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1、專題16 數(shù)列求和的方法規(guī)律一高考命題類型1.倒序求合法2.裂項(xiàng)求和法3.錯(cuò)位相減求和4.分組求和5.分奇偶數(shù)討論求和6.利用數(shù)列周期性求和7.含有絕對(duì)值的數(shù)列求和二命題陷阱及命題陷阱破解措施1.倒序求和例1. 設(shè)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法，可求得f(5)f(4)f(0)f(5)f(6)的值是_【答案】【方法規(guī)律總結(jié)】：倒序相加法求和，不僅應(yīng)用在等差數(shù)列中，而且在函數(shù)以及組合中也有應(yīng)用。等差數(shù)列中主要利用等差數(shù)列性質(zhì)：若，則；函數(shù)中主要利用對(duì)稱中心性質(zhì)：若關(guān)于對(duì)稱，則；組合中中主要利用組合數(shù)性質(zhì)： 練習(xí)1.已知，數(shù)列滿足，則_【答案】1009【解析】因?yàn)榈膱D象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 的
2、圖象由向上平移個(gè)單位，向右平移個(gè)單位， 故答案為.練習(xí)2.已知函數(shù)為奇函數(shù)， ，若，則數(shù)列的前項(xiàng)和為( ) 【答案】【解析】函數(shù)為奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(,0)對(duì)稱，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(,1)對(duì)稱，數(shù)列的前項(xiàng)之和為，故選：。練習(xí)3. 已知函數(shù)，則的值為 _【答案】2.裂項(xiàng)求和例2. 數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則等于（ ） 【答案】【解析】 選練習(xí)1.數(shù)列的前項(xiàng)的和為（ ） 【答案】【解析】 故數(shù)列的前10項(xiàng)的和為 選。練習(xí)2.在等差數(shù)列中， ，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（ ） 【答案】練習(xí)3. 已知數(shù)列與的前項(xiàng)和分別為， ，且， ， ，若恒成立，則的最小值是( ) 49 【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)
3、， ，解得或.由得.由，得.兩式相減得.所以.因?yàn)椋?即數(shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，所以.所以.所以.要使恒成立，只需.故選.練習(xí)4.已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，若且，設(shè)，則的值是（ ） 【答案】.故選B.練習(xí)5.定義為個(gè)正數(shù)的“均倒數(shù)”，若已知數(shù)列的前項(xiàng)的“均倒數(shù)”為，又，則（ ） 【答案】練習(xí)6.數(shù)列滿足，且對(duì)于任意的都有，則等于（） 【答案】D【解析】由題意可得： ，則：，以上各式相加可得： ，則： ，練習(xí)7.設(shè)數(shù)列滿足，且，若表示不超過的最大整數(shù)，則 ( ) 【答案】解得，則故答案為：練習(xí)8. 已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，令（），記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ） 【答案】【解析】函數(shù)的圖象過
4、點(diǎn)，可得,解得，則，則.故選：.練習(xí)9. 已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且，若，則數(shù)列的前項(xiàng)和_【答案】練習(xí)10.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)為，點(diǎn)， 均在函數(shù)的圖象上.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。（2）設(shè)， 為數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】（1）點(diǎn)在函數(shù)的圖象上， 當(dāng) （2） 練習(xí)11.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若數(shù)列滿足，且，求的前項(xiàng)和.【答案】(1) (2) 【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為， ，所以，解得。練習(xí)12.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若數(shù)列滿足，且，求的前項(xiàng)和.【答案】(1) (2) 3.錯(cuò)位相減求和例3.已知數(shù)列的首項(xiàng)， ， （1）
5、證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1） ， ， ，又， ， 數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列（2）由（1）知，即， 設(shè)， 則， 由得， 又 數(shù)列的前項(xiàng)和 練習(xí)1.已知數(shù)列， ， 為數(shù)列的前項(xiàng)和， ， ， （）（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明為等差數(shù)列；（3）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，令為的前項(xiàng)的和，求.【答案】（1）（2）見解析（3）（3）令 ，得練習(xí)2.已知數(shù)列是首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.（2）由（1）知所以所以兩式相減，得所以練習(xí)3. 已知等差數(shù)列中， ，數(shù)列
6、中， .（1）分別求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）定義， 是的整數(shù)部分， 是的小數(shù)部分，且.記數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1) ;(2) .解析：（1）， ，是首項(xiàng)為 ，公比為的等比數(shù)列，.（2）依題意，當(dāng)時(shí)， ，所以，令，兩式相減，得故.4.分組求和例4. 已知數(shù)列滿足， ， .（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】() ；() .【解析】試題分析：()結(jié)合遞推關(guān)系可得是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，據(jù)此可得通項(xiàng)公式為.()結(jié)合()的結(jié)論有，分鐘求和可得.試題解析：（）由（）可知，故.練習(xí)1.數(shù)列，的前項(xiàng)和為（ ） 【答案】【解析】分組求和： 。本題選擇選項(xiàng).練習(xí)2.數(shù)列的前項(xiàng)和為
7、=（ ） 【答案】故選 練習(xí)3. 已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是，則()A. B. C. D. 【答案】B【解析】=,選B.5.分奇偶數(shù)討論求和【中】6.已知函數(shù)，且，則 ( ) 【答案】【解析】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，則，所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，則，所以.練習(xí)1. 已知在各項(xiàng)為正的數(shù)列中， ， ， ，則_【答案】【解析】因?yàn)?所以 ,即數(shù)列隔項(xiàng)成等比,所以 練習(xí)2. 已知函數(shù)，且，則等于（ ）A. -2014 B. 2014 C. 2019 D. -2019【答案】D【解析】若 是奇數(shù)，則構(gòu)成等差數(shù)列，則公差 則奇數(shù)項(xiàng)的和 若是偶數(shù)，則 則公差 則前1008個(gè)偶數(shù)項(xiàng)和 則 ，故選D練習(xí)3. 已知數(shù)列
8、的前項(xiàng)和為，且,（），若,則數(shù)列的前項(xiàng)和_.【答案】或 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)， ，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)， ，綜上所述 ,故填或.點(diǎn)睛：數(shù)列問題是高考中的重要問題，主要考查等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和，主要利用解方程得思想處理通項(xiàng)公式問題，利用分組求和、裂項(xiàng)相消、錯(cuò)位相減法等方法求數(shù)列的和在利用錯(cuò)位相減求和時(shí)，要注意提高運(yùn)算的準(zhǔn)確性，防止運(yùn)算錯(cuò)誤練習(xí)4. 設(shè)數(shù)列滿足：；所有項(xiàng)； 設(shè)集合，將集合中的元素的最大值記為換句話說， 是數(shù)列中滿足不等式的所有項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)的最大值我們稱數(shù)列為數(shù)列的伴隨數(shù)列例如，數(shù)列1,3,5的伴隨數(shù)列為1,1,2,2,3（1）若數(shù)列的伴隨數(shù)列為1,1,1,2,2,2,3，請(qǐng)寫出數(shù)列；（2）設(shè)
9、，求數(shù)列的伴隨數(shù)列的前100之和；（3）若數(shù)列的前項(xiàng)和（其中常數(shù)），試求數(shù)列的伴隨數(shù)列前項(xiàng)和【答案】（1）1,4,7（2） 見解析（3）試題解析：（1）1,4,7 （2）由，得 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， （3） 當(dāng)時(shí)， 由得： 使得成立的的最大值為， 當(dāng)時(shí)： 當(dāng)時(shí)： 當(dāng)時(shí)： 練習(xí)5. 已知數(shù)列滿足： ， .（1）求；（2）若，記.求.【答案】（1）（2） 試題解析：（1） 是公差為的等差數(shù)列 .（2）由（1）知 ，. 6.利用數(shù)列周期性求和例1.數(shù)列的通項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，則為 【答案】7.含有絕對(duì)值的數(shù)列求和例1.已知數(shù)列中，且滿足（1）求的通項(xiàng)公式（2）設(shè)，求.【答案】(1) 最
10、大為. (2) 【解析】（1），數(shù)列是等差數(shù)列 由知 （2）由（1）可得數(shù)列的前項(xiàng)和為。當(dāng)時(shí)， 。當(dāng)時(shí)， 。綜上。三真題演練1.【2017山東，理19】已知xn是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且x1+x2=3，x3-x2=2（）求數(shù)列xn的通項(xiàng)公式；（）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，依次連接點(diǎn)P1(x1, 1)，P2(x2, 2)Pn+1(xn+1, n+1)得到折線P1 P2Pn+1，求由該折線與直線y=0，所圍成的區(qū)域的面積.【答案】(I)（II）（II）過向軸作垂線，垂足分別為,由(I)得記梯形的面積為.由題意，所以+=+ 又+ -得= 所以【考點(diǎn)】1.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；2.等比數(shù)列的求和
11、；3.“錯(cuò)位相減法”.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式、數(shù)列求和的“錯(cuò)位相減法”.此類題目是數(shù)列問題中的常見題型.本題覆蓋面廣，對(duì)考生計(jì)算能力要求較高.解答本題，布列方程組，確定通項(xiàng)公式是基礎(chǔ)，準(zhǔn)確計(jì)算求和是關(guān)鍵，易錯(cuò)點(diǎn)是在“錯(cuò)位”之后求和時(shí)，弄錯(cuò)等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù).本題將數(shù)列與解析幾何結(jié)合起來，適當(dāng)增大了難度，能較好的考查考生的數(shù)形結(jié)合思想、邏輯思維能力及基本計(jì)算能力等.2.【2017北京，理20】設(shè)和是兩個(gè)等差數(shù)列，記，其中表示這個(gè)數(shù)中最大的數(shù)（）若，求的值，并證明是等差數(shù)列；（）證明：或者對(duì)任意正數(shù)，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，；或者存在正整數(shù)，使得是等差數(shù)列【答案】（）詳見解析；
12、（）詳見解析.【解析】試題分析：（）分別代入求，觀察規(guī)律，再證明當(dāng)時(shí)，所以關(guān)于單調(diào)遞減. 所以，即證明；（）首先求的通項(xiàng)公式，分三種情況討論證明.試題解析：解：（），.當(dāng)時(shí)，所以關(guān)于單調(diào)遞減.所以.所以對(duì)任意，于是，所以是等差數(shù)列.（）設(shè)數(shù)列和的公差分別為，則.所以 當(dāng)時(shí)，取正整數(shù)，則當(dāng)時(shí)，因此.此時(shí)，是等差數(shù)列.當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，此時(shí)，是等差數(shù)列.【考點(diǎn)】1.新定義；2.數(shù)列的綜合應(yīng)用;3.推理與證明.【名師點(diǎn)睛】近年北京卷理科壓軸題一直為新信息題，本題考查學(xué)生對(duì)新定義的理解能力和使用能力，本題屬于偏難問題，反映出學(xué)生對(duì)于新的信息的的理解和接受能力，本題考查數(shù)列的有關(guān)知識(shí)及歸納法證明方法，即考查
13、了數(shù)列（分段形函數(shù)）求值，又考查了歸納法證明和對(duì)數(shù)據(jù)的分析研究，考查了學(xué)生的分析問題能力和邏輯推理能力，本題屬于拔高難題，特別是第二兩步難度較大，適合選拔優(yōu)秀學(xué)生.3.【2017天津，理18】已知為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為，是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，,，.（）求和的通項(xiàng)公式；（）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】 （1）.（2）.【解析】試題分析：根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式列方程求出等差數(shù)列首項(xiàng)和公差及等比數(shù)列的公比，寫出等差數(shù)列和等比孰劣的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的和，要求計(jì)算要準(zhǔn)確.（II）解：設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，由，有，故，上述兩式相減，得 得.所以，數(shù)列的前項(xiàng)和為.
14、【考點(diǎn)】等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和【名師點(diǎn)睛】利用等差數(shù)列和等比數(shù)列通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式列方程組求數(shù)列的首項(xiàng)和公差或公比，進(jìn)而寫出通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式，這是等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本要求，數(shù)列求和方法有倒序相加法，錯(cuò)位相減法，裂項(xiàng)相消法和分組求和法等，本題考查錯(cuò)位相減法求和.4.【2017浙江，22】（本題滿分15分）已知數(shù)列xn滿足：x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)（）證明：當(dāng)時(shí)，（）0xn+1xn；（）2xn+1 xn；（）xn【答案】（）見解析；（）見解析；（）見解析【解析】試題解析：（）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=1時(shí)，x1=10假設(shè)n=k時(shí)，xk0，那么n=k+1時(shí)，若，則
15、，矛盾，故 因此，所以，因此（）由得記函數(shù)函數(shù)f(x)在0，+）上單調(diào)遞增，所以=0，因此，（）因?yàn)?，所以得，故，【考點(diǎn)】不等式證明【名師點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的概念、遞推關(guān)系與單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，不等式及其應(yīng)用，同時(shí)考查推理論證能力、分析問題和解決問題的能力，屬于難題本題主要應(yīng)用：（1）數(shù)學(xué)歸納法證明不等式；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式；（3）由遞推關(guān)系證明5.【2017江蘇，19】 對(duì)于給定的正整數(shù),若數(shù)列滿足 對(duì)任意正整數(shù)總成立，則稱數(shù)列是“數(shù)列”. （1）證明：等差數(shù)列是“數(shù)列”; （2）若數(shù)列既是“數(shù)列”，又是“數(shù)列”，證明：是等差數(shù)列.【答案】（1）見解析（2）見解析（
16、2）數(shù)列既是“數(shù)列”，又是“數(shù)列”，因此，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.由知，將代入，得，其中，所以是等差數(shù)列，設(shè)其公差為.在中，取，則，所以，在中，取，則，所以，所以數(shù)列是等差數(shù)列.【考點(diǎn)】等差數(shù)列定義及通項(xiàng)公式【名師點(diǎn)睛】證明為等差數(shù)列的方法：(1)用定義證明：為常數(shù)）；(2)用等差中項(xiàng)證明：；(3)通項(xiàng)法： 為的一次函數(shù)；(4)前項(xiàng)和法： 6. 【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且記，其中表示不超過的最大整數(shù)，如（）求；（）求數(shù)列的前1 000項(xiàng)和【答案】（）， ；（）1893.【解析】試題分析：（）先用等差數(shù)列的求和公式求公差，從而求得通項(xiàng)，再根據(jù)已知條件表示不超過的最大整數(shù)，求；（）對(duì)
17、分類討論，再用分段函數(shù)表示，再求數(shù)列的前1 000項(xiàng)和試題解析：（）設(shè)的公差為，據(jù)已知有，解得所以的通項(xiàng)公式為（）因?yàn)樗詳?shù)列的前項(xiàng)和為考點(diǎn)：等差數(shù)列的的性質(zhì)，前項(xiàng)和公式，對(duì)數(shù)的運(yùn)算.考點(diǎn)定位：本題考查新定義信息題，考查學(xué)生對(duì)新定義的理解能力和使用能力?！久麕燑c(diǎn)睛】本題考查學(xué)生對(duì)新定義的理解能力和使用能力，本題屬于偏難問題，反映出學(xué)生對(duì)于新的信息的的理解和接受能力，題目給出新的定義：an是由非負(fù)整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前n項(xiàng)的最大值記為An，第n項(xiàng)之后各項(xiàng)an1，an2，的最小值記為Bn，dnAnBn ,對(duì)于數(shù)列an給出這樣一個(gè)新的定義，首先要理解定義，題目的第一步，前一項(xiàng)的最大值為2，第一項(xiàng)后面的項(xiàng)的最小值為1，即，則，同理求出，通過第一步的計(jì)算應(yīng)用新定義，加深對(duì)定義的認(rèn)識(shí)進(jìn)入第二步就容易一些了，第二步證明充要條件、第三步的證明就是在第一步的基礎(chǔ)上的深化研究，畢竟是一個(gè)新的信息題，在一個(gè)全新的環(huán)境下進(jìn)行思維，需要在原有的知識(shí)儲(chǔ)備，還需要嚴(yán)密的邏輯思維和分析問題與解決問題的能力，有得分的機(jī)會(huì)，但得滿分較難.30
2018年高考數(shù)學(xué) 破解命題陷阱 專題16 數(shù)列求和的方法規(guī)律
