高中數(shù)學 第一章 立體幾何初步 1.7 簡單幾何體的面積和體積 1.7.3 球課件 北師大版必修2

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1、7 7.3 3球1.理解球的截面,并能解決相關問題.2.了解圓的切線的相關概念,記住球的表面積和體積公式.3.會用球的表面積公式和體積公式進行有關計算,并能解決一些簡單的實際問題.1.球的截面(1)如圖,用一個平面去截半徑為R的球O,截面是圓面O,則球心與截面圓心的連線OO垂直于截面.設球心到截面的距離為d,O的半徑為r,則有如下關系:R2=r2+d2.(2)球面被經過球心的平面截得的圓叫作球的大圓;被不經過球心的平面截得的圓叫作球的小圓.2.球的切線當直線與球有唯一交點時,稱直線與圓相切,其中它們的交點稱為直線與球的切點,過球外一點的所有切線的長度都相等.3.球的體積4.球的表面積設球的半徑

2、為R,那么它的表面積S=4R2.說明:(1)球的表面積和體積公式均是關于球的半徑的函數(shù).(2)球的表面不像柱體、錐體和臺體那樣可以展開在一個平面上,即使是球面上任意小的一塊,也不能展開在一個平面上,因此球的表面沒有展開圖.【做一做1】 直徑為6的球的表面積和體積分別是()A.144,144 B.144,36C.36,144D.36,36答案:D【做一做2】 8個半徑為1的鐵球,熔化成一個大球,則大球的表面積是.答案:16【做一做3】 過球的某一條半徑的中點,作一個垂直于這條半徑的截面,截面面積為48 cm2,求球的表面積.題型一題型二題型三題型四【例1】 在球內有相距為1的兩個平行截面,截面面

3、積分別是5和8,球心不在兩截面之間,求球的表面積.分析:求球的表面積或體積只需要求出球的半徑,要求球的半徑只需解球的半徑、截面圓半徑和球心到截面的距離組成的直角三角形.題型一題型二題型三題型四解:設球的半徑為R,過截面圓圓心作垂直于截面的球的軸截面(過軸的截面),如圖所示.圓O是圓心在球心的圓,A1B1,A2B2分別是兩個平行截面圓的直徑.過圓心O作OC1垂直A1B1于點C1,并延長交A2B2于點C2.因為A1B1A2B2,所以OC2A2B2.由圓的性質可得,C1和C2分別是A1B1和A2B2的中點.題型一題型二題型三題型四反思反思球的軸截面(過球心的截面)是將球的問題轉化為圓的問題的關鍵,因

4、此必須抓住球的軸截面,利用其性質列出方程(組),求球的半徑,進而解決問題.題型一題型二題型三題型四【變式訓練1】 三個球的半徑之比為123,則最大球的表面積是其余兩個球的表面積之和的()答案:C題型一題型二題型三題型四反思計算球的體積或體積的簡單應用都需要認真解決球的半徑問題.題型一題型二題型三題型四【變式訓練2】 一個平面截一球得到直徑為6 cm的圓面,球心到這個截面的距離為4 cm,則球的體積為.解析:如圖所示,由已知,O1A=3 cm,OO1=4 cm,R=OA=5 cm,題型一題型二題型三題型四【例3】 在球面上有四個點P,A,B,C,如果PA,PB,PC兩兩互相垂直,且PA=PB=P

5、C=a,求這個球的體積.分析:因為PA,PB,PC是兩兩互相垂直且相等的三條棱,所以可以將三棱錐P-ABC看成一個正方體的一角,P,A,B,C四點在球面上,所以此球可視為以PA,PB,PC為相鄰三條棱的正方體的外接球,其直徑為正方體的體對角線.題型一題型二題型三題型四解:設球的半徑為R,因為PA,PB,PC兩兩互相垂直,且PA=PB=PC=a,所以以PA,PB,PC為相鄰三條棱可以構造正方體.又因為P,A,B,C是球面上的四點,所以球是所構造的正方體的外接球,正方體的體對角線是球的直徑,反思反思與球有關的組合體問題,通常有兩種情況:一種是內切,一種是外接.解題時要認真分析圖形,明確切點和接點的

6、位置,確定有關元素間的數(shù)量關系,并作出合適的截面圖.球與旋轉體的組合,通常作它們的軸截面,球與多面體的組合,通常通過多面體的一條側棱和球心,或“切點”“接點”作出截面圖.題型一題型二題型三題型四【變式訓練3】 有三個球,第一個球內切于正方體,第二個球與這個正方體各條棱相切,第三個球過這個正方體的各個頂點,求這三個球的表面積之比.解:設正方體的棱長為a.正方體的內切球球心是正方體的中心,切點是六個正方形的中心,經過四個切點及球心作截面,如圖甲,所以有2r1=a,題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四易錯點:考慮問題不全而致誤【例4】 一個球內有相距9 cm的兩個平行截面,面積分別為49

7、 cm2和400 cm2,求球的表面積.錯解:如圖所示,設OD=xcm,由題意知CA2=49,CA=7 cm.又BD2=400,BD=20 cm.設球的半徑為Rcm,則有(CD+DO)2+CA2=R2=OD2+DB2,即(9+x)2+72=x2+202,x=15,R=25.S球=4R2=2 500 cm2.錯因分析:本題出現(xiàn)錯解的原因在于考慮不周,由于球心可能在兩個截面之間,也可能在兩個截面的同一側,因此解決此題要分類討論.題型一題型二題型三題型四正解:(1)當球心在兩個截面的同側時,解法同錯解.(2)當球心在兩個截面之間時,如圖所示,設OD=x,則OC=9-x.設球的半徑為R,可得x2+20

8、2=(9-x)2+72=R2,此方程無正數(shù)解,即此種情況不可能.綜上可知,球的表面積是2 500 cm2.題型一題型二題型三題型四【變式訓練4】 設球O的半徑為5,一個內接圓臺的兩底面半徑分別是3和4,求圓臺的體積.解:如圖所示,分兩種情況,1 2 3 4 5答案:B 1 2 3 4 52.如果兩個球的半徑之比為13,那么這兩個球的表面積之比為()A.19 B.127C.13D.11解析:設兩個球的半徑分別為R1,R2,答案:A1 2 3 4 53.兩個球的表面積之差為48,它們的大圓周長之和為12,則這兩個球的半徑之差為()A.4B.3C.2D.1解析:設兩個球的半徑分別為R,r(Rr).由題意,知答案:C1 2 3 4 54.一個正四棱柱的各個頂點在一個直徑為2 cm的球面上,如果正四棱柱的底面邊長為1 cm,那么該正四棱柱的側面積為.1 2 3 4 55.某個幾何體的三視圖如圖所示(單位:m).求:(1)該幾何體的表面積(結果保留);(2)該幾何體的體積(結果保留).1 2 3 4 5