高中數(shù)學(xué) 第一章 空間幾何體 探究與發(fā)現(xiàn) 祖暅原理與柱體、椎體、球體的體積3 新人教A版必修2

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1、學(xué)習(xí)目標學(xué)習(xí)目標:（1）能夠利用祖暅原理求柱體和錐體的體積。（2）能夠利用祖暅原理求球體的體積。祖暅的介紹：祖暅的介紹：祖暅是南北朝時代著名數(shù)學(xué)家祖沖之的兒子。受家庭的祖暅是南北朝時代著名數(shù)學(xué)家祖沖之的兒子。受家庭的影響，尤其是父親的影響，他從小熱愛科對數(shù)學(xué)具有濃影響，尤其是父親的影響，他從小熱愛科對數(shù)學(xué)具有濃厚的興趣。祖沖之除了在計算圓周率方面的成就，還與厚的興趣。祖沖之除了在計算圓周率方面的成就，還與他的兒子祖暅一起，用巧妙的方法解決了柱體，錐體，他的兒子祖暅一起，用巧妙的方法解決了柱體，錐體，球體的體積計算。他們當時采用的原理，在西方被稱為球體的體積計算。他們當時采用的原理，在西方被稱為

2、“卡瓦列利卡瓦列利”原理，但這是在祖氏父子以后一千多年才由原理，但這是在祖氏父子以后一千多年才由意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利發(fā)現(xiàn)的。為了紀念祖氏父子的意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利發(fā)現(xiàn)的。為了紀念祖氏父子的這一偉大發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)上也稱這個原理為這一偉大發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)上也稱這個原理為“祖暅原理祖暅原理”。小實驗：將一疊作業(yè)本放在桌面上組成一個幾何體，將它改變一小實驗：將一疊作業(yè)本放在桌面上組成一個幾何體，將它改變一下形狀，幾何體的形狀發(fā)生了改變，幾何體的高發(fā)生改變了嗎？下形狀，幾何體的形狀發(fā)生了改變，幾何體的高發(fā)生改變了嗎？幾何體的體積發(fā)生改變了嗎？說明理由！幾何體的體積發(fā)生改變了嗎？說明理由！祖暅原理祖暅原理“冪勢既同

3、，則積不容異冪勢既同，則積不容異”“冪冪”是面積，是面積，“勢勢”即是高。即是高。意思是如果兩等高的幾何體在同高處截得兩幾何體的意思是如果兩等高的幾何體在同高處截得兩幾何體的截面積恒等，那么這兩個幾何體的體積相等。截面積恒等，那么這兩個幾何體的體積相等。簡要介紹祖暅簡要介紹祖暅(g ng)原理，原理，( (教材教材P30P30）祖暅原理：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體祖暅原理：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體, ,被平行于這兩個平面的任意平面所截被平行于這兩個平面的任意平面所截, ,如果截面如果截面( (陰影部分陰影部分) )的面積都相等的面積都相等, ,那么這兩個幾何體的那么這兩個幾何體的

4、體積一定相等。體積一定相等。利用上述原理推導(dǎo)柱體和錐體的體積公式：利用上述原理推導(dǎo)柱體和錐體的體積公式：hSV底長方體從而我們可以得到所有柱體的體積是_hSV底柱體探究柱體的體積公式如圖，下面是底面積都等于如圖，下面是底面積都等于S，高都等于，高都等于h的任意棱柱，圓柱和長方體，你能用祖暅的任意棱柱，圓柱和長方體，你能用祖暅原理推導(dǎo)柱體的體積公式嗎？原理推導(dǎo)柱體的體積公式嗎？如圖，下面是底面積都等于如圖，下面是底面積都等于S，高都等于，高都等于h的任意棱錐和圓錐，你能用祖暅的任意棱錐和圓錐，你能用祖暅原理推導(dǎo)錐體的體積公式嗎？原理推導(dǎo)錐體的體積公式嗎？探究錐體的體積公式探究錐體的體積公式問：一

5、個三棱柱可以分割成幾個三棱錐？問：一個三棱柱可以分割成幾個三棱錐？ACA1BB1C1A1BB1C1AA1BC1ACBC1分成的每個錐體的體積有什么關(guān)系？說明理由。錐體的體積hSV底錐體31探究球體的體積如圖，設(shè)平行于大圓且與大圓的距離為l的平面截半球所得圓面的半徑為r，r=22lR 2rS2222)(lRlR以看成是在半徑為R的圓面上挖去一個半徑為l的同心圓所得圓環(huán)的面積。由此你能推導(dǎo)出半球的體積嗎？于是截面面積則紅色部分也可以看成是什么圖形的面積？課堂小結(jié)課堂小結(jié)：知識方面：本節(jié)探究了利用祖暅原理獲得了知識方面：本節(jié)探究了利用祖暅原理獲得了 柱體、錐體、球體的體積公式。柱體、錐體、球體的體積

6、公式。思維能力方面：體會到聯(lián)想，類比，猜想思維能力方面：體會到聯(lián)想，類比，猜想 證明等合情推理及邏輯推理的證明等合情推理及邏輯推理的 方法在探索新知識方面的重要方法在探索新知識方面的重要 作用作用布置作業(yè)：布置作業(yè)： 畫出教學(xué)樓的三視圖和直觀圖，畫出教學(xué)樓的三視圖和直觀圖，估計教學(xué)樓的高度、長度、寬度及墻估計教學(xué)樓的高度、長度、寬度及墻壁的厚度、窗戶的大小等數(shù)據(jù)。體會壁的厚度、窗戶的大小等數(shù)據(jù)。體會幾何學(xué)在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用。幾何學(xué)在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用。布置作業(yè)：布置作業(yè)： 畫出教學(xué)樓的三視圖和直觀圖，畫出教學(xué)樓的三視圖和直觀圖，估計教學(xué)樓的高度、長度、寬度及墻估計教學(xué)樓的高度、長度、寬度及墻壁的厚度、窗戶的大小等數(shù)據(jù)。體會壁的厚度、窗戶的大小等數(shù)據(jù)。體會幾何學(xué)在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用。幾何學(xué)在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用。