新編數(shù)學(xué)人教A版必修4 第三章 三角恒等變換 單元測試2 含解析

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1、新編人教版精品教學(xué)資料 (時間:100分鐘,滿分:120分) 一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的) 1.sin 40°sin 50°-cos 40°cos 50°=(  ) A.0 B.1 C.-1 D.-cos 10° 解析:選A.sin 40°sin 50°-cos 40°cos 50°=-cos(40°+50°)=0. 2.已知sin α=,cos α=,則tan 等于(  ) A.2-  B.2+ C.-2 D.±(-2) 解析:選C.因?yàn)閟in α=>0,cos α=>0,

2、 所以α的終邊落在第一象限,的終邊落在第一、三象限. 所以tan >0, 故tan ===-2. 3.已知sin =,cos =-,則角α的終邊所在的象限是(  ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:選C.sin α=2sin cos =-<0,cos α=2cos2-1=2×(-)2-1=-<0. ∴α為第三象限角. 4.已知θ是銳角,那么下列各值中,sin θ+cos θ能取得的值是(  ) A. B. C. D. 解析:選A.因?yàn)閟in θ+cos θ=(sin θ+cos θ) =(cos sin θ+sin cos

3、 θ)=sin(θ+), 又θ是銳角,則<θ+<, 所以1<sin(θ+)≤,故選A. 5.已知向量a=(2,sin x),b=(cos2x,2cos x),則函數(shù)f(x)=a·b的最小正周期是(  ) A. B.π C.2π D.4π 解析:選B.∵f(x)=a·b=2cos2x+2sin xcos x=1+cos 2x+sin 2x=1+sin(2x+), ∴f(x)=a·b的最小正周期是π. 6.已知sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=,且β的終邊在第三象限,則cos 的值等于(  ) A.± B.± C.- D.- 解析:選A.

4、由已知,得sin[(α-β)-α]=sin(-β)=, 即sin β=-. ∵β在第三象限,所以cos β=-, ∴cos =± =±=±. 7.=(  ) A.1 B.2 C. D. 解析:選C.原式=== ==. 8.如果α∈(,π),且sin α=,則sin(α+)-cos(π-α)=(  ) A. B.- C. D.- 解析:選B.sin(α+)-cos(π-α)=sin α+cos α+cos α=sin α+cos α. ∵sin α=,α∈(,π),∴cos α=-. ∴sin α+cos α=×-×=-. 9.在△ABC中,cos

5、A=,cos B=,則△ABC的形狀是(  ) A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.等邊三角形 解析:選B.∵cos A=,∴sin A=. 同理sin B=. ∵cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B =-×+×=-<0, ∴C為鈍角. 10.若0<α<,-<β<0,cos(+α)=,cos(-)=,則cos(α+)=(  ) A. B.- C. D.- 解析:選C.∵0<α<,-<β<0, ∴<+α<,<-<, ∴sin(+α)= = ,sin(-)=. ∴cos(α+)=cos[(+α)-(

6、-)] =cos(+α)cos(-)+sin(+α)sin(-) =,故選C. 二、填空題(本大題共5小題,每小題4分,共20分.把答案填在題中橫線上) 11.已知α∈(0,),sin α=,則+tan 2α的值為________. 解析:∵α∈(0,),sin α=,∴cos α=. ∴+tan 2α= = ===7. 答案:7 12.若sin -2cos =0,則tan θ=________. 解析:由sin -2cos =0,得tan =2. ∴tan θ===-. 答案:- 13.已知sin(x+)=,sin(x-)=,則tan x=________. 解

7、析:由sin(x+)=,sin(x-)=,得sin x+cos x=,sin x-cos x=, 解得sin x=,cos x=-, 所以tan x==-7. 答案:-7 14.下列命題: ①若f(x)=2cos2-1,則f(x+π)=f(x)對x∈R恒成立; ②要得到函數(shù)y=sin(-)的圖象,只需將y=sin 的圖象向右平移個單位; ③若銳角α,β滿足cos α>sin β,則α+β<. 其中真命題的序號是________. 解析:由于f(x)=2cos2-1=cos x,其最小正周期為T=2π,即f(x+2π)=f(x)對x∈R恒成立,故①錯;由于y=sin(-)=si

8、n(x-),所以要得到函數(shù)y=sin(-)的圖象,只需將y=sin 的圖象向右平移個單位,故②錯;若α,β為銳角,則-α,β為銳角,而α,β滿足cos α>sin β,即sin(-α)>sin β,得-α>β,所以α+β<,故③對. 答案:③ 15.已知A,B,C為△ABC的三個內(nèi)角,a=(sin B+cos B,cos C),b=(sin C,sin B-cos B).若a·b=0,則A=________. 解析:由已知a·b=0,得(sin B+cos B)sin C+cos C(sin B-cos B)=0. 化簡,得sin(B+C)-cos(B+C)=0,即sin A+cos

9、A=0,∴tan A=-1. 又A∈(0,π),∴A=. 答案: 三、解答題(本大題共5小題,每小題10分,共50分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 16.已知函數(shù)f(x)=. (1)求f(x)的定義域; (2)若角α在第一象限,且cos α=,求f(α). 解:(1)由sin(x+)≠0,得x+≠kπ(k∈Z),故f(x)的定義域?yàn)閧x|x∈R且x≠kπ-,k∈Z}. (2)由已知條件得sin α== =. 從而f(α)= = = = =2(cos α+sin α)=. 17.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(其中x∈R,A>0,ω>0,-

10、<φ<)的部分圖象如圖所示. (1)求A,ω,φ的值; (2)已知在函數(shù)f(x)的圖象上的三點(diǎn)M,N,P的橫坐標(biāo)分別為-1,1,3,求sin∠MNP的值. 解:(1)由題圖可知,A=1, 最小正周期T=4×2=8,所以T==8,ω=. 又f(1)=sin(+φ)=1,且-<φ<, 所以+φ=,φ=. (2)由(1)知f(x)=sin(x+), 所以f(-1)=0,f(1)=1,f(3)=0, 所以M(-1,0),N(1,1),P(3,0). 設(shè)Q(1,0),連接MN,NP. 在直角三角形MNQ中,設(shè)∠MNQ=α, 則sin α=,cos α=,∠MNP=2α,

11、 所以sin∠MNP=sin 2α=2sin αcos α=2××=. 18.已知f(x)=2cos2 +sin ωx+a的圖象上相鄰兩對稱軸的距離為. (1)若x∈R,求f(x)的遞增區(qū)間; (2)若x∈[0,]時,f(x)的最大值為4,求a的值. 解:由f(x)=2cos2+sin ωx+a =sin ωx+cos ωx+a+1 =2sin(ωx+)+a+1. 因?yàn)閒(x)的圖象上相鄰對稱軸的距離為, 故=?T=π?ω==2, ∴f(x)=2sin(2x+)+a+1. (1)由-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z), 解得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z), 所以f(x

12、)的遞增區(qū)間為[-+kπ,+kπ](k∈Z). (2)若x∈[0,],則≤2x+≤, 所以-≤sin(2x+)≤1, 所以f(x)max=2+a+1=4,所以a=1. 19.已知向量a=(cos θ,sin θ),b=(2,-1). (1)若a⊥b,求的值; (2)若|a-b|=2,θ∈(0,),求sin(θ+)的值. 解:(1)法一:由a⊥b可知,a·b=2cos θ-sin θ=0, 所以sin θ=2cos θ, 所以==. 法二:由a⊥b可知,a·b=2cos θ-sin θ=0,所以sin θ=2cos θ, 所以tan θ=2, 所以==. (2)由a-b

13、=(cos θ-2,sin θ+1)可得, |a-b|= ==2. 即1-2cos θ+sin θ=0,① 又cos2θ+sin2θ=1,② 由①②且θ∈(0,)可解得, 所以sin(θ+)=(sin θ+cos θ)=×(+)=. 20.已知函數(shù)f(x)=sin(3x+). (1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間; (2)若α是第二象限角,f()=cos(α+)cos 2α,求cos α-sin α的值. 解:(1)由-+2kπ≤3x+≤2kπ+,k∈Z,得 -≤x≤+,k∈Z, 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[-,+](k∈Z). (2)由f()=cos(α+)co

14、s 2α, 得sin(α+)=cos(α+)cos 2α. 因?yàn)閏os 2α=sin(2α+)=sin[2(α+)] =2sin(α+)cos(α+), 所以sin(α+)=cos2(α+)sin(α+). 又α是第二象限角,則得sin(α+)=0或cos2(α+)=. ①由sin(α+)=0,得α+=2kπ+π?α=2kπ+π(k∈Z), 所以cos α-sin α=cos -sin =-. ②由cos2(α+)=?cos(α+)=- ?(cos α-sin α)=-, 所以cos α-sin α=-. 綜上可知cos α-sin α=-或cos α-sin α=-.

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