新版【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】高考數(shù)學(xué)北師大版一輪訓(xùn)練:第7篇 第2講 空間圖形的基本關(guān)系與公理

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1、 1 1第2講空間圖形的基本關(guān)系與公理基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí):40分鐘)一、選擇題1(20xx江西七校聯(lián)考)已知直線a和平面,l,a ,a ,且a在,內(nèi)的射影分別為直線b和c,則直線b和c的位置關(guān)系是()A相交或平行B相交或異面C平行或異面D相交、平行或異面解析依題意,直線b和c的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面,選D.答案D2在正方體AC1中,E,F(xiàn)分別是線段BC,CD1的中點(diǎn),則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是()A相交B異面C平行D垂直解析如圖所示,直線A1B與直線外一點(diǎn)E確定的平面為A1BCD1,EF平面A1BCD1,且兩直線不平行,故兩直線相交答案A3設(shè)P表示一個(gè)點(diǎn),a,b表示兩條直線

2、,表示兩個(gè)平面,給出下列四個(gè)命題,其中正確的命題是()Pa,Pa;abP,ba;ab,a,Pb,Pb;b,P,PPb.ABCD解析當(dāng)aP時(shí),Pa,P,但a,錯(cuò);aP時(shí),錯(cuò);如圖,ab,Pb,Pa,由直線a與點(diǎn)P確定唯一平面,又ab,由a與b確定唯一平面,但經(jīng)過(guò)直線a與點(diǎn)P,與重合,b,故正確;兩個(gè)平面的公共點(diǎn)必在其交線上,故正確答案D4(20xx陜西五校聯(lián)考)已知l,m,n是空間中的三條直線,命題p:若ml,nl,則mn;命題q:若直線l,m,n兩兩相交,則直線l,m,n共面,則下列命題為真命題的是()Ap且qBp或qCp或(綈q)D(綈p)且q解析命題p中,m,n可能平行、還可能相交或異面,

3、所以命題p為假命題;命題q中,當(dāng)三條直線交于三個(gè)不同的點(diǎn)時(shí),三條直線一定共面,當(dāng)三條直線交于一點(diǎn)時(shí),三條直線不一定共面,所以命題q也為假命題所以綈p和綈q都為真命題,故p或(綈q)為真命題選C.答案C5. 如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,過(guò)頂點(diǎn)A1與正方體其他頂點(diǎn)的連線與直線BC1成60角的條數(shù)為()A1B2C3D4解析有2條:A1B和A1C1.答案B二、填空題6如果兩條異面直線稱(chēng)為“一對(duì)”,那么在正方體的十二條棱中共有異面直線_對(duì)解析如圖所示,與AB異面的直線有B1C1,CC1,A1D1,DD1四條,因?yàn)楦骼饩哂胁煌奈恢?,且正方體共有12條棱,排除兩棱的重復(fù)計(jì)算,共有異面直線24

4、(對(duì))答案247. 如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,M、N分別為棱C1D1、C1C的中點(diǎn),有以下四個(gè)結(jié)論:直線AM與CC1是相交直線;直線AM與BN是平行直線;直線BN與MB1是異面直線;直線AM與DD1是異面直線其中正確的結(jié)論為_(kāi)(注:把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上)解析A,M,C1三點(diǎn)共面,且在平面AD1C1B中,但C平面AD1C1B,因此直線AM與CC1是異面直線,同理AM與BN也是異面直線,AM與DD1也是異面直線,錯(cuò),正確;M,B,B1三點(diǎn)共面,且在平面MBB1中,但N平面MBB1,因此直線BN與MB1是異面直線,正確答案8(20xx江西卷)如圖,正方體的底面與正四面體的底

5、面在同一平面上,且ABCD,則直線EF與正方體的六個(gè)面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為_(kāi)解析取CD的中點(diǎn)為G,由題意知平面EFG與正方體的左、右側(cè)面所在平面重合或平行,從而EF與正方體的左、右側(cè)面所在的平面平行或EF在平面內(nèi)所以直線EF與正方體的前、后側(cè)面及上、下底面所在平面相交故直線EF與正方體的六個(gè)面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為4.答案4三、解答題9. 如圖,四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形,BADFAB90,BC綊AD,BE綊FA,G,H分別為FA,F(xiàn)D的中點(diǎn)(1)證明:四邊形BCHG是平行四邊形;(2)C,D,F(xiàn),E四點(diǎn)是否共面?為什么?(1)證明由已知FGGA,F(xiàn)HHD,可得GH綊AD.

6、又BC綊AD,GH綊BC,四邊形BCHG為平行四邊形(2)解由BE綊AF,G為FA中點(diǎn)知,BE綊FG,四邊形BEFG為平行四邊形,EFBG.由(1)知BG綊CH,EFCH,EF與CH共面又DFH,C,D,F(xiàn),E四點(diǎn)共面10在正方體ABCDA1B1C1D1中,對(duì)角線A1C與平面BDC1交于點(diǎn)O,AC,BD交于點(diǎn)M,求證:點(diǎn)C1,O,M共線證明如圖所示,A1AC1C,A1A,C1C確定平面A1C.A1C平面A1C,OA1C,O平面A1C,而O平面BDC1線A1C,O平面BDC1,O在平面BDC1與平面A1C的交線上ACBDM,M平面BDC1,且M平面A1C,平面BDC1平面A1CC1M,OC1M,

7、即C1,O,M三點(diǎn)共線能力提升題組(建議用時(shí):25分鐘)一、選擇題1(20xx長(zhǎng)春一模)一個(gè)正方體的展開(kāi)圖如圖所示,A、B、C、D為原正方體的頂點(diǎn),則在原來(lái)的正方體中()AABCDBAB與CD相交CABCDDAB與CD所成的角為60解析如圖,把展開(kāi)圖中的各正方形按圖1所示的方式分別作為正方體的前、后、左、右、上、下面還原,得到圖2所示的直觀圖,可見(jiàn)選項(xiàng)A,B,C不正確正確選項(xiàng)為D.圖2中,BECD,ABE為AB與CD所成的角, ABE為等邊三角形,ABE60.答案D2在正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別為棱AA1, CC1的中點(diǎn),則在空間中與三條直線A1D1,EF,CD都相交的直線(

8、)A不存在B有且只有兩條C有且只有三條D有無(wú)數(shù)條解析法一圖1在EF上任意取一點(diǎn)M,直線A1D1與M確定一個(gè)平面(如圖1),這個(gè)平面與CD有且僅有1個(gè)交點(diǎn)N,當(dāng)M取不同的位置就確定不同的平面,從而與CD有不同的交點(diǎn)N,而直線MN與這3條異面直線都有交點(diǎn)如圖所示故選D.法二在A1D1上任取一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P與直線EF作一個(gè)平面(如圖2),因CD與平面不平行,圖2所以它們相交,設(shè)它們交于點(diǎn)Q,連接PQ,則PQ與EF必然相交,即PQ為所求直線由點(diǎn)P的任意性,知有無(wú)數(shù)條直線與三條直線A1D1,EF,CD都相交答案D二、填空題3.(20xx安徽卷)如圖,正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,P為BC的中點(diǎn)

9、,Q為線段CC1上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是_(寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào))當(dāng)0CQ時(shí),S為四邊形;當(dāng)CQ時(shí),S為等腰梯形;當(dāng)CQ時(shí),S與C1D1的交點(diǎn)R滿足C1R;當(dāng)CQ1時(shí), S為六邊形;當(dāng)CQ1時(shí),S的面積為.解析如圖1,當(dāng)CQ時(shí),平面APQ與平面ADD1A1的交線AD1必平行于PQ,且D1QAP,S為等腰梯形,正確;同理,當(dāng)0CQ時(shí),S為四邊形,正確;圖1圖2如圖2,當(dāng)CQ時(shí),將正方體ABCDA1B1C1D1補(bǔ)成底面不變,高為1.5的長(zhǎng)方體ABCDA2B2C2D2.Q為CC2的中點(diǎn),連接AD2交A1D1于點(diǎn)E,易知PQAD2,作ERAP,交C

10、1D1于R,連接RQ,則五邊形APQRE為截面S.延長(zhǎng)RQ,交DC的延長(zhǎng)線于F,同時(shí)與AP的延長(zhǎng)線也交于F,由P為BC的中點(diǎn),PCAD,知CFDF1,由題意知RC1QFCQ,C1R,正確;由圖2知當(dāng)CQ1時(shí),S為五邊形,錯(cuò)誤;當(dāng)CQ1時(shí),點(diǎn)Q與點(diǎn)C1重合,截面S為邊長(zhǎng)為的菱形,對(duì)角線AQ,另一條對(duì)角線為,S,正確答案三、解答題4如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,(1)求A1C1與B1C所成角的大?。?2)若E,F(xiàn)分別為AB,AD的中點(diǎn),求A1C1與EF所成角的大小解(1)如圖,連接AC,AB1,由ABCDA1B1C1D1是正方體,知AA1C1C為平行四邊形,所以ACA1C1,從而B(niǎo)1C與AC所成的角就是A1C1與B1C所成的角由 AB1C中,由AB1ACB1C可知B1CA60,即A1C1與B1C所成角為60.(2)如圖,連接BD,由(1)知ACA1C1.AC與EF所成的角就是A1C1與EF所成的角EF是ABD的中位線,EFBD.又ACBD,ACEF,即所求角為90.EFA1C1.即A1C1與EF所成的角為90.

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