2018年高考數(shù)學(xué) 100題系列 第12題 函數(shù)的周期性與對(duì)稱性 文

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1、 第12題 函數(shù)的周期性與對(duì)稱性 I．題源探究·黃金母題 【例1】容易知道，正弦函數(shù)y=sinx是奇函數(shù)，正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即原點(diǎn)是正弦曲線的對(duì)稱中心．除原點(diǎn)外，正弦曲線還有其他對(duì)稱中心嗎?其坐標(biāo)是?正弦曲線是軸對(duì)稱圖形嗎?如果是，對(duì)稱軸的方程是? 你能用已學(xué)過的正弦函數(shù)性質(zhì)解釋上述現(xiàn)象嗎? 對(duì)于弦函數(shù)和正切函數(shù)，討論上述同樣的問題． 【解析】由周期函數(shù)的性質(zhì)知，T=2π 所以對(duì)稱中心為，正弦曲線是軸對(duì)稱圖形 同樣由周期函數(shù)的性質(zhì)知 其對(duì)稱軸方程緯．對(duì)于余弦函數(shù)同樣有類似的性質(zhì)，因?yàn)閏osA=sin(A+) 所以對(duì)稱中心為，余弦曲線是軸對(duì)稱圖形 同樣由周期函數(shù)的性質(zhì)知 X=

2、Kπ(K為整數(shù)) ．正切函數(shù)同樣有類似的性質(zhì)，對(duì)稱中心為(kπ/2，0)(K為整數(shù))但不是軸對(duì)稱圖形，而是中心對(duì)稱圖形． 精彩解讀 【試題來源】人教版A版必修四第46頁A組第11題 【母題評(píng)析】本題以正弦函數(shù)是奇函數(shù)為依據(jù)，讓你去探索正弦函數(shù)有沒有對(duì)稱中心、對(duì)稱軸，然后類比正弦函數(shù)，在去探索總結(jié)余弦函數(shù)、正切函數(shù)的對(duì)稱性，此題的結(jié)論也是高考?？嫉闹R(shí)點(diǎn)． 【思路方法】以舊探新是一種重要的學(xué)習(xí)、解題方法，這種類比推理思想是近幾年高考試題常常采用的命題形式． 【例2】已知函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，試回答下列問題： （1）求函數(shù)的周期； （2）畫出函數(shù)y＝f(x＋1)的圖

3、象； （3）你能寫出函數(shù)y＝f(x)的解析式嗎？ 考點(diǎn)：函數(shù)的圖象，函數(shù)解析式的求解及常用方法 【解析】（1）從圖象得知，x從0變化到1，函數(shù)經(jīng)歷個(gè)周期，即，故函數(shù)的周期T=2； （2）函數(shù)y=f（x+1）的圖象可由函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移1個(gè)單位得到，因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x）的圖象過點(diǎn)（0，0）、點(diǎn)（1，1）所以y=f（x+1）的圖象經(jīng)過（-1，0）、點(diǎn)（0，1），再根據(jù)函數(shù)為周期函數(shù)畫出圖象： （3） 當(dāng)-1≤x＜0時(shí)，f（x）=-x， 當(dāng)0≤x＜1時(shí)，f（x）=x； 當(dāng)2n-1≤x＜2n時(shí)，f（x）=f（x-2n）=-（x-2n）=2n-x， 當(dāng)2n

4、≤x＜2n+1時(shí)，f（x）=f（x-2n）=x-2n， ∴（n為整數(shù)） 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的圖象的變換，及求函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題． 【試題來源】人教版A版必修四第47頁B組第3題 【母題評(píng)析】本題以y＝f(x)的圖象為載體，考查函數(shù)周期的求法、函數(shù)圖像的平移及由圖定式（根據(jù)圖像求解析式）問題，此類問題是高考?？嫉念}型之一． 【思路方法】數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)中常用的解題思想之一，特別是在解決函數(shù)問題中起著舉足輕重中的作用，因此，通常說“解決函數(shù)問題，數(shù)形結(jié)合你準(zhǔn)備好了嗎？”． II．考場(chǎng)精彩·真題回放 【例1】【2017高考新課標(biāo)I卷】已知函數(shù)，則

5、 （ ） A．在（0，2）單調(diào)遞增 B．在（0，2）單調(diào)遞減 C．y=的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱 D．y=的圖像關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱 【答案】C 【解析】由題意知，，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，C正確，D錯(cuò)誤；又（），在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，A，B錯(cuò)誤，故選C． 【例2】【2017高考山東卷】已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x+4)=f(x-2)．若當(dāng) 時(shí)，，則f(919)= ． 【答案】 【解析】由f(x+4)=f(x-2)可知，是周期函數(shù)，且，所以 ．

6、【例3】【2017江蘇高考14】設(shè)是定義在且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間上， 其中集合，則方程的解的個(gè)數(shù)是 ▲ ． 【答案】8 【解析】解法一：由于則需考慮的情況，在此范圍內(nèi)，時(shí)，設(shè) ，且 互質(zhì)．若 ，則由 ，可設(shè) ，且 互質(zhì)．因此 ，則 ，此時(shí)左邊為整數(shù)，右邊非整數(shù)，矛盾，因此．因此 不可能與每個(gè)周期內(nèi)對(duì)應(yīng)的部分相等， 只需考慮與每個(gè)周期的部分的交點(diǎn)，畫出函數(shù)圖象，圖中交點(diǎn)除外其它交點(diǎn)橫坐標(biāo)均為無理數(shù)，屬于每個(gè)周期的部分，且處，則在附近僅有一個(gè)交點(diǎn)，一次方程解的個(gè)數(shù)為8． 解法二：是有理數(shù)集，∴自變量，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都為有理數(shù)，且在函數(shù)上對(duì)應(yīng)的空心點(diǎn)函數(shù)值也為有理數(shù)，令等于這些

7、函數(shù)值與空心點(diǎn)函數(shù)值所求得在區(qū)間內(nèi)皆為無理數(shù)，故 不能與函數(shù)上所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值及空心點(diǎn)函數(shù)值相交，故答案為8 個(gè)． 【例4】【2016年高考山東卷】已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽．，當(dāng)x<0時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)，；當(dāng) 時(shí)， ．則f(6)= （ ） （A）?2 （B）?1 （C）0 （D）2 【答案】D 【解析】當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)是周期為 的周期函數(shù)，所以，又函數(shù)是奇函數(shù)，所以，故選D． 【例5】【2016高考新課標(biāo)1卷】已知 為的零點(diǎn)，為 圖像的對(duì)稱軸，且在單調(diào)，則 的最大值為( ) （A）11????????（B）9?????（C）7????

8、????（D）5 【答案】B 【解析】因?yàn)闉榈牧泓c(diǎn)，為圖像的對(duì)稱軸，所以，即 ，所以，又因?yàn)樵趩握{(diào)，所以，即，由此的最大值為9．故選B． 【例6】【2016高考浙江卷】設(shè)函數(shù) ，則的最小正周期（ ） A．與b有關(guān)，且與c有關(guān) B．與b有關(guān)，但與c無關(guān) C．與b無關(guān)，且與c無關(guān) D．與b無關(guān)，但與c有關(guān) 【答案】B 【解析】 ，其中當(dāng)時(shí)，，此時(shí)周期是；當(dāng)時(shí)，周期為，而不影響周期．故選B． 【例7】【2016高考江蘇卷】設(shè)是定義在上且周 期為2的函數(shù)，在區(qū)間上， (，若 ，則的值是 ． 【答案】

9、 【解析】 ，因此 【命題意圖】本類題通常主要考查函數(shù)的概念、函數(shù)的奇偶性與周期性，是高考?？贾R(shí)內(nèi)容．本題具備一定難度．解答此類問題，關(guān)鍵在于利用分段函數(shù)的概念，發(fā)現(xiàn)周期函數(shù)特征，進(jìn)行函數(shù)值的轉(zhuǎn)化．本題能較好的考查考生分析問題解決問題的能力、基本計(jì)算能力等． 【考試方向】這類試題包括確定函數(shù)周期性、對(duì)稱性、利用周期性求解析式或函數(shù)值、利用對(duì)稱性進(jìn)行圖像變換，都是高考的熱點(diǎn)及重點(diǎn)．常與函數(shù)的圖象及其他性質(zhì)交匯命題．題型多以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，函數(shù)的周期性、對(duì)稱性常與函數(shù)的其他性質(zhì)，如與單調(diào)性、奇偶性相結(jié)合求函數(shù)值或參數(shù)的取值范圍．備考時(shí)應(yīng)加強(qiáng)對(duì)這部分內(nèi)容的訓(xùn)練． 【難點(diǎn)中心】對(duì)于函

10、數(shù)性質(zhì)的考查，一般不會(huì)單純地考查某一個(gè)性質(zhì)，而是對(duì)奇偶性、周期性、單調(diào)性的綜合考查，主要考查學(xué)生的綜合能力、創(chuàng)新能力、數(shù)形結(jié)合的能力．這就要求學(xué)生對(duì)函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性三者之間的關(guān)系了如指掌，并能靈活運(yùn)用． 分段函數(shù)的考查方向注重對(duì)應(yīng)性，即必須明確不同的自變量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是什么．函數(shù)周期性質(zhì)可以將未知區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上．解決此類問題時(shí)，要注意區(qū)間端點(diǎn)是否取到及其所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，尤其是分段函數(shù)結(jié)合點(diǎn)處函數(shù)值． III．理論基礎(chǔ)·解題原理 考點(diǎn)一 函數(shù)的周期性 1．周期性：對(duì)任意的，都有，則叫做函數(shù)的周期． ①若，周期； ②若（相反），周期； ③若(

11、)（互倒），周期； ④若()（反倒），周期； ⑤若，周期； ⑥若，周期． 考點(diǎn)二 函數(shù)的稱性 1．一個(gè)函數(shù)的對(duì)稱關(guān)系：若函數(shù)滿足，則關(guān)于直線對(duì)稱，若函數(shù)滿足，則關(guān)于直線對(duì)稱． 2．兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱關(guān)系： 函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱；（巧記：相等求） 函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；（巧記：相等求） 考點(diǎn)三 周期與對(duì)稱的關(guān)系： 1．若的圖像有兩條對(duì)稱軸和()，則為周期函數(shù)，為一個(gè)周期．（告知周期和其中一條對(duì)稱軸，可以寫出其他相鄰的對(duì)稱軸．） 2．若的圖像有兩個(gè)對(duì)稱中心和 ()，則為周期函數(shù)，為一個(gè)周期．（告知周期和其中一個(gè)對(duì)稱中心，可以寫出其他相鄰的對(duì)稱中心．） 3．

12、若的圖像有一條對(duì)稱軸和一個(gè)對(duì)稱中心 ()，則為周期函數(shù)，為一個(gè)周期． 考點(diǎn)四、如何計(jì)算一般形式的周期和對(duì)稱： 若()，則；（巧記：消去） 若，則的圖像關(guān)于直線對(duì)稱；（巧記：消去，相加除2） 若，則的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；（巧記：消去，相加除2） 若，則的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．（巧記：消去，相加除2，除2） IV．題型攻略·深度挖掘 【考試方向】 這類試題包括確定函數(shù)周期性、對(duì)稱性、利用周期性求解析式或函數(shù)值、利用對(duì)稱性進(jìn)行圖像變換，都是高考的熱點(diǎn)及重點(diǎn)．常與函數(shù)的圖象及其他性質(zhì)交匯命題．題型多以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，函數(shù)的周期性、對(duì)稱性常與函數(shù)的其他性質(zhì)，如與單調(diào)性、奇偶性相結(jié)合求函數(shù)值

13、或參數(shù)的取值范圍．備考時(shí)應(yīng)加強(qiáng)對(duì)這部分內(nèi)容的訓(xùn)練． 【技能方法】 解決此類問題一般會(huì)在周期上設(shè)置障礙，要通過周期的定義或有關(guān)結(jié)論算出已知函數(shù)的周期，再進(jìn)行求值等相關(guān)運(yùn)算，若是抽象函數(shù)，要求能夠熟練運(yùn)用賦值法．函數(shù)對(duì)稱性、周期性的考察，往往以三角函數(shù)為載體，考察其周期、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心的求解，此類問題一般會(huì)在解析式上設(shè)置障礙，要求先對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)變形，變形的過程就考察了三角函數(shù)的有關(guān)公式，化簡(jiǎn)常常借助輔助角公式把原函數(shù)解析式化為單一函數(shù)． 【易錯(cuò)指導(dǎo)】 （1）如果對(duì)于函數(shù)定義域中的任意，滿足，則得函數(shù)的周期是； （2） 如果對(duì)于函數(shù)定義域中的任意，滿足，則得函數(shù)的對(duì)稱軸是． V．舉

14、一反三·觸類旁通 考向1 函數(shù)周期性 【例1】【2018屆江蘇常州橫林高級(jí)中學(xué)月考】定義在上的函數(shù)滿足: ，當(dāng)時(shí)， ，則=________． 【答案】 【例2】設(shè)定義在上的函數(shù)滿足，若，則． 【答案】 【例3】設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[－1，1]上， 其中a，b∈R．若，則a＋3b的值為________． 【正解】因?yàn)閒(x)的周期為2，所以，即．又因?yàn)? ，所以．整理，得．① 又因?yàn)閒(－1)＝f（1），所以，即b＝－2a． ② 將②代入①，得a＝2，b＝－4．所以a＋3b＝2＋3×(－4)＝－10．

15、 【跟蹤練習(xí)】 1．x為實(shí)數(shù)，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則函數(shù)f(x)＝x－[x]在R上為(　　) A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．增函數(shù) D．周期函數(shù) 【答案】D 【解析】由圖象可知選D． 2．設(shè)f(x)是以2為周期的函數(shù)，且當(dāng)x∈[1，3)時(shí)，f(x)＝x－2，則f(－1)＝__________． 【答案】－1 【解析】因?yàn)門＝2，則f(x)＝f(x＋2)，又f(－1)＝f(－1＋2)＝f（1），因?yàn)閤∈[1，3)時(shí)，f(x)＝x－2，所以f(－1)＝f（1）＝1－2＝－1． 3．設(shè)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則 ． 【答案】1 【解析】

16、． 考向2 周期性與奇偶性相結(jié)合 【例4】已知是上的奇函數(shù)，對(duì)都有成立，若，則等于（ ） A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．2013 【答案】A 【例5】【2016年高考四川卷】已知函數(shù)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，，則= ． 【答案】 【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上周期為2的奇函數(shù)，所以，，即，． 【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，周期性，屬于基本題，在求值時(shí)，只要把和，利用奇偶性與周期性化為上的函數(shù)值即可． 【跟蹤練習(xí)】 已知定義在上的奇函數(shù)， 滿足，則的值為__________． 【答案

17、】0 【解析】∵是定義在上的奇函數(shù)，∴ 又滿足，∴的周期為2，∴． 考向2 對(duì)稱性與單調(diào)性相結(jié)合 【例6】【2018河北衡水模擬】定義在上的函數(shù)對(duì)任意都有，且函數(shù)的圖象關(guān)于（1，0）成中心對(duì)稱，若滿足不等式，則當(dāng)時(shí)，的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【例7】下列函數(shù)中，其圖象既是軸對(duì)稱圖形又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是 （ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】D． 【解析】對(duì)于，函數(shù)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且在和上單調(diào)遞減；對(duì)于，函數(shù)是關(guān)于軸對(duì)稱且在上單調(diào)遞減；對(duì)于，函數(shù)無對(duì)稱

18、性且在上單調(diào)遞增；對(duì)于，函數(shù)是關(guān)于對(duì)稱且在上單調(diào)遞增；故選． 【跟蹤練習(xí)】 1．【2018海南模擬】已知函數(shù)的圖像上關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)至少有對(duì)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 2．已知定義在R上的函數(shù)滿足條件；①對(duì)任意的，都有；②對(duì)任意的；③函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．則下列結(jié)論正確的是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，得，又， 所以，， ，由題意，在上是增函數(shù)，所以．故選D 3．已知是定義在上的偶函數(shù)，且，若在上單調(diào)遞減，則在上是 ( ) A

19、．增函數(shù) B．減函數(shù) C．先增后減的函數(shù) D．先減后增的函數(shù) 【答案】D 考向3 周期性與命題的判斷相結(jié)合 【例8】【2016高考上海卷】設(shè)、、是定義域?yàn)榈娜齻€(gè)函數(shù)，對(duì)于命題：①若、、均為增函數(shù)，則、、中至少有一個(gè)增函數(shù)；②若、、均是以為周期的函數(shù)，則、、均是以為周期的函數(shù)，下列判斷正確的是（ ） ．①和②均為真命題 ．①和②均為假命題 ．①為真命題，②為假命題 ．①為假命題，②為真命題 【答案】D 【解析】①不成立，可舉反例，， ② 前兩式作差，可得，結(jié)合第三式，可得， 也有，∴②正確，故選D． 【名師點(diǎn)睛】本題

20、主要考查抽象函數(shù)下函數(shù)的單調(diào)性與周期性，是高考?？贾R(shí)內(nèi)容．本題具備一定難度．解答此類問題，關(guān)鍵在于靈活選擇方法，如結(jié)合選項(xiàng)應(yīng)用“排除法”，通過舉反例應(yīng)用“排除法”等． 本題能較好的考查考生分析問題解決問題的能力、基本計(jì)算能力等． 【跟蹤練習(xí)】 1．【2018河北邯鄲模擬】已知為定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有，且當(dāng)時(shí)，，給出下列命題：①；②函數(shù)在定義域上是周期為2的函數(shù)；③直線與函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)；④函數(shù)的值域?yàn)椋渲姓_的是（ ） A．①② B．②③ C．①④ D．①②③④ 【答案】C 【綜合點(diǎn)評(píng)】充分利用周期函

21、數(shù)的定義將所求函數(shù)值的問題轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間的求值問題是解題關(guān)鍵． 2．已知實(shí)數(shù)，對(duì)于定義在上的函數(shù)，有下述命題： ①“是奇函數(shù)”的充要條件是“函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱”； ②“是偶函數(shù)”的充要條件是“函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱”； ③“是的一個(gè)周期”的充要條件是“對(duì)任意的，都有”； ④ “函數(shù)與的圖像關(guān)于軸對(duì)稱”的充要條件是“” 其中正確命題的序號(hào)是 A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】A 【解析】本題考查函數(shù)的奇偶性、周期性與函數(shù)圖象的對(duì)稱性，函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，而的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱與函數(shù)的圖象關(guān)于

22、點(diǎn)對(duì)稱是等價(jià)的，故①正確，同理②也是正確的，那么本題只能選A了，對(duì)于③，我們知道函數(shù)滿足“對(duì)任意的，都有”時(shí)，是周期為的周期函數(shù)，但反過來一一定成立，如滿足“對(duì)任意的，都有”時(shí)，也是周期為的周期函數(shù)，③錯(cuò)誤，而函數(shù)與函數(shù)的圖象是關(guān)于直線對(duì)稱，而還是軸，故④錯(cuò)誤． 考向4 奇偶性、周期性與單調(diào)性 【例9】【2018海南模擬】已知函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，且周期為2，當(dāng)時(shí)，，則（ ） A．0 B． C． D．1 【答案】B 【解析】由題意可得，故選B． 【例10】【2018黑龍江大慶

23、模擬】若偶函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，且在上為單調(diào)遞減函數(shù)，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【跟蹤練習(xí)】 1．【2018浙江聯(lián)考】定義在上的偶函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞增，設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得函數(shù)的周期為2；由為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增可得，函數(shù)在上單調(diào)遞減．而，所以；因?yàn)?，而，所以，因?yàn)?，而，所以? 綜上，即．故選C． 2．【2017安徽亳州二中質(zhì)檢】已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足下列三個(gè)條件： ①對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，都有； ②

24、； ③是偶函數(shù)； 若， ， ，則的大小關(guān)系正確的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 考向5 周期性、對(duì)稱性與單調(diào)性 【例11】【2018呼倫貝爾模擬】已知函數(shù)滿足，關(guān)于軸對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論中正確的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵關(guān)于y軸對(duì)稱，∴是以4為周期的周期函數(shù)，其圖象的對(duì)稱軸為，∵當(dāng)時(shí)，，∴在區(qū)間是增函數(shù)；∴ ，∵，且函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，∴，即，故選：A． 【跟蹤練習(xí)】 1．【2018浙江寧波模擬】設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且是奇函?shù)，是偶函數(shù)，設(shè)，則下列結(jié)論中正確的

25、是（ ） A．關(guān)于對(duì)稱 B．關(guān)于對(duì)稱 C．關(guān)于對(duì)稱 D．關(guān)于對(duì)稱 【答案】C 2．已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，對(duì)任意x∈R都有f(x＋4)＝f(x)＋2f（2），若函數(shù)f(x－1)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，且f（1）＝2，則f(2011)等于(　　) A．2 B．3 C．－2 D．－3 【答案】A 【解析】是偶函數(shù)，所以f（2）＝f(－2)，在f(x＋4)＝f(x)＋2f（2）中，令x＝－2得f（2）＝f(－2)＋2f（2），所以f（2）＝0，于是f(x＋4)＝f(x)，即函數(shù)f(x)的周期等于4，于是f(2011)＝f(－1)＝f（1）＝2，故選A

26、． 3．已知函數(shù)與的定義域?yàn)?，有下?個(gè)命題： ①若，則的圖象自身關(guān)于直線軸對(duì)稱； ②與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱； ③函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱； ④為奇函數(shù)，且圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則周期為2； ⑤為偶函數(shù)， 為奇函數(shù)，且，則周期為2． 其中正確命題的序號(hào)是____________． 【答案】①②③④ 對(duì)于③，設(shè)F(x)=f(x+2)，則f(2?x)=F(?x)，由于F(x)與F(?x)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱， 所以函數(shù)y=f(x+2)與y=f(2?x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，得③正確； 對(duì)于④，因?yàn)閒(x)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以f(?x)=f(1+x)， 結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù)，得f(?x)

27、=?f(x)，故f(x+1)=?f(x) 由此可得f(x+2)=?f(x+1)=f(x)，得f(x)是周期為2的周期函數(shù)，故④正確； 對(duì)于⑤，f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，且g(x)=f(x?1)， 則由于g(x)+g(?x)=0，得f(x?1)+f(?x?1)=0， 又因?yàn)閒(?x?1)=f(x+1)，所以f(x?1)+f(x+1)=0， 由此可證出f(x+4)=f(x)，得f(x)是周期為4的周期函數(shù)，故⑤不正確 故答案為：①②③④ 考向6 三角函數(shù)與對(duì)稱性、周期性相結(jié)合 【例12】【2018湖北咸寧模擬】若函數(shù)的最大值為3，其圖像相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，則＝_

28、_______________； 【答案】3 【解析】∵函數(shù)f（x）的最大值為3，∴A+1=3，即A=2；∵函數(shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，即，∴最小正周期T=π，∴ω=2，∴函數(shù)f（x）的解析式為：y=2sin（2x-）+1； ． 【例13】【2017江蘇無錫模擬】將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則的最小值是 【答案】 【解析】，所以向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后變換為，由題意得因此的最小值是 【跟蹤練習(xí)】 【2015高考天津卷文】已知函數(shù)，，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，且函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則的值為 ． 解法二：由

29、在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增可得，當(dāng)時(shí)， 恒成立，由，可得，且，解得，又函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，且函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，所以是的最大值，，由可得， 考向7 周期性、對(duì)稱性與函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根及函數(shù)圖象的交點(diǎn) 【例14】【2018河南豫南九校之間】定義在上的函數(shù)，滿足，且，若，則方程在區(qū)間上所有實(shí)根之和為（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 又∵關(guān)于(2，2)中心對(duì)稱，故方程f(x)=g(x)在區(qū)間[?1，5]上的根就是函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，共有三個(gè)交點(diǎn)，自左向右橫坐標(biāo)分別為，，，其中和關(guān)于(2，2)中心對(duì)稱，∴+=4，=1

30、，故+=5，故選C． 【例15】【2017湖南瀏陽一中6月考】已知定義在上的偶函數(shù)滿足：時(shí)，，且，若方程恰好有12個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 （ ） A．(5，6) B．(6，8) C．(7，8) D．(10，12) 【答案】B 【解析】 時(shí)，， ，故 在[0，1]上單調(diào)遞增，且 ，由 可知函數(shù) 是周期為2的周期函數(shù)，而函數(shù) 與 都是偶函數(shù)，畫出它們的部分圖象如圖所示，根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性可知，只需這兩個(gè)函數(shù)在 有6個(gè)不同交點(diǎn)，顯然 ，結(jié)合圖象可得 ，即 ，故 ，故選B． 【例16】已知周期函

31、數(shù)的定義域?yàn)?，周期?，且當(dāng)時(shí)，．若直線與曲線恰有2個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的所有可能取值構(gòu)成的集合為(　　) A．或 B．或 C．或 D． 【答案】C 【綜合點(diǎn)評(píng)】函數(shù)周期性的應(yīng)用主要有兩個(gè)方面，其一是求函數(shù)值，理論依據(jù)是周期性的定義，通過加減周期的整數(shù)倍，使得自變量變到適合已知解析式的范圍內(nèi)，進(jìn)而求值；其二是利用周期函數(shù)圖象重復(fù)出現(xiàn)的特征，先畫出一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)圖象，然后依次向左向右平移周期的整數(shù)倍即得整個(gè)定義域內(nèi)的函數(shù)圖象． 【例17】【2016高考新課標(biāo)II卷】已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與圖像的交點(diǎn)為則（ ） （A）0 （B）

32、 （C） （D） 【答案】C 【解析】由于，不妨設(shè)，與函數(shù)的交點(diǎn)為，故，故選C． 【跟蹤練習(xí)】 1．若f(x)是定義在R上以3為周期的偶函數(shù)，且f（2）＝0，則方程f(x)＝0在區(qū)間(0，6)內(nèi)解的個(gè)數(shù)至少是(　　) A．1 B．4 C．3 D．2 【答案】B 2．奇函數(shù)f(x)定義在R上，且對(duì)常數(shù)T＞0，恒有f(x＋T)＝f(x)，則在區(qū)間[0，2T]上，方程f(x)＝0根的個(gè)數(shù)至少有

33、 (　　) A．3個(gè)　　　 B．4個(gè)　　　 C．5個(gè)　　　 D．6個(gè) 【錯(cuò)解】由f(x)是R上的奇函數(shù)，得f(0)＝0x1＝0．再由f(x＋T)＝f(x)得f(2T)＝f(T)＝f(0)＝0x2＝T，x3＝2T．即在區(qū)間[0，2T]上，方程f(x)＝0根的個(gè)數(shù)最小值為3個(gè)． 【剖析】本題的抽象函數(shù)是奇函數(shù)與周期函數(shù)的交匯．即……①……②解時(shí)要把抽象性質(zhì)用足，不僅要充分利用各個(gè)函數(shù)方程，還要注意方程①和②互動(dòng)． 3．已知，方程在［0，1］內(nèi)有且只有一個(gè)根，則在區(qū)間內(nèi)根的個(gè)數(shù)為（ ） A．2011 B．1006 C．2013 D．1007 【答案】C 4．函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)， ，若方程（）恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由題意可得周期為T=2，原方程可變形為，則為y=f(x)與y=a（x+1）（）曲線交點(diǎn)恰有三個(gè)．由圖可知斜率k=a，選A． 23