《高考數(shù)學(xué) 17-18版 附加題部分 第1章 第58課 課時(shí)分層訓(xùn)練2》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué) 17-18版 附加題部分 第1章 第58課 課時(shí)分層訓(xùn)練2(6頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
課時(shí)分層訓(xùn)練(二)
A組 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)
(建議用時(shí):30分鐘)
1.(2016·江蘇高考)(1)求7C-4C的值;
(2)設(shè)m,n∈N+,n≥m,求證:(m+1)C+(m+2)C+(m+3)C+…+nC+(n+1)C=(m+1)C.
[解] (1)7C-4C=7×-4×=0.
(2)證明:當(dāng)n=m時(shí),結(jié)論顯然成立.
當(dāng)n>m時(shí),(k+1)C==(m+1)·
=(m+1)C,k=m+1,m+2,…,n.
又因?yàn)镃+C=C,
所以(k+1)C=(m+1)(C-C),k=m+1,m+2,…,n.
因此,(m+1)C+(m+2)C+(m+3)C+…+(n+1)C=(m+1)C+[
2、(m+2)C+(m+3)C+…+(n+1)C]
=(m+1)C+(m+1)[(C-C)+(C-C)+…+(C-C)]
=(m+1)C.
2.某同學(xué)有同樣的畫(huà)冊(cè)2本,同樣的集郵冊(cè)3本,從中取出4本贈(zèng)送給4位朋友,每位朋友一本,則不同的贈(zèng)送方法共有多少種? 【導(dǎo)學(xué)號(hào):62172320】
[解] 贈(zèng)送1本畫(huà)冊(cè),3本集郵冊(cè).需從4人中選取1人贈(zèng)送畫(huà)冊(cè),其余贈(zèng)送集郵冊(cè),有C種方法.
贈(zèng)送2本畫(huà)冊(cè),2本集郵冊(cè),只需從4人中選出2人贈(zèng)送畫(huà)冊(cè),其余2人贈(zèng)送集郵冊(cè),有C種方法.
由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理,不同的贈(zèng)送方法有C+C=10種.
3.將甲、乙等5名交警分配到三個(gè)不同路口疏導(dǎo)交通,每個(gè)路口至少一人
3、,且甲、乙在同一路口的分配方案共有多少種?
[解] 1個(gè)路口3人,其余路口各1人的分配方法有CCA種.1個(gè)路口1人,2個(gè)路口各2人的分配方法有CCA種,
由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理知,甲、乙在同一路口的分配方案為CCA+CCA=36種.
4.男運(yùn)動(dòng)員6名,女運(yùn)動(dòng)員4名,其中男女隊(duì)長(zhǎng)各1名,選派5人外出比賽,在下列情形中各有多少種選派方法?
(1)至少有1名女運(yùn)動(dòng)員;
(2)既要有隊(duì)長(zhǎng),又要有女運(yùn)動(dòng)員.
[解] (1)法一:至少有1名女運(yùn)動(dòng)員包括以下幾種情況:
1女4男,2女3男,3女2男,4女1男,
由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得總選法數(shù)為
CC+CC+CC+CC=246(種).
法二:“至少
4、有1名女運(yùn)動(dòng)員”的反面為“全是男運(yùn)動(dòng)員”可用間接法求解.
從10人中任選5人有C種選法,其中全是男運(yùn)動(dòng)員的選法有C種.
所以“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”的選法為C-C=246(種).
(2)當(dāng)有女隊(duì)長(zhǎng)時(shí),其他人選法任意,共有C種選法.
不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí),必選男隊(duì)長(zhǎng),共有C種選法.其中不含女運(yùn)動(dòng)員的選法有C種,所以不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)共有C-C種選法,所以既有隊(duì)長(zhǎng)又有女運(yùn)動(dòng)員的選法共有C+C-C=191(種).
5.7名師生站成一排照相留念,其中老師1人,男生4人,女生2人,在下列情況下,各有不同站法多少種?
(1)兩個(gè)女生必須相鄰而站;
(2)4名男生互不相鄰;
(3)老師不站中間,女生甲不站左
5、端. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):62172321】
[解] (1)∵兩個(gè)女生必須相鄰而站,
∴把兩個(gè)女生看做一個(gè)元素,
則共有6個(gè)元素進(jìn)行全排列,還有女生內(nèi)部的一個(gè)排列共有AA=1 440種站法.
(2)∵4名男生互不相鄰,
∴應(yīng)用插空法,
對(duì)老師和女生先排列,形成四個(gè)空再排男生共有AA=144種站法.
(3)當(dāng)老師站左端時(shí)其余六個(gè)位置可以進(jìn)行全排列共有A=720種站法.
當(dāng)老師不站左端時(shí),老師有5種站法,女生甲有5種站法,余下的5個(gè)人在五個(gè)位置進(jìn)行排列共有A×5×5=3 000種站法.根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理知共有720+3 000=3 720種站法.
6.用數(shù)字0,1,2,3,4,5,6組成沒(méi)有
6、重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),其中個(gè)位、十位和百位上的數(shù)字之和為偶數(shù)的四位數(shù)共有多少個(gè)?
[解] 個(gè)位、十位和百位上的數(shù)字為3個(gè)偶數(shù)的有CAC+AC=90(個(gè));個(gè)位、十位和百位上的數(shù)字為1個(gè)偶數(shù)2個(gè)奇數(shù)的有CAC+CCAC=234(個(gè)),所以共有90+234=324(個(gè)).
B組 能力提升
(建議用時(shí):15分鐘)
1.設(shè)有編號(hào)為1,2,3,4,5的五個(gè)球和編號(hào)為1,2,3,4,5的五個(gè)盒子,現(xiàn)將這五個(gè)球放入五個(gè)盒子內(nèi).
(1)只有一個(gè)盒子空著,共有多少種投放方法?
(2)沒(méi)有一個(gè)盒子空著,但球的編號(hào)與盒子編號(hào)不全相同,有多少種投放方法?
(3)每個(gè)盒子內(nèi)投放一球,并且至少有兩個(gè)球的編號(hào)與盒
7、子編號(hào)是相同的,有多少種投放方法?
[解] (1)CA=1 200種;(2)A-1=119種.
(3)滿足的情形:第一類(lèi),五個(gè)球的編號(hào)與盒子編號(hào)全同的放法:1種;
第二類(lèi),四個(gè)球的編號(hào)與盒子編號(hào)相同的放法:0種;
第三類(lèi),三個(gè)球的編號(hào)與盒子編號(hào)相同的放法:10種;
第四類(lèi),兩個(gè)球的編號(hào)與盒子編號(hào)相同的放法,2C=20種.
故滿足條件的放法數(shù)為:1+10+20=31種.
2.(1)3人坐在有八個(gè)座位的一排上,若每人的左右兩邊都要有空位,則不同坐法的種數(shù)為幾種?
(2)現(xiàn)有10個(gè)保送上大學(xué)的名額,分配給7所學(xué)校,每校至少有1個(gè)名額,問(wèn)名額分配的方法共有多少種?
[解] (1)由題
8、意知有5個(gè)座位都是空的,我們把3個(gè)人看成是坐在座位上的人,往5個(gè)空座的空檔插,由于這5個(gè)空座位之間共有4個(gè)空,3個(gè)人去插,共有A=24種.
(2)法一:每個(gè)學(xué)校至少一個(gè)名額,則分去7個(gè),剩余3個(gè)名額分到7所學(xué)校的方法種數(shù)就是要求的分配方法種數(shù),分類(lèi):若3個(gè)名額分到一所學(xué)校有7種方法;
若分配到2所學(xué)校有C×2=42種;
若分配到3所學(xué)校有C=35種.
∴共有7+42+35=84種方法.
法二:10個(gè)元素之間有9個(gè)間隔,要求分成7份,相當(dāng)于用6塊檔板插在9個(gè)間隔中,共有C=84種不同方法.
所以名額分配的方法共有84種.
3.(2017·南京模擬)已知整數(shù)n≥3,集合M={1,2,
9、3,…,n}的所有含有3個(gè)元素的子集記為A1,A2,A3,…,AC,設(shè)A1,A2,A3,…,AC中所有元素之和為Sn.
(1)求S3,S4,S5,并求出Sn;
(2)證明:S3+S4+…+Sn=6C.
[解] (1)當(dāng)n=3時(shí),集合M只有1個(gè)符合條件的子集,
S3=1+2+3=6,
當(dāng)n=4時(shí),集合M每個(gè)元素出現(xiàn)了C次.
S4=C(1+2+3+4)=30.
當(dāng)n=5時(shí),集合M每個(gè)元素出現(xiàn)了C次,
S5=C(1+2+3+4+5)=90.
所以 ,當(dāng)集合M有n個(gè)元素時(shí),每個(gè)元素出現(xiàn)了C,故Sn=C·.
(2)證明:因?yàn)镾n=C·==6C.
則S3+S4+S5+…+Sn=6(C
10、+C+C+…+C)
=6(C+C+C+…+C)=6C.
4.(2017·蘇州期末)如圖58-1,由若干個(gè)小正方形組成的k層三角形圖陣,第一層有1個(gè)小正方形,第二層有2個(gè)小正方形,依此類(lèi)推,第k層有k個(gè)小正方形.除去最底下的一層,每個(gè)小正方形都放置在它下一層的兩個(gè)小正方形之上.現(xiàn)對(duì)第k層的每個(gè)小正方形用數(shù)字進(jìn)行標(biāo)注,從左到右依次記為x1,x2,…,xk,其中xi∈{0,1}(1≤i≤k),其它小正方形標(biāo)注的數(shù)字是它下面兩個(gè)小正方形標(biāo)注的數(shù)字之和,依此規(guī)律,記第一層的小正方形標(biāo)注的數(shù)字為x0.
圖58-1
(1)當(dāng)k=4時(shí),若要求x0為2的倍數(shù),則有多少種不同的標(biāo)注方法?
(2)當(dāng)k
11、=11時(shí),若要求x0為3的倍數(shù),則有多少種不同的標(biāo)注方法?
[解] (1)當(dāng)k=4時(shí),第4層標(biāo)注數(shù)字依次為x1,x2,x3,x4,第3層標(biāo)注數(shù)字依次為x1+x2,x2+x3,x3+x4,第2層標(biāo)注數(shù)字依次為x1+2x2+x3,x2+2x3+x4,
所以x0=x1+3x2+3x3+x4.
因?yàn)閤0為2的倍數(shù),所以x1+x2+x3+x4是2的倍數(shù),則x1,x2,x3,x4四個(gè)都取0或兩個(gè)取0兩個(gè)取1或四個(gè)都取1,所以共有1+C+1=8種標(biāo)注方法.
(2)當(dāng)k=11時(shí),第11層標(biāo)注數(shù)字依次為x1,x2,…,x11,第10層標(biāo)注數(shù)字依次為x1+x2 ,x2+x3,…,x10+x11,第9層標(biāo)注數(shù)字依次為x1+2x2+x3,x2+2x3+x4,…,x9+2x10+x11,以此類(lèi)推,可得x0=x1+Cx2+Cx3+…+Cx10+x11.
因?yàn)镃=C=45,C=C=120,C=C=210,C=252均為3的倍數(shù),所以只要x1+Cx2+Cx10+x11是3的倍數(shù),即只要x1+x2+x10+x11是3的倍數(shù),
所以x1,x2,x10,x11四個(gè)都取0或三個(gè)取1一個(gè)取0,而其余七個(gè)x3,x4,…,x9可以取0或1,這樣共有(1+C)
×27=640種標(biāo)注方法.