高考數(shù)學 17-18版 第9章 第45課 課時分層訓練45

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1、 課時分層訓練(四十五) A組　基礎達標 (建議用時：30分鐘) 一、填空題 1．圓心為(1,1)且過原點的圓的方程是________． (x－1)2＋(y－1)2＝2　[圓的半徑r＝＝，∴圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2.] 2．圓(x－1)2＋(y－2)2＝1關于直線y＝x對稱的圓的方程為________. 【導學號：62172247】 (x－2)2＋(y－1)2＝1　[(1,2)關于直線y＝x對稱的點為(2,1)，∴圓(x－1)2＋(y－2)2＝1關于直線y＝x對稱的圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝1.] 3．圓x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圓心到直

2、線x－y＝1的距離為________． 　[圓的方程可化為(x－1)2＋(y＋2)2＝2，則圓心坐標為(1，－2)． 故圓心到直線x－y－1＝0的距離d＝＝.] 4．已知圓(x－2)2＋(y＋1)2＝16的一條直徑通過直線x－2y＋3＝0被圓所截弦的中點，則該直徑所在的直線方程為________． 2x＋y－3＝0　[易知圓心坐標為(2，－1)． 由于直線x－2y＋3＝0的斜率為， ∴該直徑所在直線的斜率k＝－2. 故所求直線方程為y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0.] 5．若圓心在x軸上，半徑為的圓O位于y軸左側，且與直線x＋2y＝0相切，則圓O的方程是_______

3、_． (x＋5)2＋y2＝5　[設圓心為(a,0)(a＜0)， 則r＝＝，解得a＝－5， 所以圓O的方程為(x＋5)2＋y2＝5.] 6．經(jīng)過原點并且與直線x＋y－2＝0相切于點(2,0)的圓的標準方程是________. 【導學號：62172248】 (x－1)2＋(y＋1)2＝2　[設所求圓的圓心為(a，b)． 依題意(a－2)2＋b2＝a2＋b2， ① ＝1， ② 解①②得a＝1，b＝－1， 則半徑r＝＝， ∴所求圓的標準方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2.] 7．設P是圓(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的動點，Q是直線x＝

4、－3上的動點，則PQ的最小值為________． 4　[如圖所示，圓心M(3，－1)與直線x＝－3的最短距離為MQ＝3－(－3)＝6，又圓的半徑為2，故所求最短距離為6－2＝4.] 8．(2016·浙江高考)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標是________，半徑是________． (－2，－4)　5　[由二元二次方程表示圓的條件可得a2＝a＋2，解得a＝2或－1.當a＝2時，方程為4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，配方得2＋(y＋1)2＝－<0，不表示圓； 當a＝－1時，方程為x2＋y2＋4x＋8

5、y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，則圓心坐標為(－2，－4)，半徑是5.] 9．已知點M(1,0)是圓C：x2＋y2－4x－2y＝0內(nèi)的一點，那么過點M的最短弦所在直線的方程是________． x＋y－1＝0　[圓C：x2＋y2－4x－2y＝0的圓心為C(2,1)， 則kCM＝＝1. ∵過點M的最短弦與CM垂直，∴最短弦所在直線的方程為y－0＝－1(x－1)，即x＋y－1＝0.] 10．(2015·江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中，以點(1,0)為圓心且與直線mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為__________． (x－

6、1)2＋y2＝2　[因為直線mx－y－2m－1＝0恒過定點(2，－1)，所以圓心(1,0)到直線mx－y－2m－1＝0的最大距離為d＝＝，所以半徑最大時的半徑r＝，所以半徑最大的圓的標準方程為(x－1)2＋y2＝2.] 二、解答題 11．已知直線l：y＝x＋m，m∈R，若以點M(2,0)為圓心的圓與直線l相切于點P，且點P在y軸上，求該圓的方程. 【導學號：62172249】 [解]　法一：依題意，點P的坐標為(0，m)， 因為MP⊥l，所以×1＝－1， 解得m＝2，即點P的坐標為(0,2)， 圓的半徑r＝MP＝＝2， 故所求圓的方程為(x－2)2＋y2＝8. 法二：設所求圓的

7、半徑為r，則圓的方程可設為(x－2)2＋y2＝r2， 依題意，所求圓與直線l：x－y＋m＝0相切于點P(0，m)， 則 解得 所以所求圓的方程為(x－2)2＋y2＝8. 12．(2015·廣東高考改編)已知過原點的動直線l與圓C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的兩點A，B. (1)求圓C1的圓心坐標； (2)求線段AB的中點M的軌跡C的方程． [解]　(1)由x2＋y2－6x＋5＝0得(x－3)2＋y2＝4， 所以圓C1的圓心坐標為(3,0)． (2)設M(x，y)，依題意·＝0， 所以(x－3，y)·(x，y)＝0，則x2－3x＋y2＝0， 所以2＋y2＝.

8、又原點O(0,0)在圓C1外， 因此中點M的軌跡是圓C與圓C1相交落在圓C1內(nèi)的一段圓?。? 由消去y2得x＝， 因此＜x≤3. 所以線段AB的中點M的軌跡方程為2＋y2＝. B組　能力提升 (建議用時：15分鐘) 1．設P(x，y)是圓(x－2)2＋y2＝1上的任意一點，則(x－5)2＋(y＋4)2的最大值為________． 36　[(x－5)2＋(y＋4)2表示點P(x，y)到點(5，－4)的距離的平方．點(5，－4)到圓心(2,0)的距離d＝＝5. 則點P(x，y)到點(5，－4)的距離最大值為6，從而(x－5)2＋(y＋4)2的最大值為36.] 2．在平面直角坐標系

9、xOy中，曲線y＝x2－6x＋1與坐標軸的交點都在圓C上，求圓C的方程． [解]　法一：(代數(shù)法)曲線y＝x2－6x＋1與y軸的交點為(0,1)，與x軸的交點為(3＋2，0)，(3－2，0)，設圓的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， 則有解得 故圓的方程是x2＋y2－6x－2y＋1＝0. 法二：(幾何法)曲線y＝x2－6x＋1與y軸的交點為(0,1)，與x軸的交點為(3＋2，0)，(3－2，0)． 故可設C的圓心為(3，t)，則有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1.則圓C的半徑為＝3，所以圓C的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9. 3．已知

10、點P(2,2)，圓C：x2＋y2－8y＝0，過點P的動直線l與圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，O為坐標原點． (1)求M的軌跡方程； (2)當OP＝OM時，求l的方程及△POM的面積． [解]　(1)圓C的方程可化為x2＋(y－4)2＝16，所以圓心為C(0,4)，半徑為4. 設M(x，y)，則＝(x，y－4)，＝(2－x,2－y)． 由題設知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0， 即(x－1)2＋(y－3)2＝2. 由于點P在圓C的內(nèi)部， 所以M的軌跡方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2. (2)由(1)可知M的軌跡是以點N(1,3)為圓心，為半徑的圓．

11、 由于OP＝OM，故O在線段PM的垂直平分線上． 又P在圓N上，從而ON⊥PM. 因為ON的斜率為3，所以l的斜率為－， 故l的方程為y＝－x＋. 又OM＝OP＝2，O到l的距離為，PM＝，所以△POM的面積為. 4．已知圓C過點P(1,1)，且與圓M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)關于直線x＋y＋2＝0對稱． (1)求圓C的方程； (2)設Q為圓C上的一個動點，求·的最小值． [解]　(1)設圓心C(a，b)， 由已知得M(－2，－2)， 則解得 則圓C的方程為x2＋y2＝r2，將點P的坐標代入得r2＝2， 故圓C的方程為x2＋y2＝2. (2)設Q(x，y)，則x2＋y2＝2， ·＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2) ＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2. 令x＝cos θ，y＝sin θ， 所以·＝x＋y－2 ＝(sin θ＋cos θ)－2 ＝2sin－2， 所以·的最小值為－4.