高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 17-18版 附加題部分 第3章 第68課 數(shù)學(xué)歸納法
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1、 第68課 數(shù)學(xué)歸納法 [最新考綱] 內(nèi)容 要求 A B C 數(shù)學(xué)歸納法的原理 √ 數(shù)學(xué)歸納法的簡(jiǎn)單應(yīng)用 √ 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 √ 1.?dāng)?shù)學(xué)歸納法 證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進(jìn)行: (1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0∈N+)時(shí)命題成立; (2)(歸納遞推)假設(shè)n=k(k≥n0,k∈N+)時(shí)命題成立,證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立. 只要完成這兩個(gè)步驟,就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立. 2.?dāng)?shù)學(xué)歸納法的框圖表示 1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,
2、錯(cuò)誤的打“×”) (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí),第一步是驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)結(jié)論成立.( ) (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí),歸納假設(shè)可以不用.( ) (3)不論是等式還是不等式,用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí),由n=k到n=k+1時(shí),項(xiàng)數(shù)都增加了一項(xiàng).( ) (4)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”,驗(yàn)證n=1時(shí),左邊式子應(yīng)為1+2+22+23.( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 2.在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線為n(n-3)條時(shí),第一步檢驗(yàn)n等于________. 3 [因?yàn)橥筺邊形最小為三角形,所以第一步檢驗(yàn)n等于3.] 3
3、.已知n為正偶數(shù),用數(shù)學(xué)歸納法證明1-+-+…-=2時(shí),若已假設(shè)n=k(k≥2,且k為偶數(shù))時(shí)命題為真,則還需要用歸納假設(shè)再證n=________時(shí)等式成立.
k+2 [k為偶數(shù),則k+2為偶數(shù).]
4.(教材改編)已知{an}滿足an+1=a-nan+1,n∈N+,且a1=2,則a2=__________,a3=__________,a4=__________,猜想an=__________.
3 4 5 n+1
5.用數(shù)學(xué)歸納法證明:“1+++…+
4、式為1+++…+ 5、k)=k[f(k)-1]+f(k)=(k+1)f(k)-k=(k+1)-k
=(k+1)f(k+1)-(k+1)=(k+1)[f(k+1)-1],
∴當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論仍然成立.
由(1)(2)可知:f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n[f(n)-1](n≥2,n∈N+).
[規(guī)律方法] 1.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問(wèn)題,要“先看項(xiàng)”,弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律,等式兩邊各有多少項(xiàng),初始值n0是多少.
2.由n=k時(shí)命題成立,推出n=k+1時(shí)等式成立,一要找出等式兩邊的變化(差異),明確變形目標(biāo);二要充分利用歸納假設(shè),進(jìn)行合理變形,正確寫出證明過(guò)程,不利用歸納假設(shè)的證明,就不是數(shù)學(xué)歸納法 6、.
[變式訓(xùn)練1] 求證:1-+-+…+-=++…+(n∈N+).
[證明] (1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=1-=,
右邊==,左邊=右邊.
(2)假設(shè)n=k時(shí)等式成立,
即1-+-+…+-
=++…+,
則當(dāng)n=k+1時(shí),
+
=+
=++…++.
即當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立.
綜合(1)(2)可知,對(duì)一切n∈N+,等式成立.
用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式
用數(shù)學(xué)歸納法證明:對(duì)一切大于1的自然數(shù)n,不等式·…·>均成立.
[證明] (1)當(dāng)n=2時(shí),左邊=1+=;右邊=.∵左邊>右邊,∴不等式成立.
(2)假設(shè)n=k(k≥2,且k∈N+)時(shí)不等式成立,
即·…·
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