高考數(shù)學(xué) 17-18版 第9章 第39課 課時(shí)分層訓(xùn)練39

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1、 課時(shí)分層訓(xùn)練(三十九) A組　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) (建議用時(shí)：30分鐘) 一、填空題 1．在下列命題中，不是公理的是(　　) ①平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行； ②過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面； ③如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi)； ④如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線． ①　[①不是公理，是個(gè)常用的結(jié)論，需經(jīng)過推理論證；②③④是平面的基本性質(zhì)公理．] 2．已知a，b，c為三條不重合的直線，已知下列結(jié)論：①若a⊥b，a⊥c，則b∥c；②若a⊥b，a⊥c，則b⊥c；③若a∥b，b⊥c，則a⊥c

2、.其中正確的個(gè)數(shù)為____________． 1　[法一：在空間中，若a⊥b，a⊥c，則b，c可能平行，也可能相交，還可能異面，所以①②錯(cuò)，③顯然成立． 法二：構(gòu)造長方體或正方體模型可快速判斷，①②錯(cuò)，③正確．] 3．(2016·南京模擬)下列命題中正確的是____________．(填序號(hào)) ①空間四點(diǎn)中有三點(diǎn)共線，則此四點(diǎn)必共面； ②三個(gè)平面兩兩相交的三條交線必共點(diǎn)； ③空間兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形； ④平面α和平面β可能只有一個(gè)交點(diǎn)． ①　[由公理3的推論1可知①正確；其余均錯(cuò)誤．] 4．已知α，β為兩個(gè)不重合的平面，A，B，M，N為相異四點(diǎn)，a為直線，則下

3、列推理錯(cuò)誤的是____________．(填序號(hào)) ①A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?β； ②M∈α，M∈β，N∈α，N∈β?α∩β＝MN； ③A∈α，A∈β?α∩β＝A. ③　[由公理1及公理2可知①②正確，③錯(cuò)誤．] 5．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別是棱A1A，C1C的中點(diǎn)．若∠BFC＝60°，則∠ED1D＝____________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172216】 60°　[∵BF∥D1E，DD1∥CF， ∴由等角定理可知∠BFC＝∠ED1D＝60°.] 6．已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB

4、1，CC1的中點(diǎn)，那么異面直線AE與D1F所成角的余弦值為____________． 　[連結(jié)DF， 則AE∥DF， ∴∠D1FD即為異面直線AE與D1F所成的角． 設(shè)正方體棱長為a，則D1D＝a，DF＝a，D1F＝a， ∴cos ∠D1FD＝＝.] 7.如圖39-7所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論： 圖39-7 ①直線AM與CC1是相交直線； ②直線AM與BN是平行直線； ③直線BN與MB1是異面直線； ④直線MN與AC所成的角為60°. 其中正確的結(jié)論為________．(注：把你認(rèn)為正確的結(jié)論序號(hào)都

5、填上) ③④　[由題圖可知AM與CC1是異面直線，AM與BN是異面直線，BN與MB1為異面直線． 因?yàn)镈1C∥MN，所以直線MN與AC所成的角就是D1C與AC所成的角，且角為60°.] 8.如圖39-8所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中點(diǎn)，AA1∶AB＝∶1，則異面直線AB1與BD所成的角為________． 圖39-8 60°　[取A1C1 的中點(diǎn)E，連結(jié)B1E，ED，AE， 在Rt△AB1E中，∠AB1E即為所求， 設(shè)AB＝1，則A1A＝，AB1＝，B1E＝，AE＝，故∠AB1E＝60°.] 9．如圖39-9，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上

6、，且AB∥CD，則直線EF與正方體的六個(gè)面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172217】 圖39-9 4　[取CD的中點(diǎn)為G(圖略)，由題意知平面EFG與正方體的左、右側(cè)面所在平面重合或平行，從而EF與正方體的左、右側(cè)面所在的平面平行或EF在平面內(nèi)，所以直線EF與正方體的前、后側(cè)面及上、下底面所在平面相交．故直線EF與正方體的六個(gè)面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為4.] 10.如圖39-10是正四面體(各面均為正三角形)的平面展開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點(diǎn)，在這個(gè)正四面體中， 圖39-10 ①GH與EF平行； ②BD與MN

7、為異面直線； ③GH與MN成60°角； ④DE與MN垂直． 以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是____________． ②③④　[把正四面體的平面展開還原，如圖所示，GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線，GH與MN成60°角，DE⊥MN.] 二、解答題 11.如圖39-11，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G分別在AB，BC，CD上，且滿足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，過E、F、G的平面交AD于點(diǎn)H. 圖39-11 (1)求AH∶HD； (2)求證：EH，F(xiàn)G，BD三線共點(diǎn)． [解]　(1)∵＝＝2，∴EF∥AC， ∴EF∥平面ACD，而EF

8、?平面EFGH， 平面EFGH∩平面ACD＝GH， ∴EF∥GH，∴AC∥GH. ∴＝＝3.∴AH∶HD＝3∶1. (2)證明：∵EF∥GH，且＝，＝， ∴EF≠GH，∴四邊形EFGH為梯形． 令EH∩FG＝P，則P∈EH，而EH?平面ABD， 又P∈FG，F(xiàn)G?平面BCD， 平面ABD∩平面BCD＝BD， ∴P∈BD.∴EH，F(xiàn)G，BD三線共點(diǎn)． 12.如圖39-12，E，F(xiàn)分別是長方體ABCD-A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中點(diǎn)，求證：四邊形B1EDF是平行四邊形. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172218】 圖39-12 證明：設(shè)Q是DD1的中點(diǎn)，連結(jié)EQ，QC1，如

9、圖．因?yàn)镋是AA1的中點(diǎn)，Q是DD1的中點(diǎn)，所以EQ綊A1D1. 又A1D1綊B1C1，所以EQ綊B1C1， 所以四邊形EQC1B1為平行四邊形，所以B1E綊C1Q. 又Q，F(xiàn)分別是D1D，C1C的中點(diǎn)， 所以QD綊C1F， 所以四邊形DQC1F為平行四邊形， 所以C1Q綊DF. 故B1E綊DF，所以四邊形B1EDF是平行四邊形． B組　能力提升 (建議用時(shí)：15分鐘) 1．設(shè)A，B，C，D是空間四個(gè)不同的點(diǎn)，在下列命題中，不正確的是____________． ①若AC與BD共面，則AD與BC共面； ②若AC與BD是異面直線，則AD與BC是異面直線； ③若AB＝AC，

10、DB＝DC，則AD＝BC； ④若AB＝AC，DB＝DC，則AD⊥BC. ③　[①中，若AC與BD共面，則A，B，C，D四點(diǎn)共面，則AD與BC共面；②中，若AC與BD是異面直線，則A，B，C，D四點(diǎn)不共面，則AD與BC是異面直線；③中，若AB＝AC，DB＝DC，AD不一定等于BC；④中，若AB＝AC，DB＝DC，可以證明AD⊥BC.] 2.如圖39-13，正方形ACDE與等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F(xiàn)，G分別是線段AE，BC的中點(diǎn)，則AD與GF所成的角的余弦值為________． 圖39-13 　[取DE的中點(diǎn)H，連結(jié)HF，GH.

11、由題設(shè)，HF綊AD， ∴∠GFH為異面直線AD與GF所成的角(或其補(bǔ)角)． 在△GHF中，可求HF＝， GF＝GH＝， ∴cos∠GFH＝＝.] 3．空間四邊形ABCD中，AB＝CD且AB與CD所成的角為30°，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，求EF與AB所成角的大?。? 圖39-14 [解]　如圖，取AC的中點(diǎn)G，連結(jié)EG，F(xiàn)G，則EG綊AB，F(xiàn)G綊CD， 由AB＝CD知EG＝FG， ∴∠GEF(或它的補(bǔ)角)為EF與AB所成的角，∠EGF(或它的補(bǔ)角)為AB與CD所成的角． ∵AB與CD所成的角為30°， ∴∠EGF＝30°或150°. 由EG＝FG知△EFG為等腰三

12、角形， 當(dāng)∠EGF＝30°時(shí)，∠GEF＝75°； 當(dāng)∠EGF＝150°時(shí)，∠GEF＝15°. 故EF與AB所成的角為15°或75°. 4．已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點(diǎn)，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q. 求證：(1)D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面． (2)若A1C交平面DBFE于點(diǎn)R，則P，Q，R三點(diǎn)共線． [證明]　(1)∵E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點(diǎn)， ∴連結(jié)D1B1(圖略)，易知EF∥D1B1. 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD. 所以EF，BD確定一個(gè)平面． 即D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面． (2)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)平面A1ACC1確定的平面為α， 又設(shè)平面BDEF為β， 因?yàn)镼∈A1C1，所以Q∈α. 又因?yàn)镼∈EF，所以Q∈β，則Q是α與β的公共點(diǎn)， 同理，P點(diǎn)也是α與β的公共點(diǎn)， 所以α∩β＝PQ. 又因?yàn)锳1C∩β＝R，所以R∈A1C， 則R∈α且R∈β， 則R∈PQ，故P，Q，R三點(diǎn)共線．