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1、
專題03 導數
一．基礎題組
1. 【20xx全國新課標，文4】曲線y＝x3－2x＋1在點(1,0)處的切線方程為…( )
A．y＝x－1 B．y＝－x＋1
C．y＝2x－2 D．y＝－2x＋2
【答案】：A
【解析】y′|x＝1＝(3x2－2)|x＝1＝1，因此曲線在(1,0)處的切線方程為y＝x－1.
2. 【20xx全國2，文7】若曲線y＝x2＋ax＋b在點(0，b)處的切線方程是x－y＋1＝0，則( )
A．a＝1，b＝1
B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1
D．a＝－1，b＝－1
【答案】：A
3. 【2007全國2
2、，文8】已知曲線的一條切線的斜率為,則切點的橫坐標為( )
(A)1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
【答案】：A
4. 【20xx全國新課標，文13】曲線y＝x(3lnx＋1)在點(1,1)處的切線方程為__________．
【答案】：4x－y－3＝0
5. 【2005全國3，文15】曲線在點（1，1）處的切線方程為 .
【答案】x+y-2=0
【解析】，，∴切線方程為，即.
6. 【20xx全國新課標，文21】設函數f(x)＝x(ex－1)－ax2.
(1)若a＝，求f(x)的單調區(qū)間；
(2)若當x≥0時f(
3、x)≥0，求a的取值范圍．
二．能力題組
1. 【20xx課標全國Ⅱ，文21】(本小題滿分12分)已知函數f(x)＝x2e－x.
(1)求f(x)的極小值和極大值；
(2)當曲線y＝f(x)的切線l的斜率為負數時，求l在x軸上截距的取值范圍．
當x＝2時，f(x)取得極大值，極大值為f(2)＝4e－2.
2. 【2005全國2，文21】(本小題滿分12分)
設為實數，函數．
(Ⅰ) 的極值；
(Ⅱ) 當在什么范圍內取值時，曲線與軸僅有一個交點．
當的極大值<0，即時，它的極小值也小于0，因此曲線=與軸僅有一個交點，它在(1，+∞)上。
當的極小值－1>0即(1
4、，+∞)時，它的極大值也大于0，因此曲線=與軸僅有一個交點，它在(－∞，－)上。
∴當∪(1，+∞)時，曲線=與軸僅有一個交點。
三．拔高題組
1. 【20xx全國2，文11】若函數在區(qū)間單調遞增，則的取值范圍是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
2. 【20xx課標全國Ⅱ，文11】已知函數f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列結論中錯誤的是( )．
A．?x0∈R，f(x0)＝0
B．函數y＝f(x)的圖像是中心對稱圖形
C．若x0是f(x)的極小值點，則f(x)在區(qū)間(－∞，x0)單調遞減
D．若x0是f(x)
5、的極值點，則f′(x0)＝0
【答案】：C
3. 【20xx全國2，文21】（本小題滿分12分）
已知函數，曲線在點處的切線與軸交點的橫坐標為.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）證明：當時，曲線與直線只有一個交點.
4. 【20xx全國新課標，文21】設函數f(x)＝ex－ax－2．
(1)求f(x)的單調區(qū)間；
(2)若a＝1，k為整數，且當x＞0時，(x－k)f′(x)＋x＋1＞0，求k的最大值．
所以h(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零點．
故g′(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零點．
設此零點為α，則α∈(1,2)．
當x∈(0，α)時，g′(x)＜0；
當x∈(α，＋
6、∞)時，g′(x)＞0.
所以g(x)在(0，＋∞)上的最小值為g(α)．
又由g′(α)＝0，可得eα＝α＋2，所以g(α)＝α＋1∈(2,3)．
由于①式等價于k＜g(α)，故整數k的最大值為2.
5. 【20xx全國2，文21】已知函數f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.
(1)設a＝2，求f(x)的單調區(qū)間；
(2)設f(x)在區(qū)間(2,3)中至少有一個極值點，求a的取值范圍．
6. 【2007全國2，文22】（本小題滿分12分）
已知函數f(x)=ax3-bx2+(2-b)x+1
在x=x1處取得極大值，在x=x2處取得極小值，且0＜x1＜1＜x2＜2.
（1）證明a＞0;
（2）若z=a+2b,求z的取值范圍。
7. 【2005全國3，文21】(本小題滿分12分)
用長為90cm,寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器,先在四角分別截去一個小正方形,然后把四邊翻轉90°角,再焊接而成(如圖),問該容器的高為多少時,容器的容積最大?最大容積是多少?
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