ax且x<0時,f(x)>1,
∴01.
又∵y=ax+,
令x=0得y=,
令y=0得x=-.
∵,
故C項圖符合要求.
6.如圖,直角坐標平面內(nèi)的正六邊形
5、ABCDEF的中心在原點,邊長為a,AB邊平行于x軸,直線l:y=kx+t(k為常數(shù))與正六邊形交于M,N兩點,記△OMN的面積為S,則關(guān)于函數(shù)S=f(t)的奇偶性的判斷正確的是( )
A.f(t)一定是奇函數(shù)
B.f(t)一定是偶函數(shù)
C.f(t)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)
D.f(t)的奇偶性與k有關(guān)
答案:B
解析:設(shè)M點關(guān)于原點的對稱點為M',N點關(guān)于原點的對稱點為N',易知點M',N'在正六邊形的邊上.當直線l在某一個確定的位置時,對應(yīng)有一個t值,那么易得直線M'N'的斜率仍為k,且直線M'N'在y軸上的截距為-t,顯然△OMN的面積等于△OM'N'的面積,因此函數(shù)S=f
6、(t)一定是偶函數(shù),選B.
二、填空題
7.直線ax+my-2a=0(m≠0)過點(1,1),則該直線的傾斜角為 .?
答案:135°
解析:∵ax+my-2a=0(m≠0)過點(1,1),
∴a+m-2a=0.
∴m=a.直線方程為ax+ay-2a=0,[來源:]
又m=a≠0,
∴直線方程即為x+y-2=0.
∴斜率k=-1.∴傾斜角α=135°.
8.若A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)三點共線,則= .?
答案:
解析:設(shè)直線方程為=1,因為A(2,2)在直線上,
所以=1,即.
9.已知θ∈R,則直線xsin θ-y+1=
7、0的傾斜角的取值范圍是 .?
答案:[0°,30°]∪[150°,180°)
解析:k=sin θ,∵θ∈R,
∴k∈,
∴傾斜角α∈[0°,30°]∪[150°,180°).
10.函數(shù)y=asin x-bcos x的一個對稱軸方程為x=,則直線ax-by+c=0的傾斜角為 .?
答案:135°
解析:令f(x)=asin x-bcos x,由于f(x)的一條對稱軸為x=,得f(0)=f,即-b=a,=-1.∴直線ax-by+c=0的斜率為-1,傾斜角為135°.
三、解答題
11.已知直線l1的方向向量為a=(1,3),直線l2的方向向量為b=(-1,k)
8、.若直線l2經(jīng)過點(0,5)且l1⊥l2,求直線l2的方程.
解:由已知條件知=3,=-k.∵l1⊥l2,∴3×(-k)=-1.
∴k=,即=-.又∵直線l2過點(0,5),
∴l(xiāng)2的方程為y=-x+5,即x+3y-15=0.
12.求下列直線l的方程:
(1)過點A(0,2),它的傾斜角的正弦值是;
(2)過點A(2,1),它的傾斜角是直線l1:3x+4y+5=0的傾斜角的一半.
解:(1)設(shè)直線l的傾斜角為α,則sin α=,tan α=±,
由斜截式得y=±x+2,即3x-4y+8=0或3x+4y-8=0.
(2)設(shè)直線l和l1的傾斜角分別為α,β,
則α=,又tan
9、 β=-,則-,
解得tan α=3或tan α=-(舍去).
由點斜式得y-1=3(x-2),
即直線l的方程為3x-y-5=0.
13.設(shè)直線l的方程為(a+1)x+y+2-a=0(a∈R),
(1)若l在兩坐標軸上的截距相等,求l的方程;
(2)若l不經(jīng)過第二象限,求實數(shù)a的取值范圍.
解:(1)∵l在兩坐標軸上的截距相等,
∴直線l的斜率存在,a≠-1.
令x=0,得y=a-2.令y=0,得x=.
由a-2=,解得a=2或a=0.
∴所求直線l的方程為3x+y=0或x+y+2=0.
(2)直線l的方程可化為y=-(a+1)x+a-2.
∵l不經(jīng)過第二象限,∴∴
10、a≤-1.
∴a的取值范圍為(-∞,-1].
14.已知直線l:kx-y+1+2k=0(k∈R),
(1)求證:直線l過定點;
(2)若直線l不經(jīng)過第四象限,求k的取值范圍;
(3)若直線l交x軸負半軸于點A,交y軸正半軸于點B,O為坐標原點,設(shè)△AOB的面積為S,求S的最小值及此時直線l的方程.
(1)證明:設(shè)直線過定點(x0,y0),
則kx0-y0+1+2k=0對任意k∈R恒成立,[來源:]
即(x0+2)k-y0+1=0恒成立.
所以x0+2=0,-y0+1=0.
解得x0=-2,y0=1,故直線l總過定點(-2,1).
(2)解:直線l的方程為y=kx+2k+1
11、,
則直線l在y軸上的截距為2k+1,
要使直線l不經(jīng)過第四象限,
則解得k的取值范圍是k≥0.
(3)解:依題意,直線l在x軸上的截距為-,在y軸上的截距為1+2k,∴A,B(0,1+2k).
又-<0且1+2k>0,
∴k>0.故S=|OA||OB|=×(1+2k)
=(4+4)=4,
當且僅當4k=,即k=時,取等號.
故S的最小值為4,此時直線l的方程為x-2y+4=0.
四、選做題
1.設(shè)m,n∈R,若直線l:mx+ny-1=0與x軸相交于點A,與y軸相交于點B,且坐標原點O到直線l的距離為,則△AOB的面積S的最小值為( )
A. B.2 C.3 D.4
12、
答案:C
解析:原點O到直線l的距離d=,∴m2+n2=,在直線l的方程中,令y=0可得x=,即直線l與x軸交于點A,令x=0可得y=,即直線l與y軸交于點B,
∴S△AOB=|OA|·|OB|=··=3,當且僅當|m|=|n|時上式取等號,由于m2+n2=,故當m2=n2=時,△AOB面積取最小值3.
2.如圖,已知A(4,0),B(0,4),從點P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上,最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點,則光線所經(jīng)過的路程是 .?
答案:2
3.已知過點P(1,2)的直線分別與x軸和y軸的正半軸交于A,B兩點.求:
(1)y軸上的截距是
13、x軸上的截距的兩倍時直線的方程;
(2)|PA|·|PB|取最小值時直線的方程.
解:(1)設(shè)所求直線的方程為=1,即2x+y-2a=0.
因為直線l過點P(1,2),
所以2×1+2-2a=0,即a=2,
所以所求直線的方程為2x+y-4=0.
(2)設(shè)所求直線的方程為y-2=k(x-1),
由題意可知k<0,
令x=0,則y=2-k;令y=0,則x=1-,
所以A,B(0,2-k),[來源:]
|PA|2·|PB|2=·[1+(-k)2]=8+4k2+
≥8+2=16,
當且僅當4k2=,即k=-1時取等號.
所以|PA|·|PB|的最小值是4時,直線的方程為x+y-3=0.
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