劉占國《利息理論》習題解答

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1、《利息理論》習題詳解 第一章 利息的基本概念 1、解： （1） 又 （2） （3） 2、解： 3、解： 4、解： （1） （2） 5、證明： （1） （2） 6、證明： （1） 又 （2）由于第5題結論成立，當取時有 7、解： （1）由單利定義有 （2）由復利定義有 8、解： （1）有單利積累公式建立方程有 解得 （2）由復利積累公式建立方程有 解得 9、解： （1）以單利積累計算 （2）以復利積累計算 10、解： 設在第n期等價

2、于5%的實際利率有 又 解得 11、解：設該款項的金額為有 （1）在第三個月單利利息為： 在第三個月復利利息為： （2）在第六個月單利利息為： 在第六個月復利利息為： 12、解：設原始金額為有 解得 13、證明： （1）令有 ， 又 ，即在是單調(diào)減函數(shù)，因此有 當時有，命題得證。 （2）若有：，故命題得證。 （3）由（1）知，當時有，所以，為單調(diào)增函數(shù)，所以當時有，命題得證。 14、證明：設利率是i，則n個時期前的1元錢的當前值為，n個時期后的1元錢的當前值為 又， 當且僅當，等號成立。那么當和時命題成立。 15、解： 又

3、 16、解： （1）對于復利， 所以 （2）對于單利 17、解： （1）對于復利 所以 （2）對于單利 18、解： 表示-1期取到的貼現(xiàn)金額，表示0期單位金額在-1期的現(xiàn)值，同理表示-時期取到的貼現(xiàn)金額，表示0期單位金額在-期的現(xiàn)值。 和分別表示在0時刻投入單位金額在期和1期時獲得的利息金額，和分別表示在0時刻投入單位金額在期和1期時獲得的積累值。 19、解： （1） （2） 20、解： （1）， 所以m=30 （2），所以和（1）有類似的解答m=30。 21、解： 則有 ，又 ，即在是單調(diào)增函數(shù)，即，故 有同前

4、分析可知為單調(diào)減函數(shù) 又，有 ，所以在是單調(diào)增函數(shù)，那么，即。 類似構造函數(shù)可證明。 綜上所述有。 22、解： ， 23、證明： （1） 又， （2）， 由第5題結論得 24、解：， 25、解：設常數(shù)實際利率為i有 解得 26、解： （1）， （2）， （3）， （4）， 27、解： （1）， （2），故類似（1），將在i=0處泰勒展開有 （3），故將在i=0處泰勒展開有 （4），故將在處泰勒展開有 （5），故將在d=0處泰勒展開有 28、證明： ，又 ，其中，原命題得證。 29、解： ， 30、

5、解： 31、解： （1）1997年7月1日到1999年7月1日實際經(jīng)歷了365×2=730天，1999年7月1日到1999年12月20實際經(jīng)歷了31+31+30+31+30+20=173天。共經(jīng)歷730+142=903天。 （2）360×（1999-1997）+30×（12-7）+（20-1）=720+150+19=889天 （3）按銀行家法則計算的天數(shù)與實際計算天數(shù)一樣是903天。 32、解： （1）投資天數(shù)：25+31+31+8=95 投資所得利息：10000×0.1×95/365=260.27397 （2）投資天數(shù)：25+30+30+8=93 投資所得利息：1000

6、0×0.1×93/360=258.33333 （3）投資天數(shù)：25+31+31+8=95 投資所得利息：10000×0.1×95/360=263.88889 33、解： =0.025 又 34、解： 35、解： ，解得t=1.4328年 36、解：設第十年末未付金額為x，有 又 解得x=657.8375 37、解：解得v=0.83333 代v入求得X=1359.84 38、解： 39、解： 故令有又因t>0,故T==0.4142 40、解：，解得j=0.073465 41、解：，有 42、解： 43、解： 解得i=0.058

7、127 44、解：，解得v=0.87111 45、解：，解得i=0.125 46、解：，又因 47、解：，解得j=0.1 48、解：解得i=0.054941 49、解：，解得k=0.0733033 50、解：，解得j=0.0443866 51、解：，解得j=0.079106 52、解：，解得i=0.730274 53、解：，解得j=0.0756375 第二章 年金 1、 證明： ，即原命題得證。 2、 解： 3、 證明： 原命題得證。 4、 解：實際月利率為， 5、 解：， 又，，可得 6、 解：，，解得 即，解得i=0.082

8、99 7、 解：X取得的存款為： 8、 解：，，解得R=12968.71 9、 解：，解得R=15187.48 10、 證明：，又，，原命題得證。 11、 證明：， ，原命題得證。 12、 解：，代入解得K=1800. 13、 解：，表示第一個10年期末投資1元的現(xiàn)值，表示第二個10年期末投資1元的現(xiàn)值，表示第三個10年期末投資1元的現(xiàn)值?？偨Y起來就是連續(xù)30年期末投資1元的現(xiàn)值。 14、 解：，，解得 15、 解：， 16、 解：依題意得：，最接近，所以取n=9，領頭差為2000-50×10.80211-50×26.85508=32.41 17、 解：月利率為

9、0.096/12=0.008， ，，解得n=95.6取整數(shù)n=95， 又，解得f=965.75 18、 證明： 所以將f（i）在i=0處泰勒展開有 19、 解：設每年計息2次的名義利率為，依題意得： ，查表有當時，；當時，，所以，所以 20、 解： 21、 解： 22、 解：設第i期的存款本利和為，依題意得： 又， 23、 解：前6年為i=0.04的期末付款年金，后4年為付款頻率低于計息頻率年金，其中n=16，k=4，，年金現(xiàn)值表示為。所以總年金現(xiàn)值為。 24、 解：設第一次存款額為x，依題意得：該存款可以看作是兩筆間隔期為1年的存款

10、總和，第一筆是從1988年1月1日起存入，之后每年1月1日相繼存入的存款；第二筆是從1988年7月1日起存入，之后每年7月1日相繼存入的存款。 第一筆年金存款額為， 第二筆年金存款額為 計算這兩筆年金的利率為，故根據(jù)付款額成等比數(shù)列關系的年金公式知第一筆年金積累值可表示為，其中n=11。 第二筆年金積累值可表示為，所以 ，解得x=166.756 25、 解：，又代入得，解得n=16.867。又，由拉格朗日定理知道，所以，解得 26、 解：，解得i=0.04。 27、 解：，解得 i=0.06。 28、 解：設3年的實際利率為j，有，又，，解得i=0.195。 29、

11、解：，，又，， ，即 30、 解：， ，即 31、 解：， 32、 解：，，又， ，即 33、 證明：由第一章21題結論可知，所以，同理可證，，，故原命題得證。 34、 解：，，兩式相乘有，解得：（舍去負值） 35、 解：前n年的年金現(xiàn)值是，n年后永續(xù)年金的現(xiàn)值是，所以有 36、 解：，即 ，解得i=0.0629955 37、 解：原每年末支付1元的年金現(xiàn)值為，第二年開始每隔2年多支付1元的年金現(xiàn)值為，所以總年金現(xiàn)值為 38、 解：，又，， 39、 解：，代入有 又，， 40、 解：， 41、 解：因為第六、第七次付款現(xiàn)值相等，所以有，即。由首期付款為P，

12、以后每期比前一期增加Q的期末付永續(xù)年金公式有，這里P=1，Q=2，。所以 42、 解：該存款可分為兩部分，第一部分每年年初存1000元，共存5年；第二部分從第6年起存1000×（1+0.05）=1050元，之后每年遞增5%，共存5年。第一部分積累值為，第二部分的積累值為，所以。 43、 證明： 44、 證明：， ， 又， ，即， ，原命題得證。 45、 解：，解得K=2606 46、 解：由付款頻率高于計息頻率的年金公式知，解得R=472.05714。又，解得，所以。 47、 解： 48、 解：，， 49、 解： （1） （2） 50、解：，，

13、有， 第三章 收益率 1、 解：，解得v=，所以i= 2、 解： 3、 解：， ， ，解得，所以i=0.1976 4、 解：，解得v=0.95238或v=0.97087，所以i=0.05或i=0.03。 5、 解：，又， 6、 解：，又 ，即，解得v=0.92，所以i=0.08688 7、 解：設股票年收入價格為P，依題意得，解得v=0.8929，所以i=0.11995 8、 解：，解得k=0.14117 9、 證明：設每年投資款項為R，有， ，即 10、 證明： 11、 解：，解得i=0.0616 12、 解：，解得i=0.115，乙的投資本利和

14、為 13、 解：， 14、 解：，其中， ， 15、 解：，，即， 16、 解：，解得j=0.04438 17、 解： 解得k=979.92 18、 解：，當資金收入的平均時間為時，， 19、 解：（1）， （2）， 20、 解：，，又 ，解得i=0.045 21、 解： 同理可求得， 22、 解：，所以選擇第一種付款方式 23、 解：， ，解得i=0.295 24、 解：由題意有方程組 ，解方程組后得 25、 解：，A=273000，B=372000，I=1800，代入有k=0.66667 所以12×0.66667=8個月，投入或收回

15、凈資金的時間是9月1日。 26、 解：以1990年首次付款為例有一年后的兩年期遠期利率滿足，解得f=0.0815 三年后的兩年期遠期利率滿足，解得f=0.086 27、 略 28、 第四章 債務償還 1、 解：用過去法有 2、 解：一次性還款利息為，均衡還款的利息為，所以，解得X=700 3、 解：設最初貸款額為X，有，解得X=16514 4、 解：年利率為i，每年還款中本金部分為，則，同理當年利率為2i時，有等式，解方程組得i=0.069 5、 解： （1） 過去法： （2） 未來法： 6、 證明：， （1） （2），這里因為貸款余額越來越小，所以，，即

16、有 7、解：本問題屬于有n=10個計息期，每個計息期償還貸款m=12次問題。第40次還款的貸款余額為 8、解： 9、解：設在第k次還款時利息部分與本金部分最接近，有，即，解得k=12.96，取整數(shù)有k=13。 10、解：， 由解得， 11、解：，，所以最后5次還款中的本金部分為，代入得 12、證明：因為在第7次還款時額外還了第8次的本金，那么第8次還款就不需要，這樣就省掉了第8次需要還的利息，以后的還款繼續(xù)從第9次開始，所以總共節(jié)省了利息。 13、解：解方程組有P=144，v=0.9057， 14、解：設L、N的貸款總額為B，L每次還款額為，N每次還本金，當 成立時有，

17、取整數(shù)有t=13 15、解：按還款額成等比數(shù)列的公式有，其中，解得P=493.85 16、解：沒半年還款一次，總共還款10次，所以第8次還款中本金部分為 17、解：依題意得第3次還款中本金部分為3000-2000=1000，即，其中，代入解得，所以第6次還款中本金部分為 18、解：本問題是付款次數(shù)多于計息次數(shù)的問題，，所以利息收入為 19、解：設每月利息為j，則，所以每月還款額為，又，解得k=120。所以整個還款期利息支出為 20、解： 21、證明：，，即 22、證明：，所以第6次還款中利息值為 23、解：（1）用過去法有 （2）用（1）方法求得，所以第3次還款中的本金

18、為 24、解：，解得i=0.04 25、解： 26、證明：因為貸款余額用過去法和將來發(fā)計算得到的結果相等，即， 27、解：因為每年還款余額呈線性關系由1減至0，所以第t年的貸款余額可以表示為。 （1）前5年還款中本金部分為 （2）前5年還款中利息部分為 28、解：第13次付款中的凈利息為，第9年償債基本增長額為，兩者之和為355.69+328.61=684.30 29、解：每次償還本金值為，第5次還款前的累積還款基本額為，所以第5次還款總數(shù)為 30、解：（1）由于采用償債基本，所以第11次還款中的利息為10000×0.1=1000 （2）第11次還款中的本金為1500-10

19、00=500 （3）第11年的凈利息支出為1000-5000×0.08=600 （4）第11年的凈本金支出額為1500-600=900 （5）第11年末的償債基金積累值為5000（1+0.08）+500=5900 31、證明：， 32、解：，解得X=676.43 33、解：設貸款額為X，依題意得，解得X=7610.48 34、解：本問題可看作是沒半年還款一次的償債基金問題，在前10期利率為0.12/2=0.06，后10期的利率為0.1/2=0.05，基本的存款利率為每期0.08/2=0.04。前5年支付的本金為1000-12000×0.06=280，后5年支付的本金為1000-12000×0.05=400。所以在第10年末貸款額與基金積累額之差為 35、解：，解得i=0.07 36、解：，所以第1期支付本金為X-5000，按支付額等差數(shù)列形式公式得，解得X=8295.43 25