高考數(shù)學復習 17-18版 第6章 第32課 復數(shù)

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1、 第32課 復數(shù) [最新考綱] 內(nèi)容 要求 A B C 復數(shù)的概念 √ 復數(shù)的四則運算 √ 復數(shù)的幾何意義 √ 1．復數(shù)的有關概念 (1)復數(shù)的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫復數(shù)，其中a，b分別是它的實部和虛部．若b＝0，則a＋bi為實數(shù)，若b≠0，則a＋bi為虛數(shù)，若a＝0且b≠0，則a＋bi為純虛數(shù)． (2)復數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)． (3)共軛復數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． (4)復數(shù)的模：向量的模r叫作復數(shù)z＝a＋bi的模，即|

2、z|＝|a＋bi|＝. 2．復數(shù)的幾何意義 復數(shù)z＝a＋bi復平面內(nèi)的點Z(a，b)平面向量＝(a，b)． 3．復數(shù)代數(shù)形式的四則運算 (1)運算法則：設z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R. z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i. z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i. ＝＝＋i(c＋di≠0)． (2)幾何意義：復數(shù)加減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進行． 如圖32-1所示給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復數(shù)加減法的幾何意義，即OZ＝OZ1＋OZ2，＝－. 圖32-1

3、1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)中，虛部為bi.(　　) (2)復數(shù)中有相等復數(shù)的概念，因此復數(shù)可以比較大?。?　　) (3)實軸上的點表示實數(shù)，虛軸上的點都表示純虛數(shù)．(　　) (4)復數(shù)的模實質(zhì)上就是復平面內(nèi)復數(shù)對應的點到原點的距離，也就是復數(shù)對應的向量的模. (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　 (4)√ 2.(教材改編)如圖32-2，在復平面內(nèi)，點A表示復數(shù)z，則圖中表示z的共軛復數(shù)的點是________． 圖32-2 B　[共軛復數(shù)對應的點關于實軸對稱．] 3．(2016·

4、江蘇高考)復數(shù)z＝(1＋2i)(3－i)，其中i為虛數(shù)單位，則z的實部是________． 5　[因為z＝(1＋2i)(3－i)＝3－i＋6i－2i2＝5＋5i，所以z的實部是5.] 4．(2016·北京高考改編)復數(shù)＝________. i　[法一：＝＝＝i. 法二：＝＝＝i.] 5．(2015·江蘇高考)設復數(shù)z滿足z2＝3＋4i(i是虛數(shù)單位)，則z的模為______． 　[∵z2＝3＋4i，∴|z2|＝|z|2＝|3＋4i|＝＝5， ∴|z|＝.] 復數(shù)的有關概念 　(2016·全國卷Ⅲ改編)若z＝1＋2i，則＝________. i　[因為z＝1＋2i，則

5、＝1－2i，所以z＝(1＋2i)(1－2i)＝5，則＝＝i.] (2)i是虛數(shù)單位，若復數(shù)(1－2i)(a＋i)是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為________． －2　[由(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i是純虛數(shù)可得a＋2＝0,1－2a≠0，解得a＝－2.] [規(guī)律方法]　1.解答與復數(shù)相關概念有關的問題時，需把所給復數(shù)化為代數(shù)形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根據(jù)題意列出實部、虛部滿足的方程(組)即可． 2．求復數(shù)模的常規(guī)思路是利用復數(shù)的有關運算先求出復數(shù)z，然后利用復數(shù)模的定義求解． [變式訓練1]　(1)已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z＝的虛部為________.

6、 【導學號：62172171】 (2)(2017·泰州中學高三摸底考試)已知復數(shù)z滿足(1＋i)·z＝－i，則的模為________． (1)　(2)　[(1)復數(shù)z＝＝＝＝＋i，則其虛部為. (2)(1＋i)·z＝－i?z＝＝?＝?||＝. 復數(shù)代數(shù)形式的四則運算 　(1)已知復數(shù)z滿足(z－1)i＝1＋i，則z＝________. (2)(2016·天津高考)已知a，b∈R，i是虛數(shù)單位，若(1＋i)(1－bi)＝a，則的值為________． (1)2－i　(2)2　[(1)∵(z－1)i＝i＋1，∴z－1＝＝1－i，∴z＝2－i. (2)∵(1＋i)(1－bi)＝1

7、＋b＋(1－b)i＝a，又a，b∈R，∴1＋b＝a且1－b＝0，得a＝2，b＝1，∴＝2.] [規(guī)律方法]　1.復數(shù)的加法、減法、乘法運算可以類比多項式運算，除法關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數(shù)，注意要把i的冪寫成最簡形式． 2．記住以下結(jié)論，可提高運算速度 (1)(1±i)2＝±2i；(2)＝i；(3)＝－i；(4)－b＋ai＝i(a＋bi)；(5)i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i(n∈N)． [變式訓練2]　(1)已知＝1＋i(i為虛數(shù)單位)，則復數(shù)z＝________. (2)已知i是虛數(shù)單位，8＋2 018＝________. (1)－1－i

8、　(2)1＋i　[(1)由＝1＋i，得z＝＝＝＝－1－i. (2)原式＝8＋1 009 ＝i8＋1 009＝i8＋i1 009 ＝1＋i4×252＋1＝1＋i.] 復數(shù)的幾何意義 　(1)(2016·全國卷Ⅱ改編)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在復平面內(nèi)對應的點在第四象限，則實數(shù)m的取值范圍是________． (2)設復數(shù)z1，z2在復平面內(nèi)的對應點關于虛軸對稱，z1＝2＋i，則z1z2＝________. 【導學號：62172172】 (1)(－3,1)　(2)－5　[(1)由題意知即－3＜m＜1.故實數(shù)m的取值范圍為(－3,1)． (2)∵z1＝2＋i在復平面內(nèi)的對

9、應點的坐標為(2,1)，又z1與z2在復平面內(nèi)的對應點關于虛軸對稱，則z2的對應點的坐標為(－2,1)，即z2＝－2＋i， ∴z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.] [規(guī)律方法]　1.復數(shù)z、復平面上的點Z及向量相互聯(lián)系，即z＝a＋bi(a，b∈R)?Z(a，b)?. 2．由于復數(shù)、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此可把復數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時可運用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀． [變式訓練3]　定義運算＝ad－bc，則符合條件＝0的復數(shù)對應的點在第________象限． 二　[由題意得z×2i－(1＋i)(－i)＝0，所以z＝＝－－i，則＝－

10、＋i在復平面內(nèi)對應的點為，位于第二象限．] [思想與方法] 1．復數(shù)分類的關鍵是抓住z＝a＋bi(a，b∈R)的虛部：當b＝0時，z為實數(shù)；當b≠0時，z為虛數(shù)；當a＝0，且b≠0時，z為純虛數(shù)． 2．復數(shù)除法的實質(zhì)是分母實數(shù)化，其操作方法是分子、分母同乘以分母的共軛復數(shù)． 3．化“虛”為“實”是解決復數(shù)問題的基本方法，其中，復數(shù)的代數(shù)形式是化“虛”為“實”的前提，復數(shù)相等的充要條件是化“虛”為“實”的橋梁． [易錯與防范] 1．判定復數(shù)是實數(shù)，僅注重虛部等于0是不夠的，還需考慮它的實部是否有意義． 2．兩個虛數(shù)不能比較大小． 3．利用復數(shù)相等a＋bi＝c＋di列方程時，應

11、注意a，b，c，d∈R的前提條件． 4．注意不能把實數(shù)集中的所有運算法則和運算性質(zhì)照搬到復數(shù)集中來．例如，若z1，z2∈C，z＋z＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在復數(shù)范圍內(nèi)有可能成立． 課時分層訓練(三十二) A組　基礎達標 (建議用時：30分鐘) 1．(2017·蘇州模擬)設復數(shù)zi＝1＋2i(i是虛數(shù)單位)，則z＝________. 2－i　[由zi＝1＋2i得z＝＝＝＝2－i.] 2．(2017·蘇錫常鎮(zhèn)二模)已知(a－i)2＝2i，其中i是虛數(shù)單位，那么實數(shù)a＝________. 【導學號：62172173】 －1　[由(a－i)2＝2i得a2－1－2ai＝2

12、i，故即a＝－1.] 3．(2017·無錫模擬)若復數(shù)z滿足(2－i)z＝4＋3i(i為虛數(shù)單位)，則|z|＝________. 　[由(2－i)z＝4＋3i，得|(2－i)z|＝|4＋3i|， 即|z|＝5，∴|z|＝.] 4．(2016·全國卷Ⅰ改編)設(1＋2i)(a＋i)的實部與虛部相等，其中a為實數(shù)，則a＝________. －3　[(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(1＋2a)i，由題意知a－2＝1＋2a，解得a＝－3.] 5．(2016·全國卷Ⅰ改編)設(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是實數(shù)，則|x＋yi|＝________. 　[∵(1＋i)x＝1＋yi，∴x＋x

13、i＝1＋yi. 又∵x，y∈R，∴x＝1，y＝x＝1. ∴|x＋yi|＝|1＋i|＝.] 6．(2017·泰州期末)如圖32-3，在復平面內(nèi)，點A對應的復數(shù)為z1，若＝i(i為虛數(shù)單位)，則z2＝________. 圖32-3 －2－i　[由圖可知，z1＝－1＋2i， ∴z2＝z1i＝(－1＋2i)·i＝－i－2.] 7．(2017·南京模擬)設＝a＋bi(i為虛數(shù)單位，a，b∈R)，則a＋b＝________. 1　[∵＝＝＝2－i. 又由a＋bi＝2－i可知 ，a＝2，b＝－1， ∴a＋b＝2－1＝1.] 8．(2017·蘇州模擬)復數(shù)z＝(a<0)，其中i為虛數(shù)

14、單位，|z|＝，則a的值為________. 【導學號：62172174】 －5　[∵z＝，且|z|＝， ∴＝，∴a＝－5.] 9．若z＝4＋3i，則＝________. －i　[∵z＝4＋3i，∴＝4－3i，|z|＝＝5， ∴＝＝－i.] 10．已知復數(shù)z＝1＋，則1＋z＋z2＋…＋z2 019＝________. 0　[z＝1＋＝1＋＝i，∴1＋z＋z2＋…＋z2 019＝＝＝＝0.] 11．已知a∈R，若為實數(shù)，則a＝________. －　[＝＝＝＋i. ∵為實數(shù)，∴＝0，∴a＝－.] 12．已知復數(shù)z＝x＋yi，且|z－2|＝，則的最大值為________.

15、 【導學號：62172175】 　[∵|z－2|＝＝， ∴(x－2)2＋y2＝3. 由圖可知max＝＝.] B組　能力提升 (建議用時：15分鐘) 1．已知復數(shù)z1＝－＋i，z2＝－－i，則下列命題中錯誤的是________．(填序號) ①z＝z2； ②|z1|＝|z2|； ③z－z＝1； ④z1，z2互為共軛復數(shù)． ③　[依題意，注意到z＝2＝－i＝－－i＝z2，因此①正確；注意到|z1|＝1＝|z2|，因此②正確；注意到＝－－i＝z2，因此④正確；注意到z＝z·z1＝2·＝＝1，同理z＝1，因此z－z＝0，③錯誤．] 2．設f(n)＝n＋n(n∈N＋)，則集合{f(

16、n)}中元素的個數(shù)為________． 3　[f(n)＝n＋n＝in＋(－i)n， f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，…， ∴集合中共有3個元素．] 3．已知集合M＝{1，m,3＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，若M∩N＝{3}，則實數(shù)m的值為________． 3或6　[∵M∩N＝{3}，∴3∈M且－1?M， ∴m≠－1,3＋(m2－5m－6)i＝3或m＝3， ∴m2－5m－6＝0且m≠－1或m＝3， 解得m＝6或m＝3.] 4．已知復數(shù)z1＝cos 15°＋sin 15°i和復數(shù)z2＝cos 45°＋sin 45°i，則z1·z2＝________. ＋i　[z1·z2＝(cos 15°＋sin 15°i)(cos 45°＋sin 45°i)＝(cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°)＋(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°)i＝cos 60°＋sin 60°i＝＋i.]