2018年高考數(shù)學(xué) 命題角度3.1 離散型隨機(jī)變量的分布列與期望、方差大題狂練 理

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1、命題角度3.1 離散型隨機(jī)變量的分布列與期望、方差1某印刷廠的打印機(jī)每5年需淘汰一批舊打印機(jī)并購(gòu)買新機(jī)，買新機(jī)時(shí)，同時(shí)購(gòu)買墨盒，每臺(tái)新機(jī)隨機(jī)購(gòu)買第一盒墨150元，優(yōu)惠0元；再每多買一盒墨都要在原優(yōu)惠基礎(chǔ)上多優(yōu)惠一元，即第一盒墨沒有優(yōu)惠，第二盒墨優(yōu)惠一元，第三盒墨優(yōu)惠2元，依此類推，每臺(tái)新機(jī)最多可隨新機(jī)購(gòu)買25盒墨平時(shí)購(gòu)買墨盒按零售每盒200元公司根據(jù)以往的記錄，十臺(tái)打印機(jī)正常工作五年消耗墨盒數(shù)如下表：消耗墨盒數(shù)22232425打印機(jī)臺(tái)數(shù)1441以這十臺(tái)打印機(jī)消耗墨盒數(shù)的頻率代替一臺(tái)打印機(jī)消耗墨盒數(shù)發(fā)生的概率，記表示兩臺(tái)打印機(jī)5年消耗的墨盒數(shù)(1)求的分布列；(2)若在購(gòu)買兩臺(tái)新機(jī)時(shí)，每臺(tái)機(jī)隨機(jī)

2、購(gòu)買23盒墨，求這兩臺(tái)打印機(jī)正常使用五年在消耗墨盒上所需費(fèi)用的期望【答案】(1) 的分布列為44454647484950P(2) 這兩臺(tái)打印機(jī)正常使用五年所需購(gòu)買墨盒的費(fèi)用的期望為6614元.故的分布列為44454647484950P (2)記表示在題設(shè)條件下，購(gòu)買2臺(tái)新機(jī)使用五年在消耗墨盒上所需的費(fèi)用（單位：元）若在購(gòu)買兩臺(tái)新機(jī)時(shí)，每臺(tái)機(jī)隨機(jī)購(gòu)買23盒墨，則需付款 則 答：這兩臺(tái)打印機(jī)正常使用五年所需購(gòu)買墨盒的費(fèi)用的期望為6614元2.隨著人們對(duì)環(huán)境關(guān)注度的提高，綠色低碳出行越來越受到市民重視. 為此貴陽(yáng)市建立了公共自行車服務(wù)系統(tǒng)，市民憑本人二代身份證到自行車服務(wù)中心辦理誠(chéng)信借車卡借車，初次

3、辦卡時(shí)卡內(nèi)預(yù)先贈(zèng)送20積分，當(dāng)積分為0時(shí)，借車卡將自動(dòng)鎖定，限制借車，用戶應(yīng)持卡到公共自行車服務(wù)中心以1元購(gòu)1個(gè)積分的形式再次激活該卡，為了鼓勵(lì)市民租用公共自行車出行，同時(shí)督促市民盡快還車，方便更多的市民使用，公共自行車按每車每次的租用時(shí)間進(jìn)行扣分收費(fèi)，具體扣分標(biāo)準(zhǔn)如下：租用時(shí)間不超過1小時(shí)，免費(fèi)；租用時(shí)間為1小時(shí)以上且不超過2小時(shí)，扣1分；租用時(shí)間為2小時(shí)以上且不超過3小時(shí)，扣2分；租用時(shí)間超過3小時(shí)，按每小時(shí)扣2分收費(fèi)（不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算）.甲、乙兩人獨(dú)立出行，各租用公共自行車一次，兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過3小時(shí)，設(shè)甲、乙租用時(shí)間不超過1小時(shí)的概率分別是0.4和0.5；租用時(shí)間為1

4、小時(shí)以上且不超過2小時(shí)的概率分別是0.4和0.3.（1）求甲、乙兩人所扣積分相同的概率；（2）設(shè)甲、乙兩人所扣積分之和為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）甲、乙兩人所扣積分相同的概率為0.36，（2）的數(shù)學(xué)期望【解析】試題分析：（1）先確定甲、乙兩人所扣積分相同事件取法:扣0分、扣1分及扣2分，再根據(jù)相互獨(dú)立事件概率乘法公式及互斥事件概率加法公式得所求概率，（2）先確定隨機(jī)變量取法，再分別求對(duì)應(yīng)概率，列表可得分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求期望. （）的可能取值為： ， ， 所以的分布列為： 01234P0.20.320.30.140.04的數(shù)學(xué)期望 答：甲、乙兩人所扣積分相同的概率

5、為0.36， 的數(shù)學(xué)期望3.已知6只小白鼠有1只被病毒感染，需要通過對(duì)其化驗(yàn)病毒來確定是否感染.下面是兩種化驗(yàn)方案：方案甲：逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定感染為止.方案乙：將6只分為兩組，每組三個(gè)，并將它們混合在一起化驗(yàn)，若存在病毒，則表明感染在這三只當(dāng)中，然后逐個(gè)化驗(yàn)，直到確定感染為止；若結(jié)果不含病毒，則在另外一組中逐個(gè)進(jìn)行化驗(yàn).（1）求依據(jù)方案乙所需化驗(yàn)恰好為2次的概率.（2）首次化驗(yàn)化驗(yàn)費(fèi)為10元，第二次化驗(yàn)化驗(yàn)費(fèi)為8元，第三次及其以后每次化驗(yàn)費(fèi)都是6元，列出方案甲所需化驗(yàn)費(fèi)用的分布列，并估計(jì)用方案甲平均需要體驗(yàn)費(fèi)多少元？【答案】（1）；（2）分布列見解析， .試題解析：（2）設(shè)方案甲化驗(yàn)的次數(shù)為

6、，則可能的取值為1,2,3,4,5,對(duì)應(yīng)的化驗(yàn)費(fèi)用為元,則， ， ，則其化驗(yàn)費(fèi)用的分布列為所以（元）.所以甲方案平均需要化驗(yàn)費(fèi)元4.某保險(xiǎn)公司針對(duì)一個(gè)擁有20000人的企業(yè)推出一款意外險(xiǎn)產(chǎn)品，每年每位職工只要交少量保費(fèi)，發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金.保險(xiǎn)公司把企業(yè)的所有崗位共分為、三類工種，從事三類工種的人數(shù)分布比例如圖，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)出三類工種的賠付頻率如下表（并以此估計(jì)賠付頻率）. 對(duì)于、三類工種職工每人每年保費(fèi)分別為元，元，元，出險(xiǎn)后的賠償金額分別為100萬元，100萬元，50萬元，保險(xiǎn)公司在開展此項(xiàng)業(yè)務(wù)過程中的固定支出為每年10萬元.（）若保險(xiǎn)公司要求利潤(rùn)的期望不低于保費(fèi)的20%

7、，試確定保費(fèi)、所要滿足的條件；（）現(xiàn)有如下兩個(gè)方案供企業(yè)選擇；方案1：企業(yè)不與保險(xiǎn)公司合作，企業(yè)自行拿出與保險(xiǎn)提供的等額的賠償金額賠付給出險(xiǎn)職工；方案2：企業(yè)于保險(xiǎn)公司合作，企業(yè)負(fù)責(zé)職工保費(fèi)的60%，職工個(gè)人負(fù)責(zé)保費(fèi)的40%，出險(xiǎn)后賠償金由保險(xiǎn)公司賠付.若企業(yè)選擇翻翻2的支出（不包括職工支出）低于選擇方案1的支出期望，求保費(fèi)、所要滿足的條件，并判斷企業(yè)是否可與保險(xiǎn)公司合作.（若企業(yè)選擇方案2的支出低于選擇方案1的支出期望，且與（）中保險(xiǎn)公司所提條件不矛盾，則企業(yè)可與保險(xiǎn)公司合作.）【答案】（）元；（）企業(yè)有可能與保險(xiǎn)公司合作.試題解析：（）設(shè)工種，職工的每份保單保險(xiǎn)公司的效益為隨機(jī)變量，則，的

8、分布列為保險(xiǎn)公司期望收益，.根據(jù)要求.解得，所以每張保單的保費(fèi)需要滿足元.結(jié)果與（）不沖突，所以企業(yè)有可能與保險(xiǎn)公司合作. 5.如圖，小華和小明兩個(gè)小伙伴在一起做游戲，他們通過劃拳（剪刀、石頭、布）比賽決勝誰首先登上第3個(gè)臺(tái)階，他們規(guī)定從平地開始，每次劃拳贏的一方登上一級(jí)臺(tái)階，輸?shù)囊环皆夭粍?dòng)，平局時(shí)兩個(gè)人都上一級(jí)臺(tái)階，如果一方連續(xù)兩次贏，那么他將額外獲得一次上一級(jí)臺(tái)階的獎(jiǎng)勵(lì)，除非已經(jīng)登上第3個(gè)臺(tái)階，當(dāng)有任何一方登上第3個(gè)臺(tái)階時(shí)，游戲結(jié)束，記此時(shí)兩個(gè)小伙伴劃拳的次數(shù)為（1）求游戲結(jié)束時(shí)小華在第2個(gè)臺(tái)階的概率；（2）求的分布列和數(shù)學(xué)期望【答案】（1）（2）試題解析：解：（1）易知對(duì)于每次劃拳比賽

9、基本事件共有個(gè)，其中小華贏（或輸）包含三個(gè)基本事件上，他們平局也為三個(gè)基本事件，不妨設(shè)事件“第次劃拳小華贏”為；事件“第 次劃拳小華平”為；事件“第 次劃拳小華輸”為，所以因?yàn)橛螒蚪Y(jié)束時(shí)小華在第2個(gè)臺(tái)階，所以這包含兩種可能的情況：第一種：小華在第1個(gè)臺(tái)階，并且小明在第2個(gè)臺(tái)階，最后一次劃拳小華平；其概率為，第二種：小華在第2個(gè)臺(tái)階，并且小明也在第2個(gè)臺(tái)階，最后一次劃拳小華輸，其概率為所以游戲結(jié)束時(shí)小華在第2個(gè)臺(tái)階的概率為（2）依題可知的可能取值為2、3、4、5，所以的分布列為：2345所以的數(shù)學(xué)期望為：6.為吸引顧客，某公司在商場(chǎng)舉辦電子游戲活動(dòng).對(duì)于兩種游戲，每種游戲玩一次均會(huì)出現(xiàn)兩種結(jié)果，

10、而且每次游戲的結(jié)果相互獨(dú)立，具體規(guī)則如下：玩一次游戲，若綠燈閃亮，獲得分，若綠燈不閃亮，則扣除分（即獲得分），綠燈閃亮的概率為；玩一次游戲，若出現(xiàn)音樂，獲得分，若沒有出現(xiàn)音樂，則扣除分（即獲得分），出現(xiàn)音樂的概率為.玩多次游戲后累計(jì)積分達(dá)到分可以兌換獎(jiǎng)品.（1）記為玩游戲和各一次所得的總分，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）記某人玩次游戲，求該人能兌換獎(jiǎng)品的概率.【答案】（1）詳見解析；（2）.試題解析：（1）隨機(jī)變量的所有可能取值為，分別對(duì)應(yīng)以下四種情況：玩游戲，綠燈閃亮，且玩游戲，出現(xiàn)音樂；玩游戲，綠燈不閃亮，且玩游戲，出現(xiàn)音樂；玩游戲，綠燈閃亮，且玩游戲，沒有出現(xiàn)音樂；玩游戲，綠燈不閃

11、亮，且玩游戲，沒有出現(xiàn)音樂，所以， ， ，即的分布列為.7.教育學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)加強(qiáng)語文樂隊(duì)理解訓(xùn)練與提高數(shù)學(xué)應(yīng)用題得分率有關(guān)，某校興趣小組為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，從該校選擇甲乙兩個(gè)同軌班級(jí)進(jìn)行試驗(yàn)，其中甲班加強(qiáng)閱讀理解訓(xùn)練，乙班常規(guī)教學(xué)無額外訓(xùn)練，一段時(shí)間后進(jìn)行數(shù)學(xué)應(yīng)用題測(cè)試，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)情況如下面的列聯(lián)表（單位：人）（1）能夠據(jù)此判斷有97.5%把握熱內(nèi)加強(qiáng)語文閱讀訓(xùn)練與提高數(shù)學(xué)應(yīng)用題得分率有關(guān)？ （2）經(jīng)過多次測(cè)試后，小明正確解答一道數(shù)學(xué)應(yīng)用題所用的時(shí)間在57分鐘，小剛正確解得一道數(shù)學(xué)應(yīng)用題所用的時(shí)間在68分鐘，現(xiàn)小明、小剛同時(shí)獨(dú)立解答同一道數(shù)學(xué)應(yīng)用題，求小剛比小明現(xiàn)正確解答完的概率； （3）現(xiàn)從乙班

12、成績(jī)優(yōu)秀的8名同學(xué)中任意抽取兩人，并對(duì)他們點(diǎn)答題情況進(jìn)行全程研究，記A、B兩人中被抽到的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）.【答案】（1）見解析； (2) ；（3）見解析.試題解析：（1）由表中數(shù)據(jù)得的觀測(cè)值 所以根據(jù)統(tǒng)計(jì)有的把握認(rèn)為加強(qiáng)語文閱讀理解訓(xùn)練與提高數(shù)學(xué)應(yīng)用題得分率有關(guān). (2)設(shè)小明和小剛解答這道數(shù)學(xué)應(yīng)用題的時(shí)間分別為分鐘，則基本事件滿足的區(qū)域?yàn)?(如圖所示) 設(shè)事件為“小剛比小明先解答完此題” 則滿足的區(qū)域?yàn)橛蓭缀胃判?即小剛比小明先解答完此題的概率為. （3）可能取值為， ， ， 的分布列為：1.8.某市衛(wèi)生防疫部門為了控制某種病毒的傳染，提供了批號(hào)分別為的五批疫苗，供全

13、市所轄的三個(gè)區(qū)市民注射，每個(gè)區(qū)均能從中任選其中一個(gè)批號(hào)的疫苗接種. （1）求三個(gè)區(qū)注射的疫苗批號(hào)中恰好有兩個(gè)區(qū)相同的概率；（2）記三個(gè)區(qū)選擇的疫苗批號(hào)的中位數(shù)為，求 的分布列及期望.【答案】（1）；（2）詳見解析.試題解析： (1) ( 三個(gè)區(qū)注射的疫苗批號(hào)恰好兩個(gè)區(qū)相同)= .(2) 設(shè)三個(gè)區(qū)選擇的疫苗批號(hào)的中位數(shù)為所有可能取值為.， ，.所以 的分布列：即的期望： .9.交強(qiáng)險(xiǎn)是車主必須為機(jī)動(dòng)車購(gòu)買的險(xiǎn)種，若普通座以下私家車投保交強(qiáng)險(xiǎn)第一年的費(fèi)用（基準(zhǔn)保費(fèi)）統(tǒng)一為元，在下一年續(xù)保時(shí)，實(shí)行的是費(fèi)率浮動(dòng)機(jī)制，保費(fèi)與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系，發(fā)生交通事故的次數(shù)越多，費(fèi)率也就越高，

14、具體浮動(dòng)情況如下表：某機(jī)構(gòu)為了研究某一品牌普通座以下私家車的投保情況，隨機(jī)抽取了輛車齡已滿三年的該品牌同型號(hào)私家車的下一年續(xù)保時(shí)的情況，統(tǒng)計(jì)得到了下面的表格：類型數(shù)量105520155以這輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率，完成下列問題：（）按照我國(guó)機(jī)動(dòng)車交通事故責(zé)任強(qiáng)制保險(xiǎn)條例汽車交強(qiáng)險(xiǎn)價(jià)格的規(guī)定， ，記為某同學(xué)家里的一輛該品牌車在第四年續(xù)保時(shí)的費(fèi)用，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（數(shù)學(xué)期望值保留到個(gè)位數(shù)字）（）某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強(qiáng)險(xiǎn)保費(fèi)高于基本保費(fèi)的車輛記為事故車，假設(shè)購(gòu)進(jìn)一輛事故車虧損元，一輛非事故車盈利元：若該銷售商購(gòu)進(jìn)三輛（車齡已滿三年）該

15、品牌二手車，求這三輛車中至少有一輛事故車的概率；若該銷售商一次購(gòu)進(jìn)輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求他獲得利潤(rùn)的期望值.【答案】（）見解析;（）,見解析.試題解析：（）由題意可知的可能取值為由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知：所以的分布列為： 所以（）由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知任意一輛該品牌車齡已滿三年的二手車為事故車的概率為三輛車中至少有一輛事故車的概率為為該銷售購(gòu)進(jìn)并銷售一輛二手車的利潤(rùn)， 的可能取值為所以的分布列為： -300010000 所以所以該銷售商一次購(gòu)進(jìn)輛該品牌車齡已滿三年的二手車獲得利潤(rùn)的期望值為萬元.10.為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)核素養(yǎng)與抽象（能力指標(biāo)）、推理（能力指標(biāo)）、建模（能力指標(biāo)）的相關(guān)性，并將它們各自

16、量化為1、2、3三個(gè)等級(jí)，再用綜合指標(biāo)的值評(píng)定學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；若，則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為一級(jí)；若，則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為二級(jí)；若，則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為三級(jí)，為了了解某校學(xué)生的數(shù)學(xué)核素養(yǎng)，調(diào)查人員隨機(jī)訪問了某校10名學(xué)生，得到如下結(jié)果：學(xué)生編號(hào)（1）在這10名學(xué)生中任取兩人，求這兩人的建模能力指標(biāo)相同的概率；（2）從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等級(jí)是一級(jí)的學(xué)生中任取一人，其綜合指標(biāo)為，從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等級(jí)不是一級(jí)的學(xué)生中任取一人，其綜合指標(biāo)為，記隨機(jī)變量，求隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）(2) 由題可知，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)一級(jí)：，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不是一級(jí)的：；的可能取值為1,2,3,4,5. 具體如下：學(xué)生編號(hào)綜合指標(biāo)7795786846核心素養(yǎng)等級(jí)一級(jí)一級(jí)一級(jí)二級(jí)一級(jí)一級(jí)二級(jí)一級(jí)三級(jí)二級(jí)（2）由題可知，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)一級(jí)：，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不是一級(jí)的：；的可能取值為1,2,3,4,5. 隨機(jī)變量的分布列為12345 .14