2018年高考數(shù)學(xué) 命題角度6.5 恒成立與存在性問(wèn)題大題狂練 文

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1、命題角度5：恒成立與存在性問(wèn)題1.已知a0，曲線f（x）=2ax2+bx+c與曲線g（x）=x2+alnx在公共點(diǎn)（1，f（1）處的切線相同 （）試求c-a的值； （）若f（x）g（x）+a+1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【答案】（1）c-a=-1（2）a-1，0）【解析】試題分析：（I）利用列方程組，即可求得的值.（II）構(gòu)造函數(shù)，將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題來(lái)解.利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)最大值. ()設(shè)，則，恒成立， ， 法一：由，知和在上單調(diào)遞減，得在上單調(diào)遞減， 又，得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 得，由題意知，得， 所以 點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與切線，考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與不等

2、式恒成立問(wèn)題的求解策略.根據(jù)題目的已知條件“同一點(diǎn)的切線相同”也即是分成兩個(gè)條件：切點(diǎn)相同、在切點(diǎn)的斜率也相同.根據(jù)這兩個(gè)條件可以得到兩個(gè)方程，但是一共有個(gè)參數(shù)，故無(wú)法解出個(gè)未知的參數(shù)，只能用作差的方法求得的值.2.設(shè)函數(shù) （1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若為整數(shù)，且當(dāng)時(shí)， 恒成立，其中為的導(dǎo)函數(shù)，求的最大值.【答案】（1）f（x）在（-，lna）單調(diào)遞減，在（lna，+）上單調(diào)遞增（2）2【解析】試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)a的大小討論導(dǎo)函數(shù)是否變號(hào)：若a0，導(dǎo)函數(shù)恒非負(fù)，為單調(diào)增區(qū)間；若a0，導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化，先負(fù)后正，對(duì)應(yīng)先減后增（2）分類變量得 ，再利用導(dǎo)數(shù)求最小值：在極小值點(diǎn)取最小值，根據(jù)

3、極值定義得 及零點(diǎn)存在定理確定范圍 ，化簡(jiǎn)最小值為，并確定其范圍為（2,3） ，因此可得正整數(shù)的最大值.試題解析：（1）函數(shù)f（x）=ex-ax-2的定義域是R，f（x）=ex-a， 若a0，則f（x）=ex-a0，所以函數(shù)f（x）=ex-ax-2在（-，+）上單調(diào)遞增 若a0，則當(dāng)x（-，lna）時(shí)，f（x）=ex-a0；當(dāng)x（lna，+）時(shí)，f（x）=ex-a0；所以，f（x）在（-，lna）單調(diào)遞減，在（lna，+）上單調(diào)遞增（2）由于a=1， 令，令，在單調(diào)遞增， 且在上存在唯一零點(diǎn)，設(shè)此零點(diǎn)為，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 由，又所以的最大值為2點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立或存在型問(wèn)題，首先要構(gòu)

4、造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.3.已知函數(shù)的極小值為0.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）由極小值的定義知道，只需要令，解得，且描述兩側(cè)的單調(diào)性；（2）原式子轉(zhuǎn)化為在上恒成立；求導(dǎo)，研究導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可，從而得到函數(shù)的單調(diào)性和最值即可。（1），令，解得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的極小值為，由題意有，解得.（2）由（1）知不等式對(duì)任意恒成立，在上恒成立，不妨設(shè)， ，則.當(dāng)時(shí)， ，故，在上單調(diào)遞增，

5、從而，不成立.當(dāng)時(shí)，令，解得，若，即，當(dāng)時(shí)， ， 在上為增函數(shù)，故，不合題意；若，即，當(dāng)時(shí)， ， 在上為減函數(shù)，故，符合題意.綜上所述， 的取值范圍為.點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)極值與最值的過(guò)程中的應(yīng)用；第二問(wèn)恒成立求參的問(wèn)題，解決方法有如下幾種：第一，可以考慮參變分離，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題；第二，直接含參討論，研究函數(shù)的單調(diào)性和最值。4.設(shè)函數(shù) (為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），. （1）證明：當(dāng)時(shí)， 沒(méi)有零點(diǎn)；（2）若當(dāng)時(shí)， 恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）見解析；（2）【解析】試題分析：（1）由，令， ，把沒(méi)有零點(diǎn)，可以看作函數(shù)與的圖象無(wú)交點(diǎn)，求得直線與曲線無(wú)交點(diǎn)，即可得到結(jié)論. （2）由題意

6、，分離參數(shù)得，設(shè)出新函數(shù)，得出函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的最小值，即可求解的取值范圍.解法二：由得，令， ，則沒(méi)有零點(diǎn)，可以看作函數(shù)與的圖象無(wú)交點(diǎn)， 設(shè)直線切于點(diǎn)，則，解得， ，代入得，又，直線與曲線無(wú)交點(diǎn)，即沒(méi)有零點(diǎn). （2）當(dāng)時(shí)， ，即，即.令，則.當(dāng)時(shí)， 恒成立，令，解得；令，解得， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，.的取值范圍是.點(diǎn)睛：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)問(wèn)題的綜合應(yīng)用，其中解答中涉及到利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用求解函數(shù)的極值與最值，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，同時(shí)著重考查了分離參數(shù)思想和構(gòu)造函數(shù)思想方法的應(yīng)用，本題的解答中根據(jù)題意構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，試

7、題綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于難題，平時(shí)注重總結(jié)和積累.5. 已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對(duì)任意及，恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值集合.【答案】（）當(dāng)時(shí)， 在上是增函數(shù)；(2)m-2【解析】試題分析：(1)首先求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后結(jié)合題意分類討論即可確定函數(shù)的單調(diào)性；(2)將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可求得實(shí)數(shù)的取值集合為.試題解析：解: （） 當(dāng)時(shí)，恒有，則在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， ，則在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)， ，則在上是減函數(shù)綜上，當(dāng)時(shí)， 在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)， 在上是增函數(shù)， 在上是減函數(shù) 6.已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的最小值；（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)，使得成立，求的范圍.【答案】（1）當(dāng)時(shí)

8、的最小值為，當(dāng)時(shí)的最小值為,當(dāng)時(shí)，最小值為.（2）【解析】試題分析：（1）本問(wèn)考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，令得，對(duì)分類討論，當(dāng)，時(shí)，分別討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最小值；（2）本問(wèn)主要考查“任意”、“存在”問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化，對(duì)，使得成立”等價(jià)于“在上的最小值不大于在上的最小值”.即由（1）問(wèn)易得到函數(shù)的最小值，然后通過(guò)對(duì)的討論求即可.試題解析：(I)，令得.當(dāng)即時(shí)，在上，遞增，的最小值為.當(dāng)即時(shí)，在上，為減函數(shù)，在上，為增函數(shù). 的最小值為.當(dāng)即時(shí)，在上，遞減，的最小值為.綜上所述，當(dāng)時(shí)的最小值為，當(dāng)時(shí)的最小值為,當(dāng)時(shí)，最小值為.(II)令由題可知“對(duì)，使得成立”等價(jià)于

9、“在上的最小值不大于在上的最小值”.即由(I)可知，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由得，與矛盾，舍去. 當(dāng)時(shí)，由得，與矛盾，舍去.當(dāng)時(shí)，由得綜上，的取值范圍是.考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值；3.任意、存在問(wèn)題的轉(zhuǎn)化；4.分類討論思想的應(yīng)用.方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值，導(dǎo)數(shù)幾何意義等內(nèi)容是考查的重點(diǎn).解題時(shí)，注意函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，另外，還要能夠?qū)?wèn)題進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化，尤其是“任意”和“存在”問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化，可以簡(jiǎn)化解題過(guò)程.本題對(duì)，使得成立”等價(jià)于“在上的最小值不大于在上的最小值”.7.已知函數(shù).（1

10、）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.【答案】(1) ;(2) .【解析】試題分析：（1）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并且求 和 ，根據(jù)切線方程 ，寫出切線方程；（2）令 ，首先求函數(shù)得到導(dǎo)數(shù)，討論當(dāng) 和 兩種情況討論函數(shù)的最大值，令最大值小于等于0，求得的值.試題解析：(1)因?yàn)?，所以切線方程為，即.(2)令，所以，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以是上的遞增函數(shù)，又因?yàn)椋躁P(guān)于的不等式，不能恒成立，當(dāng)時(shí)， ，令，得，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， ，因此函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，故函數(shù)的最大值為，令，則在上是減函數(shù)，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)， ，所以整數(shù)的最小值為.【點(diǎn)睛】不等式恒成立求參數(shù)取值

11、范圍是高考熱點(diǎn)，本題是當(dāng)恒成立時(shí)，求參數(shù)取值范圍，一般變形為恒成立，求函數(shù)的最大值小于等于0，或參變分離轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題.8.已知函數(shù).(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1) ; (2) .【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算,根據(jù)點(diǎn)斜式可求切線方程；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出的最大值，結(jié)合對(duì)任意恒成立，求出的取值范圍即可.試題解析：(1)由，得，則又， .所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即. (2)已知對(duì)任意恒成立，令當(dāng)時(shí)， ， 在上單調(diào)遞減，恒成立.當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的開口方向向下，對(duì)稱軸為，且，所以當(dāng)

12、時(shí)， ， ， 在上單調(diào)遞減，恒成立.當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的開口方向向上，對(duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，且，故存在唯一，使得，即.當(dāng)時(shí)， ， ， 單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)， ， ， 單調(diào)遞增.所以在上， .所以得，綜上,得取值范圍是.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值以及不等式恒成立問(wèn)題，屬于難題不等式恒成立問(wèn)題常見方法： 分離參數(shù)恒成立(可)或恒成立（即可）； 數(shù)形結(jié)合(圖象在 上方即可)； 討論最值或恒成立； 討論參數(shù).本題是利用方法 求得的范圍的.9.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若，在上存在一點(diǎn)，使得成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）詳

13、見解析；（3）或.【解析】試題分析：（1）中求的是在x=1的切線方程，所以直接出函數(shù)在x=1的導(dǎo)數(shù)，和切點(diǎn)即可解決。（2）求單調(diào)性區(qū)間，先注意定義域，再求導(dǎo)數(shù)等于0的根，一般對(duì)于含參的問(wèn)題，我們先看是否能因式分解。（3）存在成立，先變形為，從而構(gòu)造函數(shù)在上的最小值.同時(shí)注意第（2）問(wèn)己求對(duì)本問(wèn)的應(yīng)用。試題解析：（1）當(dāng)時(shí)， ，切點(diǎn)，所以，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為： ，即.（2），定義域?yàn)?，?）由題意可知，在上存在一點(diǎn)，使得成立，即在上存在一點(diǎn)，使得，即函數(shù)在上的最小值.由第（2）問(wèn)，當(dāng)，即時(shí)， 在上單調(diào)遞減，所以，所以，因?yàn)椋?；?dāng)，即時(shí)， 在上單調(diào)遞增，所以，所以；當(dāng)，即時(shí)， ，

14、因?yàn)?，所以，所以，此時(shí)不存在使得成立.10.已知函數(shù)（1）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若存在唯一整數(shù)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）本問(wèn)考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在上恒成立，即在上恒成立，采用參變分離的方法，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，設(shè)函數(shù)，于是只需滿足即可，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值；（2）存在唯一整數(shù)，使得，即，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為存在唯一一個(gè)整數(shù) 使得函數(shù)圖像在直線下方，于是可以畫出兩個(gè)函數(shù)圖像，結(jié)合圖像進(jìn)行分析，確定函數(shù)在時(shí)圖像之間的關(guān)系，通過(guò)比較斜率大小來(lái)確定的取值范圍.（2）不等式即，令，則， 在上單調(diào)遞增，

15、而，存在實(shí)數(shù)，使得，當(dāng)時(shí)， ， 在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)， ， 在上單調(diào)遞增，.，畫出函數(shù)和的大致圖象如下，的圖象是過(guò)定點(diǎn)的直線，由圖可知若存在唯一整數(shù)，使得成立，則需，而，于是實(shí)數(shù)的取值范圍是考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值；2.函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；3.數(shù)形結(jié)合思想方法.點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)是高考中的高頻考點(diǎn)，同時(shí)也是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的重要銜接.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值，導(dǎo)數(shù)幾何意義等內(nèi)容，使函數(shù)內(nèi)容更加豐富，更加充盈.解題時(shí)，注意函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，另外，還要能夠?qū)?wèn)題進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化，尤其是“恒成立”問(wèn)題和“有解”問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化，可以簡(jiǎn)化解題過(guò)程.還有在求參數(shù)取值范圍時(shí)，可以考慮到分離參數(shù)方法或分類討論的方法，同時(shí)數(shù)形結(jié)合也是解題時(shí)必備的工具.- 15 -