（江蘇專版）2018版高考數學二輪復習 專題一 三角函數與平面向量 第3講 平面向量試題 理

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1、 第3講　平面向量 高考定位　平面向量這部分內容在高考中的要求大部分都為B級，只有平面向量的應用為A級要求，平面向量的數量積為C級要求.主要考查：(1)平面向量的基本定理及基本運算，多以熟知的平面圖形為背景進行考查，填空題難度中檔； (2)平面向量的數量積，以填空題為主，難度低；(3)向量作為工具，還常與三角函數、解三角形、不等式、解析幾何結合，以解答題形式出現. 真 題 感 悟 1.(2015·江蘇卷)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，則m－n的值為________. 解析　∵a＝(2，1)，b＝(1，－2)，∴ma＋nb＝

2、(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，即解得故m－n＝2－5＝－3. 答案　－3 2.(2017·江蘇卷)如圖，在同一個平面內，向量，，的模分別為1，1，，與的夾角為α，且tan α＝7，與的夾角為45°.若＝m＋n(m，n∈R)，則m＋n＝________. 解析　如圖，設＝m，＝n，則在△ODC中有OD＝m，DC＝n，OC＝，∠OCD＝45°， 由tan α＝7，得cos α＝， 又由余弦定理知 即 ①＋②得4－2n－m＝0，即m＝10－5n，代入①得12n2－49n＋49＝0，解得n＝或n＝，當n＝時，m＝10－5×＝－<0(不合題意，舍去)，當n＝時，m＝10－5

3、×＝，故m＋n＝＋＝3. 答案　3 3.(2016·江蘇卷)如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E，F是AD上的兩個三等分點，·＝4，·＝－1，則·的值是________. 解析　設＝a，＝b，則·＝(－a)·(－b)＝a·b＝4. 又∵D為BC中點，E，F為AD的兩個三等分點， 則＝(＋)＝a＋b， ＝＝a＋b， ＝＝a＋b， ＝＋＝－a＋a＋b＝－a＋b， ＝＋＝－b＋a＋b＝a－b， 則·＝·＝ －a2－b2＋a·b＝－(a2＋b2)＋×4＝－1. 可得a2＋b2＝. 又＝＋＝－a＋a＋b＝－a＋b， ＝＋＝－b＋a＋b＝a－b， 則·＝· ＝－(a2

4、＋b2)＋a·b＝－×＋×4＝. 答案　 4.(2017·江蘇卷)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]. (1)若a∥b，求x的值； (2)記f (x)＝a·b，求f (x)的最大值和最小值以及對應的x的值. 解　(1)∵a∥b，∴3sin x＝－cos x， ∴3sin x＋cos x＝0，即sin＝0. ∵0≤x≤π，∴≤x＋≤π，∴x＋＝π，∴x＝. (2)f (x)＝a·b＝3cos x－sin x＝－2sin. ∵x∈[0，π]，∴x－∈， ∴－≤sin≤1，∴－2≤f (x)≤3， 當x－＝－，即x＝0時，f (x)取得最大值

5、3； 當x－＝，即x＝時，f (x)取得最小值－2. 考 點 整 合 1.平面向量的兩個重要定理 (1)向量共線定理：向量a(a≠0)與b共線當且僅當存在唯一實數λ，使b＝λa. (2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一組基底. 2.平面向量的兩個充要條件 若兩個非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則 (1)a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0. (2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. 3.平面向量的三個性質 (1)

6、若a＝(x，y)，則|a|＝＝. (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 ||＝. (3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為a與b的夾角， 則cos θ＝＝. 4.平面向量的三個錦囊 (1)向量共線的充要條件：O為平面上一點，則A，B，P三點共線的充要條件是＝λ1＋λ2(其中λ1＋λ2＝1). (2)三角形中線向量公式：若P為△OAB的邊AB的中點，則向量與向量，的關系是＝(＋). (3)三角形重心坐標的求法：G為△ABC的重心?＋＋＝0?G. 熱點一　平面向量的有關運算 [命題角度1]　平面向量的線性運算 【例1－1】 (1)(2017·天津

7、卷)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，若＝2，＝λ－(λ∈R)，且·＝－4，則λ的值為________. (2)已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝120°，點E，F分別在邊BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若·＝1，則λ的值為________. 解析　(1)·＝3×2×cos 60°＝3，＝＋，則·＝·(λ－)＝·－2＋2＝×3－×32＋×22＝λ－5＝－4，解得λ＝. (2)法一　如圖，＝＋＝＋，＝＋＝＋＝＋，所以·＝·＝·＋2＋2＝×2×2×cos 120°＋＋＝1，解得λ＝2. 法二　建立如圖所示平面直角坐標系.由題意知： A(0，1)，C(0，－1)

8、，B(－，0)， D(，0). 由BC＝3BE，DC＝λDF， 可求點E，F的坐標分別為 E，F， ∴·＝· ＝－2＋＝1，解得λ＝2. 答案　(1)　(2)2 探究提高　用平面向量基本定理解決此類問題的關鍵是先選擇一組基底，并運用平面向量的基本定理將條件和結論表示成基底的線性組合，再通過對比已知等式求解. [命題角度2]　平面向量的坐標運算 【例1－2】 (1)(2017·江蘇沖刺卷)已知向量a＝(2，1)，b＝(0，－1).若(a＋λb)⊥a，則實數λ＝________. (2)(2016·全國Ⅲ卷改編)已知向量＝，＝，則∠ABC＝________. 解析　(1)由

9、題意可得a＋λb＝(2，1－λ)，則(a＋λb)·a＝(2，1－λ)·(2，1)＝5－λ＝0，解得λ＝5. (2)||＝1，||＝1，cos∠ABC＝＝， 則∠ABC＝30°. 答案　(1)5　(2)30° 探究提高　若向量以坐標形式呈現時，則用向量的坐標形式運算；若向量不是以坐標形式呈現，則可建系將之轉化為坐標形式，再用向量的坐標運算求解更簡捷. [命題角度3]　平面向量的數量積 【例1－3】 (1)(2017·全國Ⅰ卷)已知向量a，b的夾角為60°，|a|＝2，|b|＝1，則|a＋2b|＝________. (2)(2017·佛山二模)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，A

10、B＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，動點E和F分別在線段BC和DC上，且＝λ，＝，則·的最小值為________. 解析　(1)|a＋2b|2＝|a|2＋2|a|·|2b|·cos 60°＋(2|b|)2 ＝22＋2×2×2×＋22＝4＋4＋4＝12， ∴|a＋2b|＝＝2. (2)法一　在梯形ABCD中，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，可得DC＝1，＝＋λ，＝＋， ∴·＝(＋λ)·(＋)＝·＋·＋λ·＋λ·＝2×1×cos 60°＋2×＋λ×1×cos 60°＋λ·×cos 120°＝＋＋≥2＋＝，當且僅當＝，即λ＝時，取得最小值為. 法二　以點A為坐標原點，AB所在的直線

11、為x軸建立平面直角坐標系， 則B(2，0)，C，D. 又＝λ，＝， 則E，F，λ＞0， 所以·＝＋λ＝＋＋λ≥＋2＝，λ＞0，當且僅當＝λ，即λ＝時取等號， 故·的最小值為. 答案　(1)2　(2) 探究提高　(1)①數量積的計算通常有三種方法：數量積的定義、坐標運算、數量積的幾何意義，特別要注意向量坐標法的運用；②可以利用數量積求向量的模和夾角，向量要分解成題中模和夾角已知的向量進行計算；③在用|a|＝求向量的模時，一定要把求出的a2進行開方. (2)求解幾何圖形中的數量積問題，通過對向量的分解轉化成已知向量的數量積計算是基本方法，但是如果建立合理的平面直角坐標系，把數量積的

12、計算轉化成坐標運算也是一種較為簡捷的方法. 【訓練1】 (1)(2017·全國Ⅱ卷改編)已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內一點，則·(＋)的最小值是________. (2)(2017·南京、鹽城模擬)如圖，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，點E為BC的中點，點F在邊CD上，若·＝，則·的值是________. 解析　(1)如圖，以等邊三角形ABC的底邊BC所在直線為x軸，以BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，則A(0，)，B(－1，0)，C(1，0).設P(x，y)，則＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y). 所以·(＋)＝(－x，－

13、y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2－. 當x＝0，y＝時，·(＋)取得最小值為－. (2)法一　以A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立平面直角坐標系(以射線AB，AD的方向分別為x軸、y軸的正方向)，則B(，0)，E(，1).設F(x，2)，則＝(x，2)，又＝(，0)，∴·＝x＝，∴x＝1，∴F(1，2)，∴·＝. 法二　∵·＝||||cos ∠BAF＝，||＝，∴||cos ∠BAF＝1， 即||＝1，∴||＝－1， ∴·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝·＋·＝×(－1)×(－1)＋1×2×1＝. 答案　(1)－　(2) 熱點二　平面向量與三角的交匯 【

14、例2】 (2017·南京模擬)已知向量a＝(2cos α，sin2α)，b＝(2sin α，t)，α∈，t為實數. (1)若a－b＝，求t的值； (2)若t＝1，且a·b＝1，求tan的值. 解　(1)因為向量a＝(2cos α，sin2α)，b＝(2sin α，t)， 且a－b＝，所以cos α－sin α＝，t＝sin2α. 由cos α－sin α＝，得(cos α－sin α)2＝， 即1－2sin αcos α＝，從而2sin αcos α＝. 所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝. 因為α∈，所以cos α＋sin α＝， 所以sin α

15、＝＝， 所以t＝sin2α＝. (2)因為t＝1，且a·b＝1， 所以4sin αcos α＋sin2α＝1，即4sin αcos α＝cos2α. 因為α∈，所以cos α≠0，從而tan α＝， 所以tan 2α＝＝， 所以tan＝＝＝. 探究提高　三角函數和平面向量是高中數學的兩個重要分支，內容繁雜，且平面向量與三角函數交匯點較多，向量的平行、垂直、夾角、數量積等知識都可以與三角函數進行交匯.不論是哪類向量知識與三角函數的交匯試題，都會出現交匯問題中的難點，對于此類問題的解決方法就是利用向量的知識將條件“脫去外衣”轉化為三角函數中的“數量關系”，再利用三角函數的相關知識進行

16、求解. 【訓練2】 (2017·蘇北四市模擬)已知在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量p＝(cos B＋sin B，2sin B－2)，q＝(sin B－cos B，1＋sin B)，且p⊥q. (1)求B的大??； (2)若b＝2，△ABC的面積為，求a，c. 解　(1)因為p⊥q， 所以p·q＝(cos B＋sin B)(sin B－cos B)＋(2sin B－2)·(1＋sin B)＝0， 即sin2B－cos2B＋2sin2B－2＝0， 即sin2B＝， 又角B是銳角三角形ABC的內角， 所以sin B＝，所以B＝60°. (2)由(1)得

17、B＝60°，又△ABC的面積為， 所以S△ABC＝acsin B＝，即ac＝4.① 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，又b＝2， 所以a2＋c2＝8，② 聯立①②，解得a＝c＝2. 1.平面向量的數量積的運算有兩種形式： (1)依據模和夾角計算，要注意確定這兩個向量的夾角，如夾角不易求或者不可求，可通過選擇易求夾角和模的基底進行轉化； (2)利用坐標來計算，向量的平行和垂直都可以轉化為坐標滿足的等式，從而應用方程思想解決問題，化形為數，使向量問題數量化. 2.根據平行四邊形法則，對于非零向量a，b，當|a＋b|＝|a－b|時，平行四邊形的兩條對角線長度

18、相等，此時平行四邊形是矩形，條件|a＋b|＝|a－b|等價于向量a，b互相垂直. 3.兩個向量夾角的范圍是[0，π]，在使用平面向量解決問題時要特別注意兩個向量夾角可能是0或π的情況，如已知兩個向量的夾角為鈍角時，不單純就是其數量積小于零，還要求不能反向共線. 一、填空題 1.(2017·山東卷)已知e1，e2是互相垂直的單位向量，若e1－e2與e1＋λe2的夾角為60°，則實數λ的值是________. 解析　cos 60°＝＝ ＝，解之得λ＝. 答案　 2.(2015·北京卷)在△ABC中，點M，N滿足＝2，＝.若＝x＋y，則x＝__________；y＝______

19、____. 解析?。剑剑? ＝＋(－) ＝－，∴x＝，y＝－. 答案　　－ 3.已知A，B，C為圓O上的三點，若＝(＋)，則與的夾角為________. 解析　由＝(＋)，可得O為BC的中點，故BC為圓O的直徑，所以與的夾角為90°. 答案　90° 4.已知O是平面上的一定點，A，B，C是平面上不共線的三個動點，若動點P滿足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，則點P的軌跡一定通過△ABC的________(填重心、垂心、內心或外心). 解析　由已知，得－＝λ(＋)，即＝λ(＋)，根據平行四邊形法則，設△ABC中BC邊的中點為D，知＋＝2，所以點P的軌跡必過△ABC的重心.故填重心

20、. 答案　重心 5.(2017·蘇、錫、常、鎮(zhèn)調研)在△ABC中，已知AB＝1，AC＝2，∠A＝60°，若點P滿足＝＋λ，且·＝1，則實數λ的值為________. 解析　由AB＝1，AC＝2，∠A＝60°，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝3，即BC＝.又AC2＝AB2＋BC2，所以∠B＝.以點A為坐標原點，，的方向分別為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標系，則B(1，0)，C(1，).由＝＋λ，得P(1＋λ，λ)，則·＝(λ，λ)·(λ，λ－)＝λ2＋3λ(λ－1)＝1，即4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝－或λ＝1. 答案　－或1 6.(2014·江蘇卷)如圖，在

21、平行四邊形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，則·的值是________. 解析　由題圖可得，＝＋＝＋， ＝＋＝＋＝－. ∴·＝· ＝2－·－2＝2， 故有2＝25－·－×64，解得·＝22. 答案　22 7.△ABC是邊長為2的等邊三角形，已知向量a，b滿足＝2a，＝2a＋b，則下列結論中正確的是________(寫出所有正確結論的編號). ①a為單位向量；②b為單位向量；③a⊥b；④b∥；⑤(4a＋b)⊥. 解析　∵2＝4|a|2＝4，∴|a|＝1，故①正確； ∵＝－＝(2a＋b)－2a＝b，又△ABC為等邊三角形，∴||＝|b|＝2，故②錯誤； ∵b＝

22、－，∴a·b＝·(－)＝×2×2×cos 60°－×2×2＝－1≠0，故③錯誤； ∵＝b，故④正確； ∵(＋)·(－)＝2－2＝4－4＝0， ∴(4a＋b)⊥，故⑤正確. 答案?、佗堍? 8.如圖，在△ABC中，C＝90°，且AC＝BC＝3，點M滿足＝2，則·＝________. 解析　法一　如圖，建立平面直角坐標系. 由題意知：A(3，0)，B(0，3)， 設M(x，y)，由＝2， 得解得 即M點坐標為(2，1)， 所以·＝(2，1)·(0，3)＝3. 法二　·＝(＋)·＝2＋·＝2＋·(－) ＝2＝3. 答案　3 二、解答題 9.已知向量a＝，b＝，且x∈

23、. (1)求a·b及|a＋b|； (2)若f (x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值. 解　(1)a·b＝cos cos －sin sin ＝cos 2x， |a＋b|＝ ＝＝2， 因為x∈，所以cos x≥0， 所以|a＋b|＝2cos x. (2)由(1)，可得f (x)＝a·b－2λ|a＋b|＝cos 2x－4λcos x， 即f (x)＝2(cos x－λ)2－1－2λ2. 因為x∈，所以0≤cos x≤1. ①當λ＜0時，當且僅當cos x＝0時，f (x)取得最小值－1，這與已知矛盾； ②當0≤λ≤1時，當且僅當cos x＝λ時，f (x)取得

24、最小值－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－，解得λ＝； ③當λ＞1時，當且僅當cos x＝1時，f (x)取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－，解得λ＝，這與λ＞1相矛盾.綜上所述λ＝. 10.(2017·鎮(zhèn)江模擬)已知向量m＝(cos α，－1)，n＝(2，sin α)，其中α∈，且m⊥n. (1)求cos 2α的值； (2)若sin(α－β)＝，且β∈，求角β的值. 解　(1)由m⊥n，得2cos α－sin α＝0，sin α＝2cos α， 代入cos2α＋sin2α＝1，得5cos2α＝1， 又α∈，則cos α＝， 故sin α＝，則cos 2α＝cos2α－

25、sin2α＝－. (2)由α∈，β∈，得α－β∈. 因為sin(α－β)＝，所以cos(α－β)＝， 則sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝×－×＝. 因為β∈，所以β＝. 11.(2017·南師附中調研)△ABC的內角A，B，C 所對的邊分別為a，b，c.向量m＝(a，b)與n＝(cos A，sin B)平行. (1)求A； (2)若a＝，b＝2，求△ABC的面積. 解　(1)因為m∥n，所以asin B－bcos A＝0， 由正弦定理，得sin Asin B－sin Bcos A＝0， 又sin B≠0，從而tan A＝， 由于0＜A＜π，所以A＝. (2)法一　由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A， 而a＝，b＝2，A＝，得7＝4＋c2－2c， 即c2－2c－3＝0，因為c＞0，所以c＝3， 故△ABC的面積為S＝bcsin A＝. 法二　由正弦定理，得＝， 從而sin B＝，又由a＞b，知A＞B， 所以cos B＝，故sin C＝sin(A＋B)＝sin ＝sin Bcos ＋cos Bsin ＝. 所以△ABC的面積為S＝absin C＝. 14