2017年度 江西省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三下學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題

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1、 2017屆 江西省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三下學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題 考試用時(shí)：120分 全卷滿分：150分 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1．若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.設(shè)集合，，則（ ） A. B. C. D. 3. 已知變量呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系，回歸方程為，則變量是（ ） A．線性正相關(guān)關(guān)系

2、 B．由回歸方程無法判斷其正負(fù)相關(guān)關(guān)系 C．線性負(fù)相關(guān)關(guān)系 D．不存在線性相關(guān)關(guān)系 4. 若直線過三角形內(nèi)心（三角形內(nèi)心為三角形內(nèi)切圓的圓心），則“直線平分三角形周長”是“直線平分三角形面積”的（ ） 條件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 5. 如果執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸入正整數(shù)和實(shí)數(shù)，，…，，輸出，，則（ ） A．+為，，…，的和 B．和分別是，，…，中最大的數(shù)和最小的數(shù) C．為，，…，的算術(shù)平均數(shù)

3、 D．和分別是，，…，中最小的數(shù)和最大的數(shù) 6. 已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，若不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 7. 若一個(gè)空間幾何體的三視圖如右圖所示，且已知該幾何體的體積為 ，則其表面積為（ ） A. B. C. D. 8. 已知實(shí)數(shù)滿足，且，則的最大值（ ） A．2 B．4 C．5 D．6 9. 已知函數(shù)和函數(shù)在區(qū)間上的圖像交于

4、 三點(diǎn)，則的面積是（ ） A. B. C. D. 10. 等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若公差，則（　?。? A． B． C． D． 11. 我國古代數(shù)學(xué)家祖暅?zhǔn)侵麛?shù)學(xué)家祖沖之之子，祖暅原理敘述道 :“夫疊棋成立積，緣 冪勢既同，則積不容異?！币馑际牵簥A在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體被平行于這兩個(gè) 平行平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積 相等。其最著名之處是解決了“牟合方蓋”中的體積問題，其核心過程為：如下圖正方 體 ，

5、求圖中四分之一圓柱體和四分之一圓柱體 公共部分的體積 ，若圖中正方體的棱長為2，則（ ） （在高度 處的截面：用平行于正方體上下底面的平面去截，記截得兩圓柱體公共部分所得面積為 ，截得正方體所得面積為 ，截得錐體所得面積為 ， ，） A． B． C． D． 12. 設(shè)、分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，是雙曲線上關(guān)于軸對(duì)稱的不同兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，則取得最小值時(shí)，雙曲線的離心率為（ ） A. B. C.

6、D. 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分,共20分. 13．二項(xiàng)式的展開式中第四項(xiàng)的系數(shù)為 ． 14．如右圖所示矩形邊長，拋物線頂點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，且兩點(diǎn)在拋物線上，則從矩形內(nèi)任取一點(diǎn)落在拋物線與邊圍成的封閉區(qū)域（包含邊界上的點(diǎn)）內(nèi)的概率是 ． 15. 已知向量滿足：，且，若，其中且，則最小值是 ． 16．已知銳角中，內(nèi)角所對(duì)應(yīng)的邊分別為，且滿足：，，則的取值范圍是 ． 三、解答題:解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 17. （本小題滿分12分） 數(shù)列滿足，． （1）設(shè)，證明是等差數(shù)列，

7、并求的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和． 18. （本小題滿分12分） 2016年11月20日-22日在江西省南昌市舉行了首屆南昌國際馬拉松賽事，賽后某機(jī)構(gòu)用“10分制”調(diào)查了很多人（包括普通市民，運(yùn)動(dòng)員，政府官員，組織者，志愿者等）對(duì)此項(xiàng)賽事的滿意度.現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機(jī)抽取16名，以下莖葉圖記錄了他們的滿意度分?jǐn)?shù)(以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉)： （1）指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)； （2）若滿意度不低于9.5分，則稱該被調(diào)查者的滿意度為“極滿意”.求從這16人中隨機(jī)選取3人，至多有1人是“極滿意”的概率； （3）以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)整

8、個(gè)被調(diào)查群體的總體數(shù)據(jù)，若從該被調(diào)查群體(人數(shù)很多)任選3人，記表示抽到“極滿意”的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望. 19. （本小題滿分12分） 如圖，在棱臺(tái)中，與分別是棱長為1與2的正三角形，平面 平面，四邊形為直角梯形，，點(diǎn)為的重 心，為中點(diǎn)，， （1）當(dāng)時(shí)，求證：//平面； （2）若直線與所成角為，試求二面角的余弦值. 20.（本小題滿分12分） 已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)作直線交橢圓于 兩點(diǎn)，若且 （1）求橢圓的方程； （2）已知圓為原點(diǎn)，圓與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，若直線與軸分別交于點(diǎn)求證：為常數(shù).

9、 21.（本小題滿分12分） 若總有則稱為與在上的一個(gè)“嚴(yán)格分界函數(shù)”. （1）求證：是和在上的一個(gè)“嚴(yán)格分界函數(shù)”； （2）函數(shù)，若存在最大整數(shù)使得在恒成立，求的值.（…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，） 請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，做答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào). 22．（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系. （Ⅰ）寫出曲線的極坐標(biāo)方程； （Ⅱ）設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為（），過點(diǎn)的直線與曲線相交于兩點(diǎn)，若，求的弦長． 23.（本小題滿分10分

10、）選修4-5：不等式選講 選修4-5：不等式選講 設(shè)，（） （1）求證：； （2）若不等式對(duì)任意非零實(shí)數(shù)恒成立，求的取值范圍. 江西省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體2017屆高三第一次聯(lián)考 數(shù)學(xué)（理科）試卷參考答案 一、選擇題 1-5: DBCCB 6-10: BACCB 11、12：AD 12.詳解：解析：設(shè)點(diǎn)則，所以，即，又，即，所以，則，令則，考查函數(shù)，由，知時(shí)單調(diào)遞減，時(shí)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得唯一極小值即為最小值，此時(shí)，所以 二、填空題 13. 14. 15. 16. 16.詳解：由得，則，所以

11、 ，可化為， 則，又為銳角三角形，所以，又，所以，則，所以，解得 三、解答題 17.解：（1）由，得，即，所以為等差數(shù)列，且···································5(分) （2）因?yàn)椋ぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁ?(分) 所以， 則·······12(分) 18.解：（1）眾數(shù)：8.6；中位數(shù)：8.75 ·······································2(分) （2）由莖葉圖可知，滿意度為“極滿意”的人

12、有4人。 設(shè)表示所取3人中有個(gè)人是“極滿意”，至多有1人是“極滿意”記為事件， ································6(分) （3）從16人的樣本數(shù)據(jù)中任意選取1人，抽到“極滿意”的人的概率為，故依題意可知，從該顧客群體中任選1人，抽到“極滿意”的人的概率.的可能取值為0，1，2，3；； ； ·······························9(分) 所以的分布列為

13、 . 另解：由題可知， 所以=.·····················12(分) 19.解：（Ⅰ）連延長交于， 因?yàn)辄c(diǎn)為的重心，所以 又，所以，所以//；···················3(分) 為中點(diǎn)，為中點(diǎn), //,又//， 所以//，得四點(diǎn)共面 //平面··································6(分) （Ⅱ）平面平面，平面，連接易得， 以為原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸建立空間直角坐標(biāo)系， 則，設(shè)， ， ， 因?yàn)榕c所成

14、角為，所以， 得，，，··············8(分) 設(shè)平面的法向量，則，取， 平面的法向量，所以二面角的余弦值····················12(分) 20.解：(1)設(shè)，則，，，． 則有，解得．·······················3(分) ，，，， ，． 于是，在△中，， 所以，所以，橢圓的方程為.········6(分) (2)由條件可知、兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，設(shè)，，則， ，，所以，． 直線的方程為，······················9(分) 令得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)的橫坐標(biāo).于是 ， 所以，為常數(shù)．············

15、········12(分) 21.解：（1）證明：令， ． 當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上為減函數(shù)， 因此，故．···················2(分) 再令，當(dāng)時(shí)，， 故在區(qū)間上為增函數(shù)．，所以，故是和在上的一個(gè)“嚴(yán)格分界函數(shù)”···················5(分) （2） 由（1）知. 又，···················7分) 令 解得，易得在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則 ···················9(分) 又在存在使得，故在上先減后增，則有，則，所以，則····················12(分) 22.解析：（1）由（為參數(shù)），得，即，所以···················5(分) （2）設(shè)直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）（1） 曲線的直角坐標(biāo)方程是，（2）聯(lián)立方程可得，所以，且，所以，則或，所以···················10(分) 23.解析：（1） ····················4(分) （2） 即，化簡或或 解得或，即為所求····················10(分)