《2018年高考數(shù)學(xué) 破解命題陷阱 專題11 三角形中正弦定理與余弦定理的靈活應(yīng)用》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018年高考數(shù)學(xué) 破解命題陷阱 專題11 三角形中正弦定理與余弦定理的靈活應(yīng)用（47頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、專題11 三角形中正弦定理與余弦定理的靈活應(yīng)用1.三角形的中線問題2.三角形中的角平分線問題3.三角形邊的范圍問題4.三角形中角的范圍問題5.多個三角形的問題6.三角的實際應(yīng)用7.三角形中的最值問題8.正余弦的混合及靈活應(yīng)用9.三角形的判斷問題二陷阱警示及演練1.三角形的中線問題（運用向量陷阱）例1在ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且。（1）求A的值；（2）若B=30，BC邊上的中線AM=，求ABC的面積。【答案】（1）；（2）【解析】（1）， 因為又（2） 【防陷阱措施】解決三角形中的角邊問題時，要根據(jù)俄條件選擇正余弦定理，將問題轉(zhuǎn)化統(tǒng)一為邊的問題或角的問題，利用三角中兩角和差
2、等公式處理，特別注意內(nèi)角和定理的運用，涉及三角形面積最值問題時，注意均值不等式的利用，特別求角的時候，要注意分析角的范圍，才能寫出角的大小.練習(xí)1.在中， ， ， （）求；（）設(shè)的中點為，求中線的長【答案】(1) ;(2) .【解析】（）由知，且 所以 . 由正弦定理及題設(shè)得即 所以 （）因為,所以為銳角.所以.因為，所以 所以 在中， 為的中點，所以 由余弦定理及題設(shè)得 所以中線練習(xí)2 .中，內(nèi)角的對邊分別為,已知邊，且.(1)若,求的面積；(2)記邊的中點為，求的最大值，并說明理由.【答案】（1）；（2）.【解析】，故 ，由余弦定理可得.（2）由于邊的中點為，故 ， ， 由余弦定理知， ，
3、于是，而， 的最大值為（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）.練習(xí)3. 已知函數(shù)（）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間及其對稱中心；（）在中，角， ， 所對的邊分別為， ， 且角滿足.若， 邊上的中線長為3，求的面積.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間： ，對稱中心（2）【解析】（1） 所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間： 令 ，則對稱中心 2.三角形中的角平分線問題陷阱例2. 如圖，在中， ， ， ， ， 是的三等分角平分線，分別交于點.（1）求角的大??；（2）求線段的長.【答案】（1）;（2）.【解析】（1）因為，即，得，又，則，所以.【防陷阱措施】角平分線問題要注意幾個方面：（1）利用對稱性，（2）利用角平分線定理，（3）利用三角形的面積
4、練習(xí)1. 在中， 是上的點， 平分， 是面積的2倍(1)求 ；(2)若 ，求和的長【答案】（1）；（2）， .【解析】（1）是面積的2倍由正弦定理可知： （2）由（1）知， ，是面積的2倍 設(shè)，由余弦定理得： ，解得.練習(xí)2. 已知的內(nèi)角所對應(yīng)的邊分別為，且滿足.（1）判斷的形狀；（2）若， ， 為角的平分線，求的面積.【答案】(1) 直角三角形;(2) 【解析】（I）由，得, ,. , 故為直角三角形. 練習(xí)3. 如圖，在中， ，且， .（1）求的面積；（2）已知在線段上，且，求的值.【答案】（1）；（2）.（2）依題意, ， ，即，故3.三角形邊的范圍問題陷阱例3. 在中，內(nèi)角的對邊分別是
5、，且.（1）求角的大??；（2）點滿足，且線段，求的取值范圍.【答案】(1) ;(2) .【解析】（1），由正弦定理得，即，又， （2）在中由余弦定理知： ，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即， 時取等號，所以的最大值為4故的范圍是.【防陷阱措施】在解與三角形有關(guān)的問題時，正弦定理、余弦定理是兩個主要依據(jù). 除了直接利用兩定理求邊和角以外，恒等變形過程中，一般來說 ,當(dāng)條件中同時出現(xiàn) 及 、 時，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時，往往運用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進行解答.練習(xí)1.已知分別是的內(nèi)角對的邊， .（1）若， 的面積為，求；（2）若，求的取值范圍.【答
6、案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）首先根據(jù)三角形面積公式， ，求解，再根據(jù)余弦定理,求；（2）根據(jù)正弦定理 ，用正弦表示表示 ，再根據(jù)三角函數(shù)恒等變形為，最后根據(jù)角的范圍求解.試題解析：（1）， 的面積為， ，.由余弦定理得.練習(xí)2. 在中，內(nèi)角的對邊分別為，且（1）求角的大??；（2）若，求的范圍【答案】(1) ;(2) 范圍為.【解析】（1）由及正弦定理可得， 則有故，又， ；（2）由正弦定理， ，可得，=， ， ，即的范圍為練習(xí)3. 在中，角的對邊分別為，且.（1）求角的大??；（2）若，且，求邊長的取值范圍.【答案】(1) ;(2) .（2）， ，由正弦定理，得， ，.練習(xí)4.
7、已知函數(shù).（）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（）在中，角的對邊分別為，若為銳角且， ，求的取值范圍.【答案】(1) ,單調(diào)增區(qū)間（2）（2）， 所以 解得，又，在中， ，等邊三角形時等號成立，所以，又因為是三角形所以，所以。4.三角形中角的范圍問題陷阱例4.已知分別是內(nèi)角的對邊，且依次成等差數(shù)列.（）若,試判斷的形狀；（）若為鈍角三角形，且，試求的取值范圍.【答案】()正三角形；() 【解析】（）由正弦定理及，得三內(nèi)角成等差數(shù)列， ，由余弦定理，得，又為正三角形，（）由（）知， 中由題意，知，所求代數(shù)式的取值范圍是【防陷阱措施】對于題目中所給的銳角三角形或者鈍角三角形，要注意三個角的范圍練習(xí)1. 在銳
8、角中， .（1）若的面積等于，求；（2）求的面積的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】(1)，由正弦定理得，得.由得，所以由解得.（2）由正弦定理得，.又， .因為為銳角三角形，.練習(xí)2. 在中， 分別是角的對邊，且.（1）求的大??；（2）求的取值范圍.【答案】（1）（2） （），由得出： ，所以，所以即的取值范圍是練習(xí)3. 在中， ， ， 分別為內(nèi)角， ， 的對邊，且， ， 成等比數(shù)列（1）求角的取值范圍；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求的取值范圍【答案】(1) (2) 【解析】（1），所以當(dāng)且僅當(dāng)時， ，故練習(xí)4. 已知銳角的三個內(nèi)角的對邊分別為，且（1）求角；（2）若，求的取值范圍【答案
9、】（1）；（2）.【解析】（1）由余弦定理，可得，所以，所以，又，所以 （2）由正弦定理， ，所以 ， 因為是銳角三角形，所以得， 所以， ，即練習(xí)4. 已知分別是的內(nèi)角對的邊， .（1）若， 的面積為，求；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）， 的面積為， ，.由余弦定理得.5.多個三角形的問題例5. 如圖，在邊長為2的正三角形中， 為的中點， 分別在邊上.（1）若，求的長；（2）若，問：當(dāng)取何值時， 的面積最??？并求出面積的最小值【答案】（1）（2）時， 的面積的最小值為【解析】（1）在中， ，由余弦定理得， ，得，解得；（2）設(shè)，在中，由正弦定理，得，所以，同理
10、，故，因為，所以當(dāng)時， 的最大值為1，此時的面積取到最小值即時， 的面積的最小值為【防陷阱措施】本題主要考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用以及三角形面積公式，屬于難題.在解與三角形有關(guān)的問題時，正弦定理、余弦定理是兩個主要依據(jù). 除了直接利用兩定理求邊和角以外，恒等變形過程中 ,當(dāng)條件中同時出現(xiàn) 及 、 時，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時，往往運用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進行解答.練習(xí)1.如圖所示，ABC中，D為AC的中點，AB=2，BC=.（1）.求cosABC的值；（2）.求BD的值.【答案】(1) ;(2) .【解析】試題分析：（1）在A
11、BC中利用正弦定理可求sinC，利用大邊對大角可得C為銳角，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosC，利用兩角差的余弦函數(shù)公式即可計算得解cosABC的值（2）由兩角和差公式得到在ABC中， ， 在ABD中， 練習(xí)2.的內(nèi)角的對邊分別為，其中，且，延長線段到點，使得.（）求證： 是直角；（）求的值.【答案】(1)詳見解析；（2）【解析】證明：（）設(shè)，在中，因為，所以，所以.在中， ，即，所以，所以，即，整理得，所以，即.6.三角的實際應(yīng)用例6. 已知某漁船在漁港O的南偏東60方向，距離漁港約160海里的B處出現(xiàn)險情，此時在漁港的正上方恰好有一架海事巡邏飛機A接到漁船的求救信號，海事巡邏飛機迅速將
12、情況通知了在C處的漁政船并要求其迅速趕往出事地點施救若海事巡邏飛機測得漁船B的俯角為68.20，測得漁政船C的俯角為63.43，且漁政船位于漁船的北偏東60方向上 （）計算漁政船C與漁港O的距離；（）若漁政船以每小時25海里的速度直線行駛，能否在3小時內(nèi)趕到出事地點？（參考數(shù)據(jù)：sin68.200.93，tan68.202.50，shin63.430.90，tan63.432.00， 3.62， 3.61）【答案】（1）; （2）可在3小時內(nèi)趕到出事地點【解析】試題分析：(1)由，結(jié)合正切的定義可求得得， 海里 再由余弦定理得 (2由) 可在3小時內(nèi)趕到出事地點試題解析： (2) 可在3小時內(nèi)
13、趕到出事地點【防陷阱措施】把實際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題，并注意方向角和方位角練習(xí)1. 如圖， 米，從點發(fā)出的光線經(jīng)水平放置于處的平面鏡（大小忽略不計）反射后過點，已知米， 米.（1）求光線的入射角（入射光線與法線的夾角）的大??；（2）求點相對于平面鏡的垂直距離與水平距離的長.【答案】（1）（2）點相對于平面鏡的垂直距離與水平距離的長分別為米、米【解析】試題分析：（1）先由余弦定理解出，再根據(jù)光的反射定律得，解得入射角（2）在中，可得，及，代入數(shù)值可得結(jié)果.試題解析：解：（）如圖，由光的反射定律， ， 在中，根據(jù)余弦定理，得因為，所以， 即光線的入射角的大小為. （）據(jù)（），在中， ，所以（米）
14、，（米），即點相對于平面鏡的垂直距離與水平距離的長分別為米、米7.三角形中的最值問題（1）周長的最值例7在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知， .（1）當(dāng)時，求的面積；（2）求周長的最大值.【答案】（1）；（2）6.【解析】（1）由得得，（2）由余弦定理及已知條件可得： .由得，故周長的最大值為6，當(dāng)且僅當(dāng)三角形為正三角形取到.【防陷阱措施】解答中涉及到三角形的正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，三角形的面積公式和三角形的周長等知識點的綜合運用，試題有一定的綜合性，屬于中檔試題，解答中熟記三角形的正弦定理與余弦定理，合理應(yīng)用是解答的關(guān)鍵練習(xí)1.在中，角的對邊分別為，且.（1）若，求面積的最大值；（2）若，求的
15、周長.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理得，.，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號）.的最大值為.（2）， ，解得或（舍），的周長為.練習(xí)2. 在 中，角所對的邊分別為，且.（1）若依次成等差數(shù)列，且公差為，求的值；（2）若，試用表示的周長，并求周長的最大值.【答案】（1）（2）【解析】(1) 成等差數(shù)列，且公差為，又，恒等變形得，解得或，又.（2）面積最值例8. 已知分別為角的對邊，它的外接圓的半徑為為常數(shù)），并且滿足等式成立.（1）求；（2）求的面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】（1）由，由正弦定理得， ， ，代入得，由余弦定理，（2）由（1）知， ，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時， 【防陷阱
16、措施】注意幾個問題：（1）面積公式的選?。唬?）與均值不等式的聯(lián)系，注意均值不等式求最值的條件。練習(xí)1. 已知中，角對邊分別是， ，且的外接圓半徑為.（1）求角的大??；（2）求面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由得.又，.又，.（2） .當(dāng)，即時， .練習(xí)2. 在中， 分別是角的對邊，且.（I）求的大小;（II）若為的中點，且，求面積最大值.【答案】（I）；（II）.試題解析：（I）由，得， ， ， 又 . （II）在中，由余弦定理得.在中，由余弦定理得， 二式相加得，整理得 ， ， 所以的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時“”成立.的面積的最大值為.練習(xí)3. 在中，角、的對邊分別為、，且滿足
17、（1）求角的大??；（2）若，求面積的最大值【答案】（1）（2） （2）取中點，則在中， （注：也可將兩邊平方）即 ，所以，當(dāng)且僅當(dāng)， 時取等號此時，其最大值為8.正余弦的混合及靈活應(yīng)用例9. 的內(nèi)角所對的邊分別為，已知.（1）求；（2）若的面積為，求.【答案】（1）（2）（2）由，得，即，又，得，所以，又.【防陷阱措施】解答時注意正弦定理、余弦定理的選取，一般有平方關(guān)系時使用余弦定理。練習(xí)1. 的內(nèi)角的對邊分別為，已知（1）求； （2）若，求的面積的最大值【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知及正弦定理可得，在中， ，從而，；（2）解法：由（1）知，（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），；解法二：由正
18、弦定理可知，當(dāng)，即時， 取最大值練習(xí)2. 的內(nèi)角的對邊分別為，且（1）證明： 成等比數(shù)列；（2）若角的平分線交于點，且，求【答案】（1）見解析；（2）.【解析】.解法一:（1）因為，所以 ，化簡可得，由正弦定理得， ，故成等比數(shù)列.（2）由題意，得，又因為是角平分線，所以，即，化簡得， ，即.由（1）知， ，解得，再由得， （為中邊上的高），即，又因為，所以.【注】利用角平分線定理得到同樣得分，在中由余弦定理可得， ，在中由余弦定理可得， ，即，求得.解法二：（1）同解法一.解法三：（1）同解法一.（2）同解法二， .在中由余弦定理可得， ，由于，從而可得，在中由余弦定理可得， ，求得，在中由
19、正弦定理可得， ，即.【注】若求得的值后，在中應(yīng)用正弦定理求得的，請類比得分.解法四：（1）同解法一.（2）同解法一， .在中由余弦定理得， ，在中由余弦定理得， ，因為，所以有，故，整理得， ，即.9.三角形的判斷問題例10. （1）在銳角中， ， ，求的值及的取值范圍；（2）在中，已知，試判斷的形狀.【答案】（1）；（2）直角三角形.【解析】（1）設(shè)，由正弦定理得，.由銳角得，又，故.（2）由題， ，由正弦定理得，為直角三角形.【防陷阱措施】有關(guān)三角形中的最值和取值范圍問題，有時從邊的角度借助基本不等式去求，有時邊轉(zhuǎn)角借助輔助角公式化為三角函數(shù)的最值和范圍去求，但要根據(jù)題意求出角的范圍，再
20、求三角函數(shù)值的范圍，判斷三角形形狀問題，一般要借助正弦定理和余弦定理進行“邊轉(zhuǎn)角”，找出角的大小或關(guān)系，判斷出三角形形狀，或借助正弦定理和余弦定理進行“角轉(zhuǎn)邊”，找出邊與邊的關(guān)系，判斷出三角形形狀.練習(xí)1. 已知的外接圓半徑，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且. （I）求角B和邊長b；（II）求面積的最大值及取得最大值時的a、c的值，并判斷此時三角形的形狀.【答案】（）3；（）等邊三角形【解析】試題分析：（）運用兩角和的正弦公式將已知等式化簡整理，得到，根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式可得，從而得出，可得，最后由正弦定理可得的長；（）由且，利用余弦定理算出，再根據(jù)基本不等式算出，利用三角形的面積公式
21、算出，從而得到當(dāng)且僅當(dāng)時， 有最大值，進而得到此時是等邊三角形.試題解析：（） ，即 , 又, , ，即 又 4分由正弦定理有： ，于是 （）由余弦定理得, ，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=” ，即求面積的最大值為 聯(lián)立，解得 又 為等邊三角形. 【規(guī)律總結(jié)】本題主要考查利用正弦定理、余弦定理、兩角和的正弦公式及三角形面積公式、判斷三角形形狀，屬于中檔題.判斷三角形狀的常見方法是：（1）通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進行判斷；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角為邊，通過代數(shù)恒等變換，求出邊與邊之間的關(guān)系進行判斷；（3）根據(jù)余弦定理確定一個內(nèi)角為鈍角進而知其為鈍角三
22、角形. 三高考真題演練 1.【2015高考新課標(biāo)1，理16】在平面四邊形ABCD中，A=B=C=75，BC=2，則AB的取值范圍是 . 【答案】（，）【考點定位】正余弦定理；數(shù)形結(jié)合思想【名師點睛】本題考查正弦定理及三角公式，作出四邊形，發(fā)現(xiàn)四個為定值，四邊形的形狀固定，邊BC長定，平移AD，當(dāng)AD重合時，AB最長，當(dāng)CD重合時AB最短，再利用正弦定理求出兩種極限位置是AB的長，即可求出AB的范圍，作出圖形，分析圖形的特點是找到解題思路的關(guān)鍵.2.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】的內(nèi)角的對邊分別為，若，則 【答案】【解析】試題分析：因為，且為三角形內(nèi)角，所以，又因為，所以.考點： 三角函數(shù)和差公式
23、，正弦定理.【名師點睛】在解有關(guān)三角形的題目時，要有意識地考慮用哪個定理更適合，或是兩個定理都要用，要抓住能夠利用某個定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到3【2015高考重慶，理13】在ABC中，B=，AB=，A的角平分線AD=,則AC=_.【答案】【解析】由正弦定理得，即，解得，從而，所以，.【考點定位】解三角形（正弦定理，余弦定理）【名師點晴】解三角形就是根據(jù)正弦定理和余弦定理得出方程進行的當(dāng)已知三角形邊長的比時使用正弦定理可以轉(zhuǎn)化為邊的對角的正弦的比值
24、，本例第一題就是在這種思想指導(dǎo)下求解的；當(dāng)已知三角形三邊之間的關(guān)系式，特別是邊的二次關(guān)系式時要考慮根據(jù)余弦定理把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的余弦關(guān)系式，再考慮問題的下一步解決方法4.【2015高考天津，理13】在 中，內(nèi)角 所對的邊分別為 ，已知的面積為 ， 則的值為 .【答案】【解析】因為，所以，又，解方程組得，由余弦定理得，所以.【考點定位】同角三角函數(shù)關(guān)系、三角形面積公式、余弦定理.【名師點睛】本題主要考查同角三角函數(shù)關(guān)系、三角形面積公式、余弦定理.解三角形是實際應(yīng)用問題之一，先根據(jù)同角三角關(guān)系求角的正弦值，再由三角形面積公式求出，解方程組求出的值，用余弦定理可求邊有值.體現(xiàn)了綜合運用三角知識、正
25、余弦定理的能力與運算能力，是數(shù)學(xué)重要思想方法的體現(xiàn).5【2015高考湖北，理13】如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北的方向上，行駛600m后到達(dá)處，測得此山頂在西偏北的方向上，仰角為，則此山的高度 m. 【答案】【解析】依題意，在中，由，所以，因為，由正弦定理可得，即m，在中，因為，所以，所以m.【考點定位】三角形三內(nèi)角和定理，三角函數(shù)的定義，有關(guān)測量中的的幾個術(shù)語，正弦定理.【名師點睛】本題是空間四面體問題，不能把四邊形看成平面上的四邊形. 6【2017課標(biāo)1，理17】ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知ABC的面積為 （1）求sin
26、BsinC;（2）若6cosBcosC=1，a=3，求ABC的周長.【解析】試題分析：（1）由三角形面積公式建立等式，再利用正弦定理將邊化成角，從而得出的值；（2）由和計算出，從而求出角，根據(jù)題設(shè)和余弦定理可以求出和的值，從而求出的周長為.試題解析：（1）由題設(shè)得，即.由正弦定理得.故.【考點】三角函數(shù)及其變換.【名師點睛】在處理解三角形問題時，要注意抓住題目所給的條件，當(dāng)題設(shè)中給定三角形的面積，可以使用面積公式建立等式，再將所有邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，有時需將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系；解三角形問題常見的一種考題是“已知一條邊的長度和它所對的角，求面積或周長的取值范圍”或者“已知一條邊的長度和它
27、所對的角，再有另外一個條件，求面積或周長的值”，這類問題通法思路是：全部轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，如，從而求出范圍，或利用余弦定理以及基本不等式求范圍；求具體的值直接利用余弦定理和給定條件即可.7.【2017課標(biāo)II，理17】的內(nèi)角所對的邊分別為，已知，（1）求；（2）若，的面積為，求?！敬鸢浮?1)；(2)。【解析】試題分析：利用三角形內(nèi)角和定理可知，再利用誘導(dǎo)公式化簡，利用降冪公式化簡，結(jié)合求出；利用（1）中結(jié)論，利用勾股定理和面積公式求出，從而求出。試題解析：(1)由題設(shè)及， ，故。上式兩邊平方，整理得，解得(舍去)，。（2）由得，故。又，則。由余弦定理及得：所以b=2?！究键c】
28、正弦定理；余弦定理；三角形面積公式?！久麕燑c睛】解三角形問題是高考高頻考點，命題大多放在解答題的第一題，主要利用三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理、三角形面積公式等知識解題，解題時要靈活利用三角形的邊角關(guān)系進行“邊轉(zhuǎn)角”“角轉(zhuǎn)邊”，另外要注意三者的關(guān)系，這樣的題目小而活，備受老師和學(xué)生的歡迎。8.【2017課標(biāo)3，理17】ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知 ，a=2,b=2.（1）求c；（2）設(shè)D為BC邊上一點，且ADAC,求ABD的面積.【答案】(1) ；(2) 【解析】解得： (舍去)， .(2)由題設(shè)可得 ，所以 .故ABD面積與ACD面積的比值為 .又ABC的面積為 ，所
29、以ABD的面積為 .【考點】 余弦定理解三角形；三角形的面積公式【名師點睛】在解決三角形問題中，面積公式最常用，因為公式中既有邊又有角，容易和正弦定理、余弦定理聯(lián)系起來.正、余弦定理在應(yīng)用時，應(yīng)注意靈活性，已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進行判斷.9【2017北京，理15】在ABC中， =60，c=a.（）求sinC的值；（）若a=7，求ABC的面積.【答案】（）；（）.【解析】試題解析：解：（）在ABC中，因為，所以由正弦定理得.（）因為，所以.由余弦定理得，解得或（舍）.所以ABC的面積.
30、【考點】1.正余弦定理；2.三角形面積；3.三角恒等變換.【名師點睛】高考中經(jīng)常將三角變換與解三角形知識綜合起來命題，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理實現(xiàn)邊角互化；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到而三角變換中主要是“變角、變函數(shù)名和變運算形式”，其中的核心是“變角”，即注意角之間的結(jié)構(gòu)差異，彌補這種結(jié)構(gòu)差異的依據(jù)就是三角公式10.【2017天津，理15】在中，內(nèi)角所對的邊分別為.已知，.（）求和的值；（）求的值.【答案】 (1) .(2) 【解析】試題分析：利用正弦定理“角轉(zhuǎn)邊”得出邊的關(guān)系，再根
31、據(jù)余弦定理求出，進而得到，由轉(zhuǎn)化為，求出，進而求出，從而求出的三角函數(shù)值，利用兩角差的正弦公式求出結(jié)果.試題解析：（）在中，因為，故由，可得.由已知及余弦定理，有，所以.由正弦定理,得.所以，的值為，的值為.（）由（）及，得，所以，.故.考點：正弦定理、余弦定理、解三角形【名師點睛】利用正弦定理進行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系，利用“角轉(zhuǎn)邊”尋求邊的關(guān)系，利用余弦定理借助三邊關(guān)系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數(shù)值. 利用正、余弦定理解三角形問題是高考高頻考點，經(jīng)常利用三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式，結(jié)合正、余弦定理解題.11.【2016年高考北京理數(shù)】（本小題13分）在ABC中，.（1
32、）求 的大??；（2）求 的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）根據(jù)余弦定理公式求出的值，進而根據(jù)的取值范圍求的大?。豢键c：1.三角恒等變形；2.余弦定理.【名師點睛】正、余弦定理是應(yīng)用極為廣泛的兩個定理，它將三角形的邊和角有機地聯(lián)系起來，從而使三角與幾何產(chǎn)生聯(lián)系，為求與三角形有關(guān)的量(如面積、外接圓、內(nèi)切圓半徑和面積等)提供了理論依據(jù)，也是判斷三角形形狀、證明三角形中有關(guān)等式的重要依據(jù)其主要方法有：化角法，化邊法，面積法，運用初等幾何法注意體會其中蘊涵的函數(shù)與方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想12.【2016高考新課標(biāo)1卷】 （本小題滿分為12分）的內(nèi)角A,B,C的對邊分
33、別為a,b,c,已知 （I）求C；（II）若的面積為,求的周長【答案】（I）（II）【解析】試題分析：（I）先利用正弦定理進行邊角代換化簡得得,故；（II）根據(jù)及得再利用余弦定理得 再根據(jù)可得的周長為試題解析：（I）由已知及正弦定理得,即故可得,所以（II）由已知,又,所以由已知及余弦定理得,故,從而所以的周長為考點：正弦定理、余弦定理及三角形面積公式【名師點睛】三角形中的三角變換常用到誘導(dǎo)公式, ,就是常用的結(jié)論,另外利用正弦定理或余弦定理處理條件中含有邊或角的等式,?？紤]對其實施“邊化角”或“角化邊.”13.【2016高考山東理數(shù)】（本小題滿分12分）在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a
34、，b，c，已知 （）證明：a+b=2c;（）求cosC的最小值.【答案】（）見解析；（）【解析】試題分析：（）根據(jù)兩角和的正弦公式、正切公式、正弦定理即可證明；（）根據(jù)余弦定理公式表示出cosC，由基本不等式求cosC的最小值.試題解析：由題意知，化簡得，即.因為,所以.從而.由正弦定理得.考點：1.和差倍半的三角函數(shù)；2. 正弦定理、余弦定理；3. 基本不等式.【名師點睛】此類題目是解三角形問題中的典型題目，可謂相當(dāng)經(jīng)典.解答本題，關(guān)鍵在于能利用三角公式化簡三角恒等式，利用正弦定理實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，達(dá)到證明目的；三角形中的求角問題，往往要利用余弦定理用邊表示角的函數(shù).本題覆蓋面較廣，能較好的考查
35、考生的基本運算求解能力及復(fù)雜式子的變形能力等.9. 14【2015江蘇高考，15】（本小題滿分14分）在中，已知.（1）求的長；（2）求的值.【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）已知兩邊及夾角求第三邊，應(yīng)用余弦定理，可得的長，（2）利用（1）的結(jié)果，則由余弦定理先求出角C的余弦值，再根據(jù)平方關(guān)系及三角形角的范圍求出角C的正弦值，最后利用二倍角公式求出的值.試題解析：（1）由余弦定理知，所以（2）由正弦定理知，所以因為，所以為銳角，則因此【考點定位】余弦定理，二倍角公式【名師點晴】如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用
36、正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到已知兩角和一邊或兩邊及夾角，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，本題解是唯一的，注意開方時舍去負(fù)根.15.【2016高考江蘇卷】（本小題滿分14分）在中，AC=6，（1）求AB的長；（2）求的值. 【答案】（1）(2) 【解析】試題分析：（1）利用同角三角函數(shù)關(guān)系求 再利用正弦定理求 (2)利用誘導(dǎo)公式及兩角和余弦公式分別求，最后根據(jù)兩角差余弦公式求，注意開方時正負(fù)取舍.試題解析：解（1）因為所以由正弦定理知，所以考點：同角三角函數(shù)關(guān)系，正余弦定理，兩角和與差公式【名師點睛】三角函數(shù)是以角為自變量
37、的函數(shù)，因此解三角函數(shù)題，首先從角進行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的變換.角的變換涉及誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角和與差公式、二倍角公式、配角公式等，選用恰當(dāng)?shù)墓?，是解決三角問題的關(guān)鍵，明確角的范圍，對開方時正負(fù)取舍是解題正確的保證.16【2015高考新課標(biāo)2，理17】（本題滿分12分）中，是上的點，平分，面積是面積的2倍()求；()若，求和的長 【答案】()；()【解析】()，因為，所以由正弦定理可得()因為，所以在和中，由余弦定理得，由()知，所以【考點定位】1、三角形面積公式；2、正弦定理和余弦定理【名師點睛】本題考查了三角形的面積公式、角分線、正弦定理和余弦定理，由角分
38、線的定義得角的等量關(guān)系，由面積關(guān)系得邊的關(guān)系，由正弦定理得三角形內(nèi)角正弦的關(guān)系；分析兩個三角形中和互為相反數(shù)的特點結(jié)合已知條件，利用余弦定理列方程，進而求17.【2015湖南理17】設(shè)的內(nèi)角，的對邊分別為，且為鈍角.（1）證明：；（2）求的取值范圍.【答案】（1）詳見解析；（2）.【解析】試題分析：（1）利用正弦定理，將條件中的式子等價變形為，再結(jié)合條件從而得證；（2）利用（1）中的結(jié)論，以及三角恒等變形，將轉(zhuǎn)化為只與有關(guān)的表達(dá)式，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【考點定位】1.正弦定理；2.三角恒等變形；3.三角函數(shù)的性質(zhì).【名師點睛】本題主要考查了利用正弦定理解三角形以及三角恒等變形等知識點
39、，屬于中檔題，高考解答題對三角三角函數(shù)的考查主要以三角恒等變形，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用正余弦定理解三角形為主，難度中等，因此只要掌握基本的解題方法與技巧即可，在三角函數(shù)求值問題中，一般運用恒等變換，將未知角變換為已知角求解，在研究三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)問題時，一般先運用三角恒等變形，將表達(dá)式轉(zhuǎn)化為一個角的三角函數(shù)的形式求解，對于三角函數(shù)與解三角形相結(jié)合的題目，要注意通過正余弦定理以及面積公式實現(xiàn)邊角互化，求出相關(guān)的邊和角的大小.18.【2015高考新課標(biāo)2，理17】（本題滿分12分）中，是上的點，平分，面積是面積的2倍() 求；()若，求和的長 【答案】()；()【考點定位】1、三角形面積公式；2、正弦定理和余弦定理【名師點睛】本題考查了三角形的面積公式、角分線、正弦定理和余弦定理，由角分線的定義得角的等量關(guān)系，由面積關(guān)系得邊的關(guān)系，由正弦定理得三角形內(nèi)角正弦的關(guān)系；分析兩個三角形中和互為相反數(shù)的特點結(jié)合已知條件，利用余弦定理列方程，進而求47
2018年高考數(shù)學(xué) 破解命題陷阱 專題11 三角形中正弦定理與余弦定理的靈活應(yīng)用
