備戰(zhàn)2018年高考數(shù)學(xué) 糾錯(cuò)筆記系列 專題08 立體幾何 理

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1、 專題08 立體幾何 易錯(cuò)點(diǎn)1 對(duì)空間幾何體的結(jié)構(gòu)認(rèn)識(shí)不準(zhǔn)確致錯(cuò) 有一種骰子，每一面上都有一個(gè)英文字母，如圖是從3個(gè)不同的角度看同一粒骰子的情形，請(qǐng)畫出骰子的一個(gè)側(cè)面展開圖，并根據(jù)展開圖說明字母H對(duì)面的字母是 . 【錯(cuò)解】P 【錯(cuò)因分析】空間想象能力差而亂猜一氣，實(shí)際上可以動(dòng)手制作模型，通過折疊得出答案. 【試題解析】將原正方體外面朝上展開，得其表面字母的排列如圖所示，易得H對(duì)面的字母是O. 【參考答案】O 1．對(duì)于平面圖形折疊或空間圖形展開的問題，空間想象能力是解題的關(guān)鍵，正確識(shí)圖才能有效折疊平面圖形、展開空間圖形.而對(duì)于簡(jiǎn)

2、單幾何體的展開圖，可以通過制作模型來解答. 2．關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征問題的注意事項(xiàng)： (1)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定． (2)通過舉反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，即要說明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)反例即可. 1．如圖，最左邊的幾何體由一個(gè)圓柱中挖去一個(gè)以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐而得，現(xiàn)用一個(gè)豎直的平面去截這個(gè)幾何體，則截面圖形可能是 A．①② B．②③ C．③④ D

3、．①⑤ 【答案】D 讀題不準(zhǔn)，上底面已挖去，截面就不會(huì)出現(xiàn)②的情況，另外，空間想象能力差且憑主觀臆斷，考慮不全面容易導(dǎo)致錯(cuò)解. 易錯(cuò)點(diǎn)2 不能正確畫出三視圖或還原幾何體而致錯(cuò) 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是 【錯(cuò)解】A或B或C 【錯(cuò)因分析】選A，俯視圖判斷出錯(cuò)，從俯視圖看，幾何體的上、下部分都是旋轉(zhuǎn)體； 選B，下部分幾何體判斷出錯(cuò)，誤把旋轉(zhuǎn)體當(dāng)多面體； 選C，上部分幾何體判斷出錯(cuò)，誤把旋轉(zhuǎn)體當(dāng)多面體. 【試題解析】由三視圖可知幾何體上部是一個(gè)圓臺(tái)，下部是一個(gè)圓柱，選D. 【參考答案】D 1．當(dāng)已知三視圖去還原成幾何體時(shí)，要充分關(guān)

4、注圖形中關(guān)鍵點(diǎn)的投影，先從俯視圖來確定是多面體還是旋轉(zhuǎn)體，再?gòu)恼晥D和側(cè)視圖想象出幾何體的大致形狀，然后通過已知的三視圖驗(yàn)證幾何體的正確性，最后檢查輪廓線的實(shí)虛． 2．三視圖問題的常見類型及解題策略： (1)由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀．要熟悉柱、錐、臺(tái)、球的三視圖，明確三視圖的形成原理，結(jié)合空間想象將三視圖還原為實(shí)物圖． (2)由幾何體的直觀圖求三視圖．注意正視圖、側(cè)視圖和俯視圖的觀察方向，注意看到的部分用實(shí)線，不能看到的部分用虛線表示． (3)由幾何體的部分視圖畫出剩余的部分視圖．先根據(jù)已知的一部分三視圖，還原、推測(cè)直觀圖的可能形式，然后再找其剩下部分三視圖的可能形式．當(dāng)然作為

5、選擇題，也可將選項(xiàng)逐項(xiàng)代入，再看看給出的部分三視圖是否符合. 2．如圖，在正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，用過點(diǎn)的平面截去該正方體的上半部分，則剩余幾何體（下半部分）的左視圖為 【答案】C 【誤區(qū)警示】對(duì)于簡(jiǎn)單幾何體的組合體，在畫其三視圖時(shí)首先應(yīng)分清它是由哪些簡(jiǎn)單幾何體組成的，再畫其三視圖．另外要注意交線的位置，可見的輪廓線都畫成實(shí)線，存在但不可見的輪廓線一定要畫出， 但要畫成虛線，即一定要分清可見輪廓線與不可見輪廓線，避免出現(xiàn)錯(cuò)誤． 易錯(cuò)點(diǎn)3 空間幾何體的直觀圖與原圖面積之間的關(guān)系 如圖是水平放置的平面圖形的直觀圖，則原平面圖形的面積為 A．3

6、 B． C．6 D． 【錯(cuò)解】B 【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解中把直觀圖認(rèn)為是原平面圖形，則平面圖形的面積為.實(shí)際上，題圖為直觀圖，必須根據(jù)直觀圖還原得到平面圖形，再利用三角形的面積公式求解. 【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了平面圖形的直觀圖及其原圖形與直觀圖面積之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題，解答關(guān)鍵是牢記原圖形與直觀圖的面積比為． 【參考答案】C 1．斜二測(cè)畫法中的“三變”與“三不變”： “三變”； “三不變”. 2．原圖形與直觀圖的面積比為，即原圖面積是直觀圖面積的倍，直觀圖面積是原圖面積的倍. 3．如圖，△A′B′C′是△AB

7、C的直觀圖，那么△ABC中最長(zhǎng)的邊為________． 【答案】AC 本題容易忽視了圖形中的平行關(guān)系，從而得不到原圖中邊與坐標(biāo)軸的平行關(guān)系，判斷不出直角三角形而導(dǎo)致錯(cuò)誤． 易錯(cuò)點(diǎn)4 空間幾何體的表面積或體積計(jì)算不全致錯(cuò) 一個(gè)多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的表面積為 A．21+ 　　 B．18+ C．21 D．18 【錯(cuò)解】B或C或D 【錯(cuò)因分析】由三視圖可知原幾何體應(yīng)該是一個(gè)正方體截取兩個(gè)全等的小正三棱錐，B項(xiàng)計(jì)算三角形面積時(shí)出錯(cuò)；截取小正三棱錐，即除去了六個(gè)全等的等腰直角三角形，但C項(xiàng)忽略了幾何體多了

8、兩個(gè)等邊三角形面；由三視圖可知原幾何體應(yīng)該是一個(gè)正方體截取兩個(gè)全等的小正三棱錐的組合體，D項(xiàng)計(jì)算三角形面積時(shí)出錯(cuò)，且計(jì)算時(shí)還少加了三棱錐的底面. 【參考答案】A 1．柱體、錐體、臺(tái)體的表面積 （1）已知幾何體的三視圖求其表面積，一般是先根據(jù)三視圖判斷空間幾何體的形狀，再根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)與幾何體的表面積公式，求其表面積． （2）多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和，組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理，以確保不重復(fù)、不遺漏. （3）求多面體的側(cè)面積時(shí)，應(yīng)對(duì)每一個(gè)側(cè)面分別求解后再相加；求旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時(shí)，一般要將旋轉(zhuǎn)體展開為平面圖形后再求面積. 2．柱體、錐體、臺(tái)體的體積 空間

9、幾何體的體積是每年高考的熱點(diǎn)之一，題型既有選擇題、填空題，也有解答題，難度較小，屬容易題. 求柱體、錐體、臺(tái)體體積的一般方法有： （1）若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體，則可直接利用公式進(jìn)行求解． （2） 若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等體積法、割補(bǔ)法等方法進(jìn)行求解． ①等體積法： 一個(gè)幾何體無論怎樣轉(zhuǎn)化，其體積總是不變的．如果一個(gè)幾何體的底面面積和高較難求解時(shí)，我們可以采用等體積法進(jìn)行求解．等體積法也稱等積轉(zhuǎn)化或等積變形，它是通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，多用來解決有關(guān)錐體的體積，特別是三棱錐的體積. ②割補(bǔ)法： 運(yùn)用割補(bǔ)

10、法處理不規(guī)則的空間幾何體或不易求解的空間幾何體的體積計(jì)算問題，關(guān)鍵是能根據(jù)幾何體中的線面關(guān)系合理選擇截面進(jìn)行切割或者補(bǔ)成規(guī)則的幾何體.要弄清切割后或補(bǔ)形后的幾何體的體積是否與原幾何體的體積之間有明顯的確定關(guān)系，如果是由幾個(gè)規(guī)則的幾何體堆積而成的，其體積就等于這幾個(gè)規(guī)則的幾何體的體積之和；如果是由一個(gè)規(guī)則的幾何體挖去幾個(gè)規(guī)則的幾何體而形成的，其體積就等于這個(gè)規(guī)則的幾何體的體積減去被挖去的幾個(gè)幾何體的體積．因此，從一定意義上說，用割補(bǔ)法求幾何體的體積，就是求體積的“加、減”法． （3）若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解. 4．如圖所示，已知等腰

11、梯形ABCD的上底AD＝2 cm，下底BC＝10 cm，底角∠ABC＝60°，現(xiàn)繞腰AB旋轉(zhuǎn)一周，則所得的旋轉(zhuǎn)體的體積是 A．246π B．248π C．249π D．250π 【答案】B 【解析】過D作DE⊥AB于E，過C作CF⊥AB于F，所得旋轉(zhuǎn)體是以CF為底面半徑的圓錐和圓臺(tái)，挖去以A為頂點(diǎn)，以DE為底面半徑的圓錐的組合體． 本題易將所得旋轉(zhuǎn)體漏掉扣除以圓臺(tái)上底面為底面，高為1 cm的圓錐的體積而錯(cuò)選C. 易錯(cuò)點(diǎn)5 問題考慮不全面致錯(cuò) 已知半徑為10的球的兩個(gè)平行截面圓的周長(zhǎng)分別是12π和16π，則這兩

12、個(gè)截面圓間的距離為 . 【錯(cuò)解】2 如圖，設(shè)球的大圓為圓O，C，D分別為兩截面圓的圓心，AB為經(jīng)過點(diǎn)C，O，D的直徑，由題中條件可得兩截面圓的半徑分別為6和8.在Rt△COE中，.在Rt△DOF中，.所以CD=OC?OD=8?6=2，故這兩個(gè)截面圓間的距離為2. 【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解中由于對(duì)球的結(jié)構(gòu)把握不準(zhǔn)，考慮問題不全面而導(dǎo)致錯(cuò)誤.事實(shí)上，兩個(gè)平行截面既可以在球心的同側(cè)，也可以在球心的兩側(cè). 【參考答案】2或14 1．球的有關(guān)問題 （1）確定一個(gè)球的條件是球心和球的半徑，已知球的半徑可以利用公式求球的表面積和體積；反之，已知球的體積或表面積也可以求其

13、半徑. （2）球與幾種特殊幾何體的關(guān)系： ①長(zhǎng)方體內(nèi)接于球，則球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)； ②正四面體的外接球與內(nèi)切球的球心重合，且半徑之比為3∶1； ③直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圓柱，圓柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.特別地，直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心連線的中點(diǎn)； ④球與圓柱的底面和側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓柱的高，也等于圓柱底面圓的直徑； ⑤球與圓臺(tái)的底面和側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓臺(tái)的高． （3）與球有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題一般涉及水的容積問題，解題的關(guān)鍵是明確球的體積與水的容積之間的關(guān)系，正確建立等量關(guān)系. （4）有關(guān)球的截面問題，常畫出過球心的

14、截面圓，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面中圓的有關(guān)問題解決.球心到截面的距離與球的半徑及截面圓的半徑之間滿足關(guān)系式：. 2．求解空間幾何體表面積和體積的最值問題有兩個(gè)思路： 一是根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征和體積、表面積的計(jì)算公式，將體積或表面積的最值轉(zhuǎn)化為平面圖形中的有關(guān)最值，根據(jù)平面圖形的有關(guān)結(jié)論直接進(jìn)行判斷； 二是利用基本不等式或是建立關(guān)于表面積和體積的函數(shù)關(guān)系式，然后利用函數(shù)的方法或者利用導(dǎo)數(shù)方法解決. 5．長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4 m，BC＝3 m，BB1＝5 m，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿表面爬行到點(diǎn)C1，則螞蟻爬行的最短路程為________． 【答案】 m 【

15、解析】沿長(zhǎng)方體的一條棱剪開，使點(diǎn)A和點(diǎn)C1展在同一個(gè)平面上，求線段AC1的長(zhǎng)即可，如圖所示有三種剪法： ①如圖(1)所示，若沿C1D1剪開，使面AB1與面A1C1在同一個(gè)平面內(nèi)， 可求得(m). 將空間幾何體的表(側(cè))面展開，化折(曲)為直，使空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題，即空間問題平面化，是解決立體幾何問題最基本的、最常用的方法，將空間圖形展開成平面圖形后，弄清幾何中的有關(guān)點(diǎn)和線在展開圖中的相應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵． 本題容易忽略長(zhǎng)方體表面具有不同的展開方式，不同的展開方式具有不同的最短路程，將各值比較后，所得的最小值就是最短路程． 易錯(cuò)點(diǎn)6 應(yīng)用公理或其推論時(shí)出錯(cuò)

16、 已知A，B，C，D，E五點(diǎn)中，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，則A，B，C，D，E五點(diǎn)一定共面嗎？ 【錯(cuò)解】A，B，C，D，E五點(diǎn)一定共面. 因?yàn)锳，B，C，D共面，所以點(diǎn)A在B，C，D所確定的平面內(nèi)， 因?yàn)锽，C，D，E共面，所以點(diǎn)E也在B，C，D所確定的平面內(nèi)， 所以點(diǎn)A，E都在B，C，D所確定的平面內(nèi)，即A，B，C，D，E五點(diǎn)一定共面. 【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解忽略了公理2中“不在一條直線上的三點(diǎn)”這個(gè)重要條件.實(shí)際上B，C，D三點(diǎn)有可能共線. （2）若B，C，D三點(diǎn)共線于l， 若Al，El，則A，B，C，D，E五點(diǎn)一定共面； 若A，E中有且只有一個(gè)在l上，則A，

17、B，C，D，E五點(diǎn)一定共面； 若A，E都不在l上，則A，B，C，D，E五點(diǎn)可能不共面. 【參考答案】見試題解析. 在立體幾何中，空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系不確定時(shí)，要注意分類討論，避免片面地思考問題.對(duì)于確定平面問題，在應(yīng)用公理2及其三個(gè)推論時(shí)一定要注意它們成立的前提條件. 1．證明點(diǎn)共線問題，就是證明三個(gè)或三個(gè)以上的點(diǎn)在同一條直線上，主要依據(jù)是公理3.常用方法有： ①首先找出兩個(gè)平面，然后證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，根據(jù)公理3知這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的交線上； ②選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其他點(diǎn)也在這條直線上. 2．證明三線共點(diǎn)問題，一般先證明待證的三條直

18、線中的兩條相交于一點(diǎn)，再證明第三條直線也過該點(diǎn).常結(jié)合公理3，證明該點(diǎn)在不重合的兩個(gè)平面內(nèi)，故該點(diǎn)在它們的交線（第三條直線）上，從而證明三線共點(diǎn). 3．證明點(diǎn)或線共面問題，主要有兩種方法： ①首先由所給條件中的部分線（或點(diǎn)）確定一個(gè)平面，然后再證其余的線（或點(diǎn)）在這個(gè)平面內(nèi)； ②將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合. 6．已知直線l與三條平行直線a、b、c都相交．求證：四條直線l、a、b、c共面． 【答案】見解析. 解法二：∵a∥b，∴a、b確定一個(gè)平面α， 設(shè)l∩a＝A，l∩b＝B，則A∈α，B∈α， ∴AB?α. ∵A∈l，B∈l，∴l(xiāng)?α，即a

19、、b、l在同一個(gè)平面內(nèi)， 故b在a、l確定的平面內(nèi)． ∵a∥c，∴a、c確定一個(gè)平面β. 設(shè)l∩c＝C， ∵l∩a＝A，∴A∈β，C∈β， ∴AC?β. ∵A∈l，C∈l，∴l(xiāng)?β，即a、c、l在同一個(gè)平面內(nèi)， 故c在a、l確定的平面內(nèi)． 又∵l∩a＝A，∴a和l只能確定一個(gè)平面， ∴a、b、c、l共面． 本題常出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因是：若l與a共面于α，l與b共面于β，但α，β卻不是同一平面，則推不出l與a，b共面． 易錯(cuò)點(diǎn)7 忽略空間角的范圍或不能正確找出空間角致誤 如圖，已知空間四邊形ABCD中，AD=BC，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，且直線BC與MN所成的角

20、為30°，則BC與AD所成的角為 . 【錯(cuò)解】120° 如圖，連接BD，并取中點(diǎn)E，連接EN，EM，則EN∥BC，ME∥AD，故為BC與MN所成的角，∠MEN為BC與AD所成的角，∴∠ENM=30°.又由AD=BC，知ME=EN，∴∠EMN=∠ENM=30°， ∴，即BC與AD所成的角為120°. 【錯(cuò)因分析】在未判斷出∠MEN是銳角或直角還是鈍角之前，不能斷定它就是兩異面直線所成的角，因?yàn)楫惷嬷本€所成的角α的取值范圍是，如果∠MEN為鈍角，那么它的補(bǔ)角才是異面直線所成的角. 【試題解析】以上同錯(cuò)解，求得∠MEN=120°，即BC與AD所成的角為60°.

21、 【參考答案】60° 求異面直線所成的角的時(shí)候，要注意異面直線所成的角α的取值范圍是. 1．求異面直線所成的角的常見策略： （1）求異面直線所成的角常用平移法． 平移法有三種類型，利用圖中已有的平行線平移，利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移，利用補(bǔ)形平移． （2）求異面直線所成角的步驟 ①一作：即根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角； ②二證：即證明作出的角是異面直線所成的角； ③三求：解三角形，求出作出的角． 如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角. （3）判定空間兩條直線是異面直線的方法 ①判定定理

22、：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點(diǎn)B的直線是異面直線． ②反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩線異面． 2．求直線與平面所成的角的方法： （1）求直線和平面所成角的步驟 ①尋找過斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線； ②連接垂足和斜足得到斜線在平面上的射影，斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求的角； ③把該角歸結(jié)在某個(gè)三角形中，通過解三角形，求出該角． （2）求線面角的技巧 在上述步驟中，其中作角是關(guān)鍵，而確定斜線在平面內(nèi)的射影是作角的關(guān)鍵，幾何圖形的特征是找射影的依據(jù)，射影一般都是一些特殊的點(diǎn)，比如中心、垂心、重心等． 3．求二面角大小的步

23、驟： 簡(jiǎn)稱為“一作二證三求”． 作平面角時(shí)，一定要注意頂點(diǎn)的選擇． 7．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，PA⊥平面ABCD，且，，則二面角的大小為 ． 【答案】45° 在找二面角的平面角時(shí)，一般按照先找后作的原則，避免盲目地按三垂線法作二面角的平面角． 易錯(cuò)點(diǎn)8 對(duì)線面位置關(guān)系不能正確應(yīng)用定理作出判斷 如果兩條平行直線a，b中的a∥α，那么b∥α.這個(gè)命題正確嗎？為什么？ 【錯(cuò)解】這個(gè)命題正確． ∵a∥α，∴在平面α內(nèi)一定存在一條直線c，使a∥c. 又∵a∥b，∴b∥c，∴b∥α. 【錯(cuò)因分析】忽略了b?

24、α這種情況，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤，本題條件中的直線b與平面α有兩種位置關(guān)系：b∥α和b?α. 【參考答案】見試題解析. 錯(cuò)誤的原因是利用線面平行的判定定理時(shí)，忽略了定理使用的前提條件必須是平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行． 1．點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系可借助正方體為模型，以正方體為主線，直觀感知并認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，準(zhǔn)確判定線線平行、線線垂直、線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直． 2．熟練應(yīng)用線面位置關(guān)系中的判定定理與性質(zhì)定理即可順利解決此類問題. 8．已知兩個(gè)平面垂直，下列命題： ①一個(gè)平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線. ②一個(gè)

25、平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個(gè)平面的無數(shù)條直線. ③一個(gè)平面內(nèi)的任一條直線必垂直于另一個(gè)平面. ④過一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個(gè)平面. 其中正確命題的個(gè)數(shù)是 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 對(duì)于④，很容易認(rèn)為是正確的，其實(shí)與面面垂直的性質(zhì)定理是不同的，“兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直”與“兩個(gè)平面垂直，則過一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，此垂線與另一個(gè)平面垂直”是不同的，關(guān)鍵是過點(diǎn)作的直線不一定在平面內(nèi). 易錯(cuò)點(diǎn)9 證明線面位置關(guān)系時(shí)不能正確應(yīng)用定理致

26、錯(cuò) 如圖，，點(diǎn)P在所確定的平面γ外，于點(diǎn)，于點(diǎn). 求證：. 【錯(cuò)解】因?yàn)?，，所? 所以，所以. 【錯(cuò)因分析】本題錯(cuò)解的原因在于沒有正確使用線面垂直的判定定理，由 得，而忽略了“垂直于平面內(nèi)兩條相交直線”這一條件，即. 【參考答案】見試題解析. 應(yīng)用直線與平面垂直的判定定理時(shí)，要熟記定理的應(yīng)用條件，不能忽略“兩條相交直線”這一關(guān)鍵點(diǎn). 1．判斷或證明線面平行的常用方法有： ①利用線面平行的定義(無公共點(diǎn))； ②利用線面平行的判定定理()； ③利用面面平行的性質(zhì)()； ④利用面面平行的性質(zhì)(). 2．判定面面平行的常見策略： ①利用定義：即證兩

27、個(gè)平面沒有公共點(diǎn)(不常用)． ②利用面面平行的判定定理(主要方法)． ③利用垂直于同一條直線的兩平面平行(客觀題可用)． ④利用平面平行的傳遞性，即兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行(客觀題可用). 3．證明直線和平面垂直的常用方法： ①線面垂直的定義； ②判定定理； ③垂直于平面的傳遞性()； ④面面平行的性質(zhì)()； ⑤面面垂直的性質(zhì)． 4．判定面面垂直的常見策略： ①利用定義(直二面角)． ②判定定理：可以通過直線與平面垂直來證明平面與平面垂直． ③在運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)定理時(shí)，若沒有與交線垂直的直線，則一般需作輔助線，基本作法是過其中一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)作交

28、線的垂線，這樣就把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直． 9．如圖，B為△ACD所在平面外一點(diǎn)，M、N、G分別為△ABC、△ABD、△BCD的重心，求證：平面MNG∥平面ACD. 【答案】見解析. 【解析】如圖所示，連接BM、BN、BG并延長(zhǎng)交AC、AD、CD分別于點(diǎn)P、F、H. 面面平行的判定定理中的條件，缺一不可，若沒有兩“相交”直線這個(gè)條件，則不一定有面面平行，也可能相交． 易錯(cuò)點(diǎn)10 對(duì)空間向量理解不正確致誤 已知下列命題： ①若A，B，C，D在一條直線上，則與是共線向量； ②若A，B，C，D不在一條直線上，則與不是共線向量； ③若向量

29、與是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)必在一條直線上； ④若向量與是共線向量，則A，B，C三點(diǎn)必在一條直線上． 其中是真命題的有____________（填序號(hào)）． 【錯(cuò)解】①②③④ 【錯(cuò)因分析】因?yàn)橄蛄繛樽杂上蛄?，所以平行向量就是共線向量，但是向量所在的直線卻不一定重合，也有可能平行，關(guān)鍵是看這兩個(gè)向量所在的直線有沒有公共點(diǎn)，如果沒有公共點(diǎn)，那么對(duì)應(yīng)的兩條直線平行；否則，對(duì)應(yīng)的兩條直線重合． 【參考答案】①④ 平行直線與平行向量的區(qū)別與聯(lián)系： ①平行向量所在的直線既可以平行也可以重合； ②平行直線是指任何不重合的兩條平行直線．因此，兩條平行直線的方向向量一定是平行向量，非零的

30、平行向量所在的直線若不重合，則一定是平行直線． 1．判斷兩非零向量平行，就是判斷是否成立，若成立則共線，若不成立則不共線. 2．證明空間三點(diǎn)P、A、B共線的方法： ①(λ∈R)； ②對(duì)空間任一點(diǎn)O，(t∈R)； ③對(duì)空間任一點(diǎn)O，． 3．證明空間四點(diǎn)P、M、A、B共面的方法： ①； ②對(duì)空間任一點(diǎn)O，； ③對(duì)空間任一點(diǎn)O，(x＋y＋z＝1)； ④(或或). 10．已知向量，，若向量同向，則實(shí)數(shù)的值為 A． B． C． 或 D．或 【答案】A 綜上，，． 由于向量可以任意平移，所以有關(guān)向量的平行問題與直線的平行問題是

31、有區(qū)別的，并且兩向量同向與兩向量平行也是不等價(jià)的．“兩向量同向”是“兩向量平行”的充分不必要條件．若兩向量平行，則兩向量可能同向、也可能反向． 易錯(cuò)點(diǎn)11 不能正確利用空間向量解決立體幾何問題 已知四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，∠ABC＝60°，AB＝2PA，E是線段BC中點(diǎn)． （1）判斷PE與AD的關(guān)系； （2）在線段PD上是否存在一點(diǎn)F，使得CF∥平面PAE，說明你的理由． 【錯(cuò)解】（1）取A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AC、AP所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PA＝1，則P(0，0，1)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，C(2

32、，2，0)，E(2，1，0)， ∴＝(2，1，－1)，＝(0，2，0)，∴·＝2≠0， ∴PE與AD不垂直． （2）設(shè)＝λ＝(0，2λ，－λ)，則＝－＝(－2，2λ－2，1－λ)． 又＝(0，0，1)，＝(2，1，0)． 設(shè)＝m＋n，則，∴，即＝－， ∴、、共面，∴CF∥平面PAE， ∴存在點(diǎn)F為PD中點(diǎn)，使CF∥平面PAE. 【錯(cuò)因分析】因?yàn)锳B與AC不垂直，故以AB、AC、AP所在直線分別為x、y、z軸建立的坐標(biāo)系不是直角坐標(biāo)系，另外我們建立坐標(biāo)系應(yīng)為右手系． （1）∵＝(0，，－1)，＝(2，0，0)， ∴·＝0， ∴PE⊥AD. （2）假設(shè)線段PD上存在

33、一點(diǎn)F，使直線CF∥平面PAE， ∵是平面PAE的一個(gè)法向量， ∴⊥， 設(shè)＝λ＝(2λ，0，－λ)(0≤λ≤1)，則＝－＝(2λ－1，－，－λ＋1)， ∴·＝(2λ－1，－，－λ＋1)·(2，0，0)＝4λ－2＝0，解得λ＝， 所以當(dāng)F為線段PD的中點(diǎn)時(shí)，直線CF∥平面PAE. 【參考答案】見試題解析. 1．利用向量法證明平行問題 （1）證明線線平行：證明兩條直線的方向向量平行. （2）證明線面平行： ①該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直； ②證明該直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行； ③證明該直線的方向向量可以用平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量線性表示. （

34、3）證明面面平行：兩個(gè)平面的法向量平行. 2．利用向量法證明垂直問題 （1）線線垂直：證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零． （2）線面垂直：證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示． （3）面面垂直：證明兩個(gè)平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎荆? 3．利用向量法求空間角 （1）用向量法求異面直線所成的角 ①建立空間直角坐標(biāo)系； ②求出兩條直線的方向向量； ③代入公式求解，一般地，異面直線AC，BD的夾角β的余弦值為. （2）用向量法求直線與平面所成的角 ①分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為

35、求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)； ②通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角． （3）用向量法求二面角 求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角． 4．利用向量法求空間距離 （1）空間中兩點(diǎn)間的距離的求法 兩點(diǎn)間的距離就是以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的向量的模．因此，要求兩點(diǎn)間的距離除使用距離公式外，還可轉(zhuǎn)化為求向量的模. （2）求點(diǎn)P到平面α的距離的三個(gè)步驟： ①在平面α內(nèi)取一點(diǎn)A，確定向量的坐標(biāo)． ②確定平面α的

36、法向量n. ③代入公式求解． 5．利用向量法求立體幾何中的探索性問題 （1）通常假設(shè)題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在(或結(jié)論成立)，然后在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理，若能推導(dǎo)出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實(shí)，說明假設(shè)成立，即存在，并可進(jìn)一步證明；若推導(dǎo)出與條件或?qū)嶋H情況相矛盾的結(jié)論，則說明假設(shè)不成立，即不存在． （2）探索線段上是否存在點(diǎn)時(shí)，注意三點(diǎn)共線條件的應(yīng)用，這樣可減少坐標(biāo)未知量． 11．如圖1，已知四邊形為矩形，平面，且，，則二面角的余弦值為 ． 圖1 【答案】 【解析】分別以AB、AD、AP所在直線為x、y、z軸建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，

37、圖2 令，可得平面的一個(gè)法向量為， 所以， 觀察圖形易知二面角的平面角為鈍角， 所以二面角的余弦值為． 二面角的取值范圍是，線面角的取值范圍是，本題忽略了二面角既可能是銳角也可能是鈍角而導(dǎo)致錯(cuò)誤，解題時(shí)應(yīng)仔細(xì)觀察圖形，避免出錯(cuò)． 一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖與直觀圖 1．空間幾何體的結(jié)構(gòu) （1）多面體 幾何體 結(jié)構(gòu)特征 備注 棱柱 ①底面互相平行. ②側(cè)面都是平行四邊形. ③每相鄰兩個(gè)平行四邊形的公共邊互相平行. 按側(cè)棱與底面是否垂直分類，可分為斜棱柱和直棱柱.側(cè)棱與底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱，側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.特別地，底面是正多邊

38、形的直棱柱叫做正棱柱. 棱錐 ①底面是多邊形. ②側(cè)面都是三角形. ③側(cè)面有一個(gè)公共頂點(diǎn). 三棱錐的所有面都是三角形，所以四個(gè)面都可以看作底. 三棱錐又稱為四面體. 棱臺(tái) ①上、下底面互相平行，且是相似圖形. ②各側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn). ③各側(cè)面為梯形. 可用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐 （2）旋轉(zhuǎn)體 幾何體 結(jié)構(gòu)特征 備注 圓柱 ①圓柱有兩個(gè)大小相同的底面，這兩個(gè)面互相平行，且底面是圓面而不是圓. ②圓柱有無數(shù)條母線，且任意一條母線都與圓柱的軸平行，所以圓柱的任意兩條母線互相平行且相等. ③平行于底面的截面是與底面大小相同的圓面，過軸的截面(

39、軸截面)是全等的矩形. 圓柱可以由矩形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到. 圓錐 ①底面是圓面. ②有無數(shù)條母線，長(zhǎng)度相等且交于頂點(diǎn). ③平行于底面的截面是與底面大小不同的圓面，過軸的截面（軸截面）是全等的等腰三角形. 圓錐可以由直角三角形繞其直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到. 圓臺(tái) ①圓臺(tái)上、下底面是互相平行且不等的圓面. ②有無數(shù)條母線，等長(zhǎng)且延長(zhǎng)線交于一點(diǎn). ③平行于底面的截面是與兩底面大小都不等的圓面，過軸的截面（軸截面）是全等的等腰梯形. 圓臺(tái)可以由直角梯形繞直角腰所在直線或等腰梯形繞上、下底中點(diǎn)連線所在直線旋轉(zhuǎn)得到，也可由平行于底面的平面截圓錐得到. 球 ①球心和截面

40、圓心的連線垂直于截面. ②球心到截面的距離d與球的半徑R及截面圓的半徑r之間滿足關(guān)系式：. 球可以由半圓面或圓面繞直徑所在直線旋轉(zhuǎn)得到. 2．空間幾何體的三視圖 （1）三視圖的概念 ①光線從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖叫做幾何體的正視圖； ②光線從幾何體的左面向右面正投影，得到的投影圖叫做幾何體的側(cè)視圖； ③光線從幾何體的上面向下面正投影，得到的投影圖叫做幾何體的俯視圖. 幾何體的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖統(tǒng)稱為幾何體的三視圖.如圖. （2）三視圖的畫法規(guī)則 ①排列規(guī)則：一般地，側(cè)視圖在正視圖的右邊，俯視圖在正視圖的下邊.如下圖： 正 側(cè) 俯 ②畫法

41、規(guī)則 ⅰ)正視圖與俯視圖的長(zhǎng)度一致，即“長(zhǎng)對(duì)正”； ⅱ)側(cè)視圖和正視圖的高度一致，即“高平齊”； ⅲ)俯視圖與側(cè)視圖的寬度一致，即“寬相等”. ③線條的規(guī)則 ⅰ)能看見的輪廓線用實(shí)線表示； ⅱ)不能看見的輪廓線用虛線表示. （3）常見幾何體的三視圖 常見幾何體 正視圖 側(cè)視圖 俯視圖 長(zhǎng)方體 矩形 矩形 矩形 正方體 正方形 正方形 正方形 圓柱 矩形 矩形 圓 圓錐 等腰三角形 等腰三角形 圓 圓臺(tái) 等腰梯形 等腰梯形 兩個(gè)同心的圓 球 圓 圓 圓 3．空間幾何體的直觀圖 （1）斜二測(cè)畫法及其規(guī)則 對(duì)于平面多邊

42、形，我們常用斜二測(cè)畫法畫它們的直觀圖.斜二測(cè)畫法是一種特殊的畫直觀圖的方法，其畫法規(guī)則是： ①在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點(diǎn)O.畫直觀圖時(shí)，把它們畫成對(duì)應(yīng)的x′軸和y′軸，兩軸相交于點(diǎn)O′，且使∠x′O′y′=45°(或135°)，它們確定的平面表示水平面. ②已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸或y′軸的線段. ③已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段，長(zhǎng)度為原來的一半. （2）用斜二測(cè)畫法畫空間幾何體的直觀圖的步驟 ①在已知圖形所在的空間中取水平平面，作互相垂直的軸Ox，Oy，再作Oz軸使∠xOz=9

43、0°，且∠yOz=90°. ②畫直觀圖時(shí)，把它們畫成對(duì)應(yīng)的軸O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′=45°(或135°)，∠x′O′z′=90°，x′O′y′所確定的平面表示水平平面. ③已知圖形中，平行于x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸、y′軸或z′軸的線段，并使它們和所畫坐標(biāo)軸的位置關(guān)系與已知圖形中相應(yīng)線段和原坐標(biāo)軸的位置關(guān)系相同. ④已知圖形中平行于x軸或z軸的線段，在直觀圖中保持長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段，長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉淼囊话? ⑤畫圖完成以后，擦去作為輔助線的坐標(biāo)軸，就得到了空間圖形的直觀圖. 直觀圖的面積與原圖面積之間的關(guān)系 ①原圖形與直

44、觀圖的面積比為，即原圖面積是直觀圖面積的倍， ②直觀圖面積是原圖面積的倍. 二、空間幾何體的表面積與體積 1．旋轉(zhuǎn)體的表面積 圓柱（底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l） 圓錐（底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l） 圓臺(tái)（上、下底面半徑分別為r′，r，母線長(zhǎng)為l） 側(cè)面展開圖 底面面積 側(cè)面面積 表面積 多面體的表面積就是各個(gè)面的面積之和，也就是展開圖的面積. 棱錐、棱臺(tái)、棱柱的側(cè)面積公式間的聯(lián)系： 2．柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式 幾何體 體積 柱體 (S為底面面積，h為高) (r為底面半徑，h為高) 錐體

45、 (S為底面面積，h為高) (r為底面半徑，h為高) 臺(tái)體 (S′、S分別為上、下底面面積，h為高)， (r′、r分別為上、下底面半徑，h為高) （1）柱體、錐體、臺(tái)體體積公式間的關(guān)系 （2）一個(gè)組合體的體積等于它的各部分體積之和或差； （3）等底面面積且等高的兩個(gè)同類幾何體的體積相等. 3．球的表面積和體積公式 設(shè)球的半徑為R，它的體積與表面積都由半徑R唯一確定，是以R為自變量的函數(shù)，其表面積公式為，即球的表面積等于它的大圓面積的4倍；其體積公式為. 球的切、接問題（常見結(jié)論） （1）若正方體的棱長(zhǎng)為，則正方體的內(nèi)切球半徑是；正方體的外接球半徑是；與正方體

46、所有棱相切的球的半徑是． （2）若長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，，，則長(zhǎng)方體的外接球半徑是． （3）若正四面體的棱長(zhǎng)為，則正四面體的內(nèi)切球半徑是；正四面體的外接球半徑是；與正四面體所有棱相切的球的半徑是． （4）球與圓柱的底面和側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓柱的高，也等于圓柱底面圓的直徑． （5）球與圓臺(tái)的底面與側(cè)面均相切，則球的直徑等于圓臺(tái)的高． 三、空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 1．平面的基本性質(zhì) 名稱 圖形 文字語言 符號(hào)語言 公理1 如果一條直線上的兩點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi) Al，Bl，且Aα，Bα?l?α 公理2 過不在同一條直

47、線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面 A，B，C三點(diǎn)不共線?有且只有一個(gè)平面α，使Aα，Bα，Cα 公理2的推論 推論1 經(jīng)過一條直線和直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面 若點(diǎn)直線a，則A和a確定一個(gè)平面 推論2 經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面 ?有且只有一個(gè)平面，使， 推論3 經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面 ?有且只有一個(gè)平面，使， 公理3 如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線 Pα，且Pβ?α∩β=l，Pl，且l是唯一的 公理4 ———l1 ———l2 ———l 平行于同一直線的兩條直線平行 l1∥l，l

48、2∥l?l1∥l2 2．等角定理 （1）自然語言：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ). （2）符號(hào)語言： 如圖（1）、（2）所示，在∠AOB與∠A′O′B′中，，則或. 圖（1） 圖（2） 3．空間兩直線位置關(guān)系的分類 空間中兩條直線的位置關(guān)系有以下兩種分類方式： （1）從有無公共點(diǎn)的角度分類： （2）從是否共面的角度分類： 4．異面直線所成的角 （1）異面直線所成角的定義 如圖，已知兩異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O，分別作直線a′∥a，b′∥b，相交直線a′，b′

49、所成的銳角（或直角）叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）. （2）異面直線所成角的范圍 異面直線所成的角必須是銳角或直角，異面直線所成角的范圍是. （3）兩條異面直線垂直的定義 如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條直線互相垂直.兩條互相垂直的異面直線a，b，記作a⊥b. 5．直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的分類 （1）直線和平面位置關(guān)系的分類 ①按公共點(diǎn)個(gè)數(shù)分類： ②按是否平行分類： ③按直線是否在平面內(nèi)分類： （2）平面和平面位置關(guān)系的分類 兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系有且只有以下兩種： （1）兩個(gè)平面平行——沒有公共點(diǎn)； （2）兩個(gè)平面相

50、交——有一條公共直線. （1）唯一性定理 ①過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行． ②過直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直． ③過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行． ④過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直． （2）異面直線的判定方法 經(jīng)過平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線互為異面直線． 四、直線、平面平行的判定及其性質(zhì) 1．直線與平面平行的判定定理 文字語言 平面外的一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行. 簡(jiǎn)記為：線線平行?線面平行 圖形語言 符號(hào)語言 a?α，b?α，且a∥b?a∥α 作用 證明直線

51、與平面平行 2．直線與平面平行的性質(zhì)定理 文字語言 一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行. 簡(jiǎn)記為：線面平行?線線平行 圖形語言 符號(hào)語言 作用 ①作為證明線線平行的依據(jù)． ②作為畫一條直線與已知直線平行的依據(jù). 3．平面與平面平行的判定定理 文字語言 一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行. 簡(jiǎn)記為：線面平行?面面平行 圖形語言 符號(hào)語言 a?β，b?β，，a∥α，b∥α?α∥β 作用 證明兩個(gè)平面平行 4．平面與平面平行的性質(zhì)定理 文字語言 如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那

52、么它們的交線平行. 簡(jiǎn)記為：面面平行?線線平行 圖形語言 符號(hào)語言 作用 證明線線平行 1．平行問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系 2．常用結(jié)論 （1）如果兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面． （2）如果兩個(gè)平行平面中有一個(gè)平面垂直于一條直線，那么另一個(gè)平面也垂直于這條直線． （3）夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段長(zhǎng)度相等． （4）經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行． （5）兩條直線被三個(gè)平行平面所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例． （6）如果兩個(gè)平面分別和第三個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面互相平行． （7）如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)

53、平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個(gè)平面平行． （8）如果兩個(gè)平面垂直于同一條直線，那么這兩個(gè)平面平行． 五、直線、平面垂直的判定及其性質(zhì) 1．直線與平面垂直的定義 如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直.記作：l⊥α.圖形表示如下： 定義中的“任意一條直線”這一詞語與“所有直線”是同義語，與“無數(shù)條直線”不是同義語． 2．直線與平面垂直的判定定理 文字語言 一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直. 簡(jiǎn)記為：線線垂直?線面垂直 圖形語言 符號(hào)語言 l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，?l⊥α 作用 判斷直線與

54、平面垂直 在應(yīng)用該定理判斷一條直線和一個(gè)平面垂直時(shí)，一定要注意是這條直線和平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，而不是任意的兩條直線. 3．直線與平面垂直的性質(zhì)定理 文字語言 垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行. 簡(jiǎn)記為：線面垂直?線線平行 圖形語言 符號(hào)語言 ? 作用 ①證明兩直線平行； ②構(gòu)造平行線. 4．平面與平面垂直的定義 兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直．平面α與平面β垂直，記作.圖形表示如下： 5．平面與平面垂直的判定定理 文字語言 一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直. 簡(jiǎn)記為：線面垂直?面面垂直 圖形語

55、言 符號(hào)語言 l⊥α，?α⊥β 作用 判斷兩平面垂直 6．平面與平面垂直的性質(zhì)定理 文字語言 兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直. 簡(jiǎn)記為：面面垂直?線線平行 圖形語言 符號(hào)語言 作用 證明直線與平面垂直 7．直線與平面所成的角 （1）定義：一條直線和一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，斜線和平面的交點(diǎn)叫做斜足． 過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個(gè)平面上的射影． 平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角． （2）規(guī)定：一條直線垂直于

56、平面，我們說它們所成的角等于；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角等于.因此，直線與平面所成的角α的范圍是. 8．二面角 （1）二面角的定義：平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常稱為半平面．從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面. （2）二面角的平面角的定義：在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，則這兩條射線構(gòu)成的角叫做這個(gè)二面角的平面角. （3）二面角的范圍：. 1．垂直問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系 2．常用結(jié)論 （1）若兩條平行線中一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也

57、垂直于這個(gè)平面． （2）若一條直線垂直于一個(gè)平面，則這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)任何一條直線． （3）過空間任一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直． （4）過空間任一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直． （5）兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直． （6）兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面． （7）如果兩個(gè)平面互相垂直，那么過第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)且垂直于第二個(gè)平面的直線在第一個(gè)平面內(nèi)． 六、空間向量與立體幾何 1．空間直角坐標(biāo)系 定 義 以空間一點(diǎn)為原點(diǎn)，具有相同的單位長(zhǎng)度，給定正方向，建立兩兩垂直的數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，建立了一個(gè)空間直角坐

58、標(biāo)系 坐標(biāo)原點(diǎn) 點(diǎn)O 坐標(biāo)軸 x軸、y軸、z軸 坐標(biāo)平面 通過每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面 在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系，如圖所示. 2．空間一點(diǎn)M的坐標(biāo) （1）空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組來表示，記作，其中x叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)M的豎坐標(biāo). （2）建立了空間直角坐標(biāo)系后，空間中的點(diǎn)M與有序?qū)崝?shù)組可建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系． 3．空間兩點(diǎn)間的距離公式、中點(diǎn)公式 （1）距離公式 ①設(shè)點(diǎn)，為空間兩點(diǎn)， 則兩點(diǎn)間的距離. ②設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O之間的距離

59、為. （2）中點(diǎn)公式 設(shè)點(diǎn)為，的中點(diǎn)，則. 4．共線向量定理 對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb. 牢記兩個(gè)推論： （1）對(duì)空間任意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線AB上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使或（其中）. （2）如果l為經(jīng)過已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量的直線，那么對(duì)空間任意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使，其中向量叫做直線l的方向向量，該式稱為直線方程的向量表示式. 5．共面向量定理 如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使. 牢記推論：空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充

60、要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使；或?qū)臻g任意一點(diǎn)O，有. 6．空間向量基本定理 如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.其中，{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底，a，b，c都叫做基向量. （1）空間任意三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成基底. （2）基底選定后，空間的所有向量均可由基底唯一表示. （3）不能作為基向量. 7．空間向量的運(yùn)算 （1）空間向量的加法、減法、數(shù)乘及數(shù)量積運(yùn)算都可類比平面向量. （2）空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 設(shè)，則 ， ， ， ， ， ， . 8．直線的方向向量和平面的

61、法向量 （1）直線的方向向量就是指和這條直線平行(或共線)的向量，記作，顯然一條直線的方向向量可以有無數(shù)個(gè). （2）若直線，則該直線的方向向量即為該平面的法向量，平面的法向量記作，有無數(shù)多個(gè)，任意兩個(gè)都是共線向量. 平面法向量的求法：設(shè)平面的法向量為.在平面內(nèi)找出（或求出）兩個(gè)不共線的向量，根據(jù)定義建立方程組，得到，通過賦值，取其中一組解，得到平面的法向量. 9．利用空間向量表示空間線面平行、垂直 設(shè)直線的方向向量分別為，平面的法向量分別為. （1）線線平行：若，則； 線面平行：若，則； 面面平行：若，則. （2）線線垂直：若，則； 線面垂直：若，則； 面面垂直：若，則.

62、 10．利用空間向量求空間角 設(shè)直線的方向向量分別為，平面的法向量分別為. （1）直線所成的角為，則，計(jì)算方法：； （2）直線與平面所成的角為，則，計(jì)算方法：； （3）平面所成的二面角為，則， 如圖①，AB，CD是二面角α－l－β的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝． 如圖②③，分別是二面角α－l－β的兩個(gè)半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足|cosθ|＝，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角)． 11．利用空間向量求距離 （1）兩點(diǎn)間的距離 設(shè)點(diǎn)，為空間兩點(diǎn)， 則兩點(diǎn)間的距離. （2）點(diǎn)到平面的距離 如圖所示，已知AB為平面α的

63、一條斜線段，n為平面α的法向量，則B到平面α的距離為. 1．[2016新課標(biāo)Ⅰ卷理]如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條相互垂直的半徑.若該幾何體的體積是，則它的表面積是 A．17π B．18π C．20π D．28π 【答案】A 2．[2017新課標(biāo)Ⅱ卷理]已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為 A． B． C． D． 【答案】C 【名師點(diǎn)睛】平移法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面問題化歸為共面問題來解決，具體步驟如下

64、： ①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角； ②認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角； ③計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形； ④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角．求異面直線所成的角要特別注意異面直線之間所成角的范圍． 3．如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】對(duì)于B，易知AB

65、∥MQ，則直線AB∥平面MNQ； 對(duì)于C，易知AB∥MQ，則直線AB∥平面MNQ； 對(duì)于D，易知AB∥NQ，則直線AB∥平面MNQ． 故排除B，C，D，選A． 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的判定定理以及空間想象能力，屬容易題．證明線面平行的常用方法有： ①利用線面平行的判定定理，使用這個(gè)定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行． ②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面． 4．現(xiàn)有2個(gè)正方體，3個(gè)三棱柱，4個(gè)球和1個(gè)圓臺(tái)，從中任取一個(gè)

66、幾何體，則該幾何體是旋轉(zhuǎn)體的概率為 A． B． C． D． 【答案】C 5．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中面積最大的側(cè)面的面積為 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】本題主要考查三視圖.由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)四棱錐，其中底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，高為1，直觀圖如下圖所示，其中平面ADE⊥平面BCDE，四個(gè)側(cè)面面積分別為，最大面積是，故本題選B. 6．已知是兩條不同直線，是平面，則下列命題為真命題的是 A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則 【答案】B 7．已知三棱錐的底面是以為斜邊的等腰直角三角形，，則三棱錐的外接球的球心到平面的距離是 A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】因?yàn)槿忮FS—ABC的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形，