數學文高考二輪專題復習與測試：第二部分 專題二第2講 數列的求和及綜合應用 Word版含解析

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1、 A級　基礎通關 一、選擇題 1．已知Tn為數列的前n項和，若m＞T10＋1 013恒成立，則整數m的最小值為(　　) A．1 026　 B．1 025　 C．1 024 D．1 023 解析：因為＝1＋，所以Tn＝n＋1－， 所以T10＋1 013＝11－＋1 013＝1 024－. 又m＞T10＋1 013， 所以整數m的最小值為1 024. 答案：C 2．(2019·廣東廣州天河一模)數列{an}滿足a1＝1，對任意n∈N*的都有an＋1＝1＋an＋n，則＋＋…＋＝(　　) A. B．2 C. D. 解析：an＋1－an＝n＋1，且a1＝1，

2、 所以利用疊加法，得an＝， 則＝2， 故＋＋＋…＋＝2(1－＋－＋…＋－) ＝2＝. 答案：C 3．已知數列{an}滿足an＋1－an＝2，a1＝－5，則|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝(　　) A．9 B．15 C．18 D．30 解析：因為an＋1－an＝2，a1＝－5，所以數列{an}是公差為2，首項為－5的等差數列． 所以an＝－5＋2(n－1)＝2n－7. 數列{an}的前n項和Sn＝＝n2－6n. 令an＝2n－7≥0，解得n≥. 所以n≤3時，|an|＝－an；n≥4時，|an|＝an. 則|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝－a1－a2－a3

3、＋a4＋a5＋a6＝S6－2S3＝62－6×6－2(32－6×3)＝18. 答案：C 4．(2019·衡水中學月考)數列an＝，其前n項之和為，則在平面直角坐標系中，直線(n＋1)x＋y＋n＝0在y軸上的截距為(　　) A．－10 B．－9 C．10 D．9 解析：由于an＝＝－， 所以Sn＝＋＋…＋ ＝1－. 因此1－＝，所以n＝9. 所以直線方程為10x＋y＋9＝0. 令x＝0，得y＝－9，所以在y軸上的截距為－9. 答案：B 5．(2019·廣州調研)已知等比數列{an}的前n項和為Sn，若S3＝7，S6＝63，則數列{nan}的前n項和Tn為(　　)

4、 A．－3＋(n＋1)×2n B．3＋(n＋1)×2n C．1＋(n＋1)×2n D．1＋(n－1)×2n 解析：設等比數列的公比為q，易知q＞0且q≠1. 依題意解得 因此an＝a1qn－1＝2n－1，所以nan＝n·2n－1. 則Tn＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1.① 2Tn＝1·21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n.② 由①－②，得－Tn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝(1－n)·2n－1. 所以Tn＝1＋(n－1)·2n. 答案：D 二、填空題 6．已知[x]表示不超過x的最大整數，例如：[2.3]＝2，[－1.5]

5、＝－2.在數列{an}中，an＝[lg n]，n∈N*，記Sn為數列{an}的前n項和，則S2 018＝________． 解析：當1≤n≤9時，an＝[lg n]＝0， 當10≤n≤99時，an＝[lg n]＝1， 當100≤n≤999時，an＝[lg n]＝2， 當1 000≤n≤2 018時，an＝[lg n]＝3. 故S2 018＝9×0＋90×1＋900×2＋1 019×3＝4 947. 答案：4 947 7．(2019·長沙模擬)曲線y＝x＋ln x(n∈N*)在x＝處的切線斜率為an，若bn＝，則{bn}的前n項和Tn＝________． 解析：由y′＝＋，知an

6、＝＋＝n， 所以bn＝＝＝－. 因此Tn＝＋＋…＋＝1－＝. 答案： 8．已知數列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，bn－an＝2n＋1，且Sn＋Tn＝2n＋1＋n2－2，則2Tn＝________． 解析：因為Tn－Sn＝b1－a1＋b2－a2＋…＋bn－an＝2＋22＋…＋2n＋n＝2n＋1＋n－2. 又Sn＋Tn＝2n＋1＋n2－2. 相加，得2Tn＝2n＋2＋n2＋n－4＝2n＋2＋n(n＋1)－4. 答案：2n＋2＋n(n＋1)－4 三、解答題 9．(2019·佛山調研)設數列{an}的前n項和為Sn，且2Sn＝3an－3. (1)求{an}的通項公

7、式； (2)若bn＝，求數列{bn}的前n項和． 解：(1)因為2Sn＝3an－3，所以2Sn－1＝3an－1－3(n≥2)， 所以2an＝3an－3an－1(n≥2)，即＝3(n≥2)． 因為2Sn＝3an－3，所以2S1＝3a1－3，所以a1＝3. 則數列{an}是以首項為3，公比為3的等比數列，故an＝3n. (2)因為bn＝＝＝＝－， 所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＋＋…＋＝1－＝. 10．(2019·成都七中聯考)在數列{an}中，已知a1＝，且＝(n∈N*)． (1)求{an}的通項公式； (2)求{an}的前n項和Sn. 解：(1)由＝得，＝· (n

8、∈N*)． 又a1＝，所以是以為首項、為公比的等比數列． 于是＝，則an＝(n∈N*)． 故{an}的通項公式為an＝(n∈N*)． (2)由Sn＝＋＋＋…＋＋， 得Sn＝＋＋＋…＋＋， 兩式相減，得Sn＝＋＋＋…＋－＝－＝1－. 于是{an}的前n項和Sn＝2－(n∈N*)． B級　能力提升 11．已知數列{an}的前n項和Sn＝2an－1(n∈N*)，設bn＝1＋log2an，則數列的前n項和Tn＝________． 解析：因為Sn＝2an－1(n∈N*)， 所以當n＝1時，a1＝1. 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1，得an＝2an－1， 所以an＝2n－1，從而bn＝1＋log2an＝n. 故Tn＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝. 答案： 12．(2019·河南百校聯盟模擬)已知Sn為等差數列{an}的前n項和，a3＝5，S7＝49. (1)求數列{an}的通項公式； (2)設bn＝，Tn為數列{bn}的前n項和，求證：Tn＜3. (1)解：設數列{an}的公差為d. 由題設得解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1. (2)證明：由(1)知，bn＝＝， 所以Tn＝＋＋＋…＋， Tn＝＋＋＋…＋＋， 兩式相減得Tn＝＋＋＋＋…＋－＝－－， 故Tn＝3－－＝3－＜3.