高考數(shù)學 17-18版 附加題部分 第3章 第66課 課時分層訓練10

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1、 課時分層訓練(十) A組 基礎(chǔ)達標 (建議用時:30分鐘) 1.拋物線的頂點在原點,對稱軸為y軸,它與圓x2+y2=9相交,公共弦MN的長為2,求該拋物線的方程,并寫出它的焦點坐標與準線方程. [解] 由題意,設(shè)拋物線方程為x2=2ay(a≠0). 設(shè)公共弦MN交y軸于A,則MA=AN, 且AN=. ∵ON=3,∴OA==2, ∴N(,±2). ∵N點在拋物線上,∴5=2a·(±2),即2a=±, 故拋物線的方程為x2=y(tǒng)或x2=-y. 拋物線x2=y(tǒng)的焦點坐標為, 準線方程為y=-. 拋物線x2=-y的焦點坐標為, 準線方程為y=. 2.已知拋物線y2=2p

2、x(p>0),過點C(-2,0)的直線l交拋物線于A,B兩點,坐標原點為O,·=12. (1)求拋物線的方程; (2)當以AB為直徑的圓與y軸相切時,求直線l的方程. [解] (1)設(shè)l:x=my-2,代入y2=2px中, 得y2-2pmy+4p=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=2pm,y1y2=4p, 則x1x2==4, 因為·=x1x2+y1y2=4+4p=12,可得p=2, 則拋物線的方程為y2=4x. (2)由(1)知y2=4x,p=2,可知y1+y2=4m,y1y2=8. 設(shè)AB的中點為M, 則AB=2xM=x1+x2=m(y1+y2)

3、-4=4m2-4.① 又AB=|y1-y2|=.② 由①②得(1+m2)(16m2-32)=(4m2-4)2, 解得m2=3,m=±, 所以直線l的方程為x+y+2=0或x-y+2=0. 3.(2017·徐州模擬)在平面直角坐標系xOy中,設(shè)點F,直線l:x=-,點P在直線l上移動,R是線段PF與y軸的交點,RQ⊥FP,PQ⊥l. (1)求動點Q的軌跡方程C; (2)設(shè)圓M過A(1,0),且圓心M在曲線C上,TS是圓M在y軸上截得的弦,當M運動時,弦長TS是否為定值?請說明理由. 【導(dǎo)學號:62172352】 [解] (1)依題意知,點R是線段FP的中點,且RQ⊥FP, 所以

4、RQ是線段FP的垂直平分線. 因為|PQ|是點Q到直線l的距離.點Q在線段FP的垂直平分線上,所以PQ=QF. 故動點Q的軌跡是以F為焦點,l為準線的拋物線,其方程為y2=2x(x>0). (2)弦長TS為定值.理由如下:取曲線C上一點M(x0,y0),M到y(tǒng)軸的距離為d=|x0|=x0, 圓的半徑r=MA=, 則TS=2 =2, 因為點M在曲線C上,所以x0=, 所以TS=2=2,是定值. 4.(2017·蘇北四市摸底)已知拋物線C:x2=2py(p>0)過點(2,1),直線l過點P(0,-1)與拋物線C交于A,B兩點.點A關(guān)于y軸的對稱點為A′,連結(jié)A′B. 圖66

5、-3 (1)求拋物線C的標準方程; (2)問直線A′B是否過定點?若是,求出定點坐標;若不是,請說明理由. [解] (1)將點(2,1)代入拋物線C:x2=2py的方程得,p=2. 所以,拋物線C的標準方程為x2=4y. (2)設(shè)直線l的方程為y=kx-1,又設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則A′(-x1,y1). 由得x2-4kx+4=0. 則Δ=16k2-16>0,x1·x2=4,x1+x2=4k. 所以kA′B===. 于是直線A′B的方程為y-=(x-x2). 所以y=(x-x2)+=x+1. 當x=0時,y=1, 所以直線A′B過定點(0,1). B組

6、 能力提升 (建議用時:15分鐘) 1.(2017·泰州模擬)如圖66-4,拋物線關(guān)于y軸對稱,它的頂點在坐標原點,點P(2,1),A(x1,y1),B(x2,y2)均在拋物線上. 圖66-4 (1)求拋物線的方程; (2)若∠APB的平分線垂直于y軸,求證:直線AB的斜率為定值. 【導(dǎo)學號:62172353】 [解] (1)由已知條件可設(shè)拋物線的方程為x2=2py(p>0). 因為點P(2,1)在拋物線上, 所以22=2p·1,解得p=2, 故所求拋物線的方程是x2=4y. (2)由題知kAP+kBP=0, 所以+=0, 所以+=0, 所以+=0, 所以x

7、1+x2=-4, 所以kAB====-1,所以直線AB的斜率為定值. 2.拋物線y2=4x的焦點為F,過點F的直線交拋物線于A,B兩點. (1)若=2 ,求直線AB的斜率; (2)設(shè)點M在線段AB上運動,原點O關(guān)于點M的對稱點為C,求四邊形OACB面積的最小值. [解] (1)依題意知F(1,0),設(shè)直線AB的方程為x=my+1. 將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立,消去x得 y2-4my-4=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),所以y1+y2=4m,y1y2=-4. 因為=2 ,所以y1=-2y2. 聯(lián)立上述三式,消去y1,y2得m=±. 所以直線AB的斜率是±

8、2. (2)由點C與原點O關(guān)于點M對稱,得M是線段OC的中點, 從而點O與點C到直線AB的距離相等, 所以四邊形OACB的面積等于2S△AOB. 因為2S△AOB=2×·OF·|y1-y2| ==4, 所以當m=0時,四邊形OACB的面積最小,最小值是4. 3.(2017·揚州模擬)如圖66-5,在平面直角坐標系xOy中,點A(8,-4),P(2,t)(t<0)在拋物線y2=2px(p>0)上. 圖66-5 (1)求p,t的值; (2)過點P作PM⊥x軸,垂足為M,直線AM與拋物線的另一個交點為B,點C在直線AM上.若PA,PB,PC的斜率分別為k1,k2,k3

9、,且k1+k2=2k3,求點C的坐標. [解] (1)將點A(8,-4)代入y2=2px中得p=1,所以拋物線的方程為y2=2x. 將點P(2,t)代入y2=2x中得t=±2. 因為t<0,所以t=-2. (2)依題意知點M的坐標為(2,0), 直線AM的方程為y=-x+. 聯(lián)立解得B, 所以k1=-,k2=-2. 由k1+k2=2k3,得k3=-, 從而直線PC的方程為y=-x+, 聯(lián)立解得C. 4.(2016·全國卷Ⅲ)已知拋物線C:y2=2x的焦點為F,平行于x軸的兩條直線l1,l2分別交C于A,B兩點,交C的準線于P,Q兩點. (1)若F在線段AB上,R是PQ的

10、中點,證明AR∥FQ; (2)若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍,求AB中點的軌跡方程. [解] 由題意知F, 設(shè)直線l1的方程為y=a,直線l2的方程為y=b, 則ab≠0,且A,B,P,Q,R. 記過A,B兩點的直線為l,則l的方程為2x-(a+b)y+ab=0. (1)證明:由于F在線段AB上,故1+ab=0. 記AR的斜率為k1,F(xiàn)Q的斜率為k2,則 k1=====-b==k2. 所以AR∥FQ. (2)設(shè)l與x軸的交點為D(x1,0), 則S△ABF=|b-a|FD=|b-a|,S△PQF=. 由題意可得|b-a|=, 所以x1=0(舍去)或x1=1. 設(shè)滿足條件的AB的中點為E(x,y). 當AB與x軸不垂直時, 由kAB=kDE可得=(x≠1). 而=y(tǒng),所以y2=x-1(x≠1). 當AB與x軸垂直時,E與D重合,此時E點坐標為(1,0),滿足方程y2=x-1. 所以,所求的軌跡方程為y2=x-1.

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