第一部分題型專項練壓軸題提分練(一)

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1、壓軸題提分練（一）1. （2018威海模擬）已知橢圓C:2 2x y孑+ b2= i b 0)的離心率為且過點，,動直線I: y= kx+ m交橢圓C于不同的兩點A, B,且OA OB= 0（O為坐標原點）.（1）求橢圓C的方程.（2）討論3m2 2k2是否為定值？若為定值，求出該定值，若不是請說明理由. 解析：（1）由題意可知C = ，所以a2= 2c2= 2（a2 b2），即a2 = 2b2,a 2又點p（，中）在橢圓上，所以有4+4b2=1，2 2由聯(lián)立，解得b = 1， a = 2,2故所求的橢圓方程為2+y2= 1.(2)設(shè) A(x1, y1)，B(X2, y2)，由 OA OB=

2、0,可知 X1X2 + yy2 = 0.y= kx+ m,聯(lián)立方程組x22G+y =1,2 2 2消去y化簡整理得(1 + 2k )x + 4kmx+ 2m 2 = 0,.2 222/口22 十、4km由= 16k m 8(m 1)(1 + 2k )0,得 1+ 2k m ,所以 X1 + x2 = 2, X1x21+ 2k22m2 221 + 2k2又由題知X1X2 + y1y2= 0,即 X1X2 + (kx1 + m)(kx2 + m) = 0,22整理為(1+ k )x1x2 + km(x1 + X2)+ m = 0.22 2m 24km 2將代入上式，得(1 + k )2 km +

3、m = 0.1 + 2k21+ 2k22 23m 2 2k2221+ 2k2化簡整理得=0,從而得到3m2 2k2 = 2.222. (2018 南寧二中模擬)設(shè)函數(shù) f(x)= a lnx+x ax(a R).(1)試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;設(shè)(Kx) = 2x+ (a2 a)ln R)有兩個不相等的實根xi , X2,證明 h解析：(1)由 f(x) = a2lnx+ x2 ax,可知2 2 2 a2x 一 ax一 af (x)= + 2x a=x2x+ a x ax .因為函數(shù)f(x)的定義域為(0,+x)，所以,若a0,當x0, a)時，f (x)v0函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，當xG(a

4、, +)時,0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;若a = 0時，f (x) = 2x0在xq0,+8)內(nèi)恒成立，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;若av0,當xq0,a,f (x)v0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，當x(2時，f (x)0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.2(2)證明：由題可知 h(x) = f(x) + K(x) = x + (2 a)x aln x(x 0),2a 2x + 2 ax a 2x a x+ 1 所以 h (x) = 2x+ (2 a) x=入所以當 x0, |)時，h (x)v0；當 xq|,+8)時，h (x)0x=2時，h x1 + x2欲證h (一 )0,只需證h(x1 + x2aa) h，

5、又 h(x)二 2+ 子0,即 h (x)x,記 h(x)= f(x) + K(x),當 a0 時，若方程 h(x) = m(mXi + X2 a單調(diào)遞增，故只需證明|.設(shè)xi, X2是方程h(x) = m的兩個不相等的實根，不妨設(shè)為0xi.(*)xi X2 + In xi In X2因為 xi X2+ In xi In X2V0,2xi 2x2所以(*)式可化為In xi In X2VXi + X2即 InXixiLi因為 0XiX2,所以 0： i,不妨令t=予，所以得到In t0,當且僅當 tt+ it (t+ i)2 t(t + if=i時，等號成立，因此R(t)在(0,i)單調(diào)遞增.又 R(i)= 0,因此 R(t)0得證.