新編高考數(shù)學二輪復習 考前回扣5 數(shù)列講學案 理

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1、新編高考數(shù)學復習資料 回扣5 數(shù) 列 1.牢記概念與公式 等差數(shù)列、等比數(shù)列 等差數(shù)列 等比數(shù)列 通項公式 an=a1+(n-1)d an=a1qn-1 (q≠0) 前n項和 Sn= =na1+d (1)q≠1,Sn==; (2)q=1,Sn=na1 2.活用定理與結論 (1)等差、等比數(shù)列{an}的常用性質 等差數(shù)列 等比數(shù)列 性質 ①若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q, 則am+an=ap+aq; ②an=am+(n-m)d; ③Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍成等差數(shù)列 ①若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q

2、,則am·an=ap·aq; ②an=amqn-m; ③Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍成等比數(shù)列(Sm≠0) (2)判斷等差數(shù)列的常用方法 ①定義法 an+1-an=d(常數(shù))(n∈N*)?{an}是等差數(shù)列. ②通項公式法 an=pn+q(p,q為常數(shù),n∈N*)?{an}是等差數(shù)列. ③中項公式法 2an+1=an+an+2 (n∈N*)?{an}是等差數(shù)列. ④前n項和公式法 Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù),n∈N*)?{an}是等差數(shù)列. (3)判斷等比數(shù)列的常用方法 ①定義法 =q (q是不為0的常數(shù),n∈N*)?{an}是等比數(shù)列. ②

3、通項公式法 an=cqn (c,q均是不為0的常數(shù),n∈N*)?{an}是等比數(shù)列. ③中項公式法 a=an·an+2(an·an+1·an+2≠0,n∈N*)?{an}是等比數(shù)列. 3.數(shù)列求和的常用方法 (1)等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和,直接利用公式求和. (2)形如{an·bn}(其中{an}為等差數(shù)列,{bn}為等比數(shù)列)的數(shù)列,利用錯位相減法求和. (3)通項公式形如an=(其中a,b1,b2,c為常數(shù))用裂項相消法求和. (4)通項公式形如an=(-1)n·n或an=a·(-1)n(其中a為常數(shù),n∈N*)等正負項交叉的數(shù)列求和一般用并項法.并項時應注意分n為奇數(shù)、偶

4、數(shù)兩種情況討論. (5)分組求和法:分組求和法是解決通項公式可以寫成cn=an+bn形式的數(shù)列求和問題的方法,其中{an}與{bn}是等差(比)數(shù)列或一些可以直接求和的數(shù)列. (6)并項求和法:先將某些項放在一起求和,然后再求Sn. 1.已知數(shù)列的前n項和求an,易忽視n=1的情形,直接用Sn-Sn-1表示.事實上,當n=1時,a1=S1;當n≥2時,an=Sn-Sn-1. 2.易混淆幾何平均數(shù)與等比中項,正數(shù)a,b的等比中項是±. 3.等差數(shù)列中不能熟練利用數(shù)列的性質轉化已知條件,靈活整體代換進行基本運算.如等差數(shù)列{an}與{bn}的前n項和分別為Sn和Tn,已知=,求時,無

5、法正確賦值求解. 4.易忽視等比數(shù)列中公比q≠0導致增解,易忽視等比數(shù)列的奇數(shù)項或偶數(shù)項符號相同造成增解. 5.運用等比數(shù)列的前n項和公式時,易忘記分類討論.一定分q=1和q≠1兩種情況進行討論. 6.利用錯位相減法求和時,要注意尋找規(guī)律,不要漏掉第一項和最后一項. 7.裂項相消法求和時,分裂前后的值要相等, 如≠-,而是=. 8.通項中含有(-1)n的數(shù)列求和時,要把結果寫成n為奇數(shù)和n為偶數(shù)兩種情況的分段形式. 1.設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知S13>0,S14<0,若ak·ak+1<0,則k等于(  ) A.6 B.7 C.13 D.14 答案 

6、B 解析 因為{an}為等差數(shù)列,S13=13a7,S14=7(a7+a8), 所以a7>0,a8<0,a7·a8<0,所以k=7. 2.已知在等比數(shù)列{an}中,a1+a2=3,a3+a4=12,則a5+a6等于(  ) A.3 B.15 C.48 D.63 答案 C 解析 =q2=4,所以a5+a6=(a3+a4)·q2=48. 3.設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1>0,a3+a10>0,a6a7<0,則滿足Sn>0的最大自然數(shù)n的值為(  ) A.6 B.7 C.12 D.13 答案 C 解析 ∵a1>0,a6a7<0, ∴a6>0,a7

7、<0,等差數(shù)列的公差小于零, 又a3+a10=a1+a12>0,a1+a13=2a7<0, ∴S12>0,S13<0, ∴滿足Sn>0的最大自然數(shù)n的值為12. 4.已知數(shù)列{an}滿足(n∈N*)且a2+a4+a6=9,則等于(  ) A.- B.3 C.-3 D. 答案 C 解析 由已知=,所以an+1=an+2,所以數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列, a5+a7+a9=(a2+3d)+(a4+3d)+(a6+3d) =(a2+a4+a6)+9d=9+9×2=27, 所以故選C. 5.已知正數(shù)組成的等比數(shù)列{an},若a1·a20=100,那么a7+a14的最小

8、值為(  ) A.20 B.25 C.50 D.不存在 答案 A 解析 在正數(shù)組成的等比數(shù)列{an}中,因為a1·a20=100,由等比數(shù)列的性質可得a1·a20=a4·a17=100,那么a7+a14≥2=2=20,當且僅當a7=a14=10時取等號,所以a7+a14的最小值為20. 6.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若Sn=2an-4(n∈N*),則an等于(  ) A.2n+1 B.2n C.2n-1 D.2n-2 答案 A 解析 an+1=Sn+1-Sn=2an+1-4-(2an-4)?an+1=2an,再令n=1,∴S1=2a1-4?a1=4, ∴數(shù)列

9、{an}是以4為首項,2為公比的等比數(shù)列, ∴an=4·2n-1=2n+1,故選A. 7.已知等差數(shù)列{an}的公差和首項都不等于0,且a2,a4,a8成等比數(shù)列,則等于(  ) A.2 B.3 C.5 D.7 答案 B 解析 ∵在等差數(shù)列{an}中,a2,a4,a8成等比數(shù)列, ∴a=a2a8,∴(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),∴d2=a1d,∵d≠0,∴d=a1,∴==3,故選B. 8.已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和,若an(4+cos nπ)=n(2-cos nπ),則S20等于(  ) A.31 B.122 C.324 D.484 答

10、案 B 解析 由題意可知,因為an(4+cos nπ)=n(2-cos nπ), 所以a1=1,a2=,a3=3,a4=,a5=5,a6=,…, 所以數(shù)列{an}的奇數(shù)項構成首項為1,公差為2的等差數(shù)列,偶數(shù)項構成首項為,公差為的等差數(shù)列, 所以S20=(a1+a3+……+a19)+(a2+a4+…+a20)=122, 故選B. 9.已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a13成等比數(shù)列,若a1=1,Sn是數(shù)列{an}的前n項和,則(n∈N*)的最小值為(  ) A.4 B.3 C.2-2 D. 答案 A 解析 由題意a1,a3,a13成等比數(shù)列,可得(1

11、+2d)2=1+12d,解得d=2,故an=2n-1,Sn=n2,因此====(n+1)+-2,由基本不等式知,=(n+1)+-2≥2-2=4,當n=2時取得最小值4. 10.已知F(x)=f-1是R上的奇函數(shù),數(shù)列{an}滿足an=f(0)+f+…+f+f(1)(n∈N*),則數(shù)列{an}的通項公式為(  ) A.an=n-1 B.an=n C.an=n+1 D.an=n2 答案 C 解析 由題意F(x)=f-1是R上的奇函數(shù),即F(x)關于(0,0)對稱,則f(x)關于對稱. 即f(0)+f(1)=2,f=1,f+f=2, f+f=2, 則an=f(0)+f+…+f

12、+f(1)=n+1. 11.在等差數(shù)列{an}中,已知a3+a8=10,則3a5+a7=________. 答案 20 解析 設公差為d,則a3+a8=2a1+9d=10, 3a5+a7=3(a1+4d)+(a1+6d)=4a1+18d=2×10=20. 12.若等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),且a10a11+a9a12=2e5,則ln a1+ln a2+…+ln a20=________. 答案 50 解析 ∵數(shù)列{an}為等比數(shù)列,且a10a11+a9a12=2e5, ∴a10a11+a9a12=2a10a11=2e5,∴a10a11=e5, ∴l(xiāng)n a1+ln a2+…

13、+ln a20=ln(a1a2…a20) =ln(a10a11)10=ln(e5)10=ln e50=50. 13.數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知a1=2,Sn+1+(-1)nSn=2n,則S100=____________. 答案 198 解析 當n為偶數(shù)時,Sn+1+Sn=2n,Sn+2-Sn+1=2n+2,所以Sn+2+Sn=4n+2,故Sn+4+Sn+2=4(n+2)+2,所以Sn+4-Sn=8,由a1=2知,S1=2,又S2-S1=2,所以S2=4,因為S4+S2=4×2+2=10,所以S4=6,所以S8-S4=8,S12-S8=8,…,S100-S96=8,所以S100

14、=24×8+S4=192+6=198. 14.若數(shù)列{an}滿足a2-a1>a3-a2>a4-a3>…>an+1-an>…,則稱數(shù)列{an}為“差遞減”數(shù)列.若數(shù)列{an}是“差遞減”數(shù)列,且其通項an與其前n項和Sn滿足2Sn=3an+2λ-1,則實數(shù)λ的取值范圍是________. 答案  解析 當n=1時,2a1=3a1+2λ-1,a1=1-2λ,當n>1時,2Sn-1=3an-1+2λ-1,所以2an=3an-3an-1,an=3an-1,所以an=3n-1,an-an-1=3n-1-3n-2=3n-2,依題意3n-2是一個減數(shù)列,所以2-4λ<0,λ>. 15.Sn為等差數(shù)列

15、{an}的前n項和,且a1=1,S7=28.記bn=[lg an],其中[x]表示不超過x的最大整數(shù),如[0.9]=0,[lg 99]=1. (1)求b1,b11,b101; (2)求數(shù)列{bn}的前1 000項和. 解 (1)設{an}的公差為d,由已知可知, S7=7×a1+×d=7+21d=28, 解得d=1,所以{an}的通項公式為an=1+(n-1)×1=n. b1=[lg 1]=0,b11=[lg 11]=1,b101=[lg 101]=2. (2)因為bn= 所以數(shù)列{bn}的前1 000項和為1×90+2×900+3×1=1 893. 16.各項為正數(shù)的數(shù)列{

16、an}的前n項和為Sn,且滿足:Sn=a+an+(n∈N*). (1)求an; (2)設數(shù)列的前n項和為Tn,證明:對一切正整數(shù)n,都有Tn<. (1)解 由Sn=a+an+可知, ① 當n≥2時,Sn-1=a+an-1+, ② 由①-②化簡得(an+an-1)(an-an-1-2)=0, 又數(shù)列{an}各項為正數(shù), ∴當n≥2時,an-an-1=2,故數(shù)列{an}成等差數(shù)列,公差為2,又a1=S1=a+a1+,解得a1=1, ∴an=2n-1. (2)證明 Tn=+++…++ =+++…++ . ∵=< ==, ∴Tn=+++…++<1+++…++ =1+ =1+-<.

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