備戰(zhàn)2018年高考數(shù)學 解答題高分寶典 專題03 概率與統(tǒng)計（核心考點）文

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1、 專題03概率與統(tǒng)計 核心考點一古典概型 古典概型是高考考查熱點，但一般不單獨出現(xiàn)在解答題中，常與統(tǒng)計及其他知識結合在一起考查，難度中等或中等以下. 【經(jīng)典示例】（2017山東卷文16）某旅游愛好者計劃從3個亞洲國家,,和3個歐洲國家,,中選擇2個國家去旅游. （1）若從這6個國家中任選2個,求這2個國家都是亞洲國家的概率； （2）若從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個,求這2個國家包括但不包括的概率. 答題模板 第一步，判斷試驗是否為古典概型； 第二步，利用列舉法或排列組合知識求出總的基本事件總數(shù)與事件包含的基本事件數(shù)； 第三步，利用公式，求出事件的概率.含有至多至少類型的概

2、率問題，可考慮其對立事件的概率，用求解． 【滿分答案】(1)由題意知,從6個國家中任選2個國家,其一切可能的結果組成的基本事件有： 共15個, 所選2個國家都是亞洲國家的事件所包含的基本事件有：,共3個, 則所求事件的概率為. (2) 從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個,其一切可能的結果組成的基本事件有：,共9個,包括但不包括的事件所包含的基本事件有：共2個.則所求事件的概率為. 【解題技巧】1.利用古典概型求事件A的概率,關鍵是要分清基本事件總數(shù)n與事件A包含的基本事件數(shù)m.如果基本事件的個數(shù)比較少,可用列舉法把古典概型試驗所含的基本事件一一列舉出來,然后再求出事件A中的基本事件數(shù)

3、,利用公式P(A)＝求出事件A的概率。對于古典概型的概率計算問題,常見錯誤是基本事件數(shù)列舉重復或遺漏,導致計數(shù)錯誤,避免此類錯誤發(fā)生的最有效方法是按照某種標準進行列舉,如果基本事件個數(shù)比較多,可借助于列表法或樹形圖. 2.對于復雜概率的計算一般要先設出事件,準確地確定事件的性質,常見的處理方法有： ①轉化為幾個互斥事件的和,利用互斥事件的加法公式求解； ②采用間接法,先求事件A的對立事件的概率,再由P(A)＝1－P()求事件A的概率. 模擬訓練 1．某園林基地培育了一種新觀賞植物，經(jīng)過一年的生長發(fā)育，技術人員從中抽取了部分植株的高度(單位：厘米)作為樣本(樣本容量為n)進行統(tǒng)計，按照

4、[50,60)，[60,70，)[70,80)，[80,90)，[90,100]的分組作出頻率分布直方圖，并作出樣本高度的莖葉圖(圖中僅列出了高度在[50,60)，[90,100]的數(shù)據(jù))． (1)求樣本容量n和頻率分布直方圖中的x、y的值； (2)在選取的樣本中，從高度在80厘米以上(含80厘米)的植株中隨機抽取2株，求所抽取的2株中至少有一株高度在[90,100]內的概率． 【解析】(1)由題意可知，樣本容量n＝＝50，y＝＝0.004， x＝0.100－0.004－0.010－0.016－0.040＝0.030. 其中2株的高度都不在[90,100]內的情況有10種，分

5、別為：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a4，a5)． 所以所抽取的2株中至少有一株高度在[90,100]內的概率P＝1－＝. 核心考點二頻率分布直方圖與莖葉圖 頻率分布直方圖及莖葉圖一直是高考考查的熱點，這類問題大多緊密結合社會實際,以現(xiàn)實生活為背景設置試題,注重知識的綜合應用與實際應用,作為考查實踐能力的重要載體,命題者要求考生會收集、整理、分析數(shù)據(jù),能從大量數(shù)據(jù)中抽取對研究問題有用的信息,建立數(shù)學模型,再應用數(shù)學原理和數(shù)學工具解決實際問題.該類問題閱讀量一般比較大,但難度

6、多為中等或中等偏易. 【經(jīng)典示例】我國是世界上嚴重缺水的國家,某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水,計劃調整居民生活用水收費方案,擬確定一個合理的月用水量標準（噸）、一位居民的月用水量不超過的部分按平價收費,超出的部分按議價收費.為了了解居民用水情況,通過抽樣,獲得了某年位居民每人的月均用水量（單位：噸）,將數(shù)據(jù)按照,,,分成組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖. （1）求直方圖中的值； （2）設該市有萬居民,估計全市居民中月均用水量不低于噸的人數(shù),請說明理由； （3）若該市政府希望使的居民每月的用水量不超過標準（噸）,估計的值,并說明理由. 答題模板 第一步，讀懂題意，確定各組頻率；

7、. 第二步，利用概率之和為1，求的值； 第三步，用頻率分別直方圖估計平均數(shù). 第四步，用樣本數(shù)據(jù)對總體進行估計代換. 【滿分答案】（1）由頻率分布直方圖知,月均用水量在中的頻率為,同理,在,,,,,中的頻率分別為,,,,,. 由,解得. （2）由（1）,位居民每人月均用水量不低于噸的頻率為. 由以上樣本的頻率分布,可以估計全市萬居民中月均用水量不低于噸的人數(shù)為. （3）因為前組的頻率之和為, 而前組的頻率之和為, 所以由,解得. 【解題技巧】 1.解決頻率分布直方圖問題時要抓住： (1)直方圖中各小長方形的面積之和為1.(2)直方圖中縱軸表示,故每組樣本的頻率為組距×

8、,即矩形的面積．(3)直方圖中每組樣本的頻數(shù)為頻率×總體數(shù)． 2.頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)的關系： (1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數(shù)；(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；(3)平均數(shù)等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和，即平均數(shù)=． 模擬訓練 2．某市為了考核甲、乙兩部門的工作情況，隨機訪問了50位市民．根據(jù)這50位市民對這兩部門的評分(評分越高表明市民的評價越高)，繪制莖葉圖如下： (1)分別估計該市的市民對甲、乙兩部門評分的中位數(shù)； (2)分別估計該市的市民對甲、乙兩部門的評分高于90的概率； (3)

9、根據(jù)莖葉圖分析該市的市民對甲、乙兩部門的評價． 【解析】(1)由所給莖葉圖知，50位市民對甲部門的評分由小到大排序，排在第25,26位的是75,75，故樣本中位數(shù)為75，所以該市的市民對甲部門評分的中位數(shù)的估計值是75. 50位市民對乙部門的評分由小到大排序，排在第25,26位的是66,68，故樣本中位數(shù)為＝67，所以該市的市民對乙部門評分的中位數(shù)的估計值是67. 核心考點三平均數(shù)與方差的應用 平均數(shù)和方差是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明的闡述．平均數(shù)描述總體的平均水平,方差反映了數(shù)據(jù)偏離于平均數(shù)的程度,它們從整體和全局上刻畫了總體特征,是生產實際中用于方案取舍的重要的理論依據(jù)

10、, 【經(jīng)典示例】某公司計劃購買1臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰．機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元．在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元．現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖. 記表示臺機器在三年使用期內需更換的易損零件數(shù)，表示臺機器在購買易損零件上所需的費用（單位：元），表示購機的同時購買的易損零件數(shù)． （1）若，求與的函數(shù)解析式； （2）若要求 “需更換的易損零件數(shù)不大于”的頻率不小于，求的最小值； （3）假設這臺機器在購機的同時每臺都

11、購買個易損零件，或每臺都購買個易損零件，分別計算這臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)，以此作為決策依據(jù)，購買臺機器的同時應購買個還是個易損零件？ 答題模板 第一步，用分段函數(shù)表示與的函數(shù)解析式；. 第二步，由柱狀圖確定更換易損零件數(shù)的頻率； 第三步，根據(jù)購買易損零件上所需費用的平均數(shù)的大小進行選擇. 【滿分答案】（1）當時，（元）； 當時，（元）， 所以． （2）由柱狀圖可知更換易損零件數(shù)的頻率如表所示. 更換的易損零件數(shù) 16 17 18 19 20 21 頻率 0.06 0.16 0.24 0.24 0.20 0.10 所以更換易損零件數(shù)不

12、大于18的頻率為：， 更換易損零件數(shù)不大于19的頻率為：，故最小值為． （3）若每臺都購買個易損零件，則這臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)為： （元）； 若每臺都夠買個易損零件，則這臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)為： （元）. 因為，所以購買臺機器的同時應購買個易損零件． 【解題技巧】 1.利用平均數(shù)與方差進行決策，一般先比較平均數(shù),若平均數(shù)相同,再用方差來決定． 2.平均數(shù)、方差公式的推廣：若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為，方差為s2，則數(shù)據(jù)mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)為m＋a，方差為m2s2. 模擬訓練 3.某公司為了解用戶對其產品

13、的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機調查了40個用戶，根據(jù)用戶對產品的滿意度評分，得出A地區(qū)用戶滿意評分的頻率分布直方圖和B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表. B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表 滿意度評分分組 [50,60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100) 頻數(shù) 2 8 14 10 6 (1)在答題卡上作出B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖，并通過直方圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度（不要求計算出具體值，給出結論即可）. (2)根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度分為三個等級： 滿意度評分 低于70分 70分到89

14、分 不低于90分 滿意度等級 不滿意 滿意 非常滿意 估計哪個地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大？說明理由. 【解析】(1)通過兩地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖可以看出，B地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于A地區(qū)用戶滿意度評分的平均值；B地區(qū)用戶滿意度評分比較集中，而A地區(qū)用戶滿意度評分比較分散. 核心考點四回歸分析 高考對回歸分析的考查方向比較固定，即先根據(jù)數(shù)據(jù)確定回歸方程，再根據(jù)散點圖或相關系數(shù)判斷相關性的強弱，最后根據(jù)回歸方程進行預測，此類問題運算量一般較大，要注意運算的準確性. 【經(jīng)典示例】下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）

15、的折線圖 （1）由折線圖看出,可用線性回歸模型擬合與的關系,請用相關系數(shù)加以說明 （2）建立關于的回歸方程（系數(shù)精確到）,預測年我國生活垃圾無害化處理量. 參考數(shù)據(jù)：,,,. 參考公式：相關系數(shù) 回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為： 答題模板 第一步，利用散點圖或相關系數(shù)r,確定兩個變量的相關程度的高低； 第二步，用最小二乘法求回歸直線方程＝x＋； 第三步，利用回歸直線方程進行預報； 第四步，對于非線性(可線性化)的回歸分析,一般是利用條件及我們熟識的函數(shù)模型,將題目中的非線性關系轉化為線性關系進行分析,最后還原． 【滿分答案】（1）由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參

16、考數(shù)據(jù)得,,, ,. 因為與的相關系數(shù)近似為,說明與的線性相關程度相當高,從而可以用線性回歸模型擬合與的關系. （1）變量與的相關系數(shù), 又,,,,, 所以,故可用線性回歸模型擬合變量與的關系. （2）,,所以, ,所以線性回歸方程為. 當時,.因此,我們可以預測2016年我國生活垃圾無害化處理億噸. 【解題技巧】線性回歸分析問題的類型 (1)利用回歸方程進行預測，把線性回歸方程看作一次函數(shù)，求函數(shù)值． (2)利用回歸直線判斷正、負相關；決定正相關還是負相關的是系數(shù). (3)回歸方程的擬合效果，可以利用相關系數(shù)判斷，當|r|越趨近于1時，兩變量的線性相關性越強． 模

17、擬訓練 4．某品牌手機廠商推出新款的旗艦機型，并在某地區(qū)跟蹤調查得到這款手機上市時間 (x個月)和市場占有率(y%)的幾組相關對應數(shù)據(jù)： x 1 2 3 4 5 y 0.02 0.05 0.1 0.15 0.18 (1)根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程； (2)根據(jù)上述回歸方程，分析該款旗艦機型市場占有率的變化趨勢，并預測自上市起經(jīng)過多少個月，該款旗艦機型市場占有率能超過0.5%(精確到月)．附：＝，＝－. 所以線性回歸方程為＝0.042x－0.026. (2)由(1)中的回歸方程可知，上市時間與市場占有率正相關，即上市時間每增加1

18、個月，市場占有率約增加0.042個百分點．由＝0.042x－0.026>0.5，解得x≥13， 故預計上市13個月時，該款旗艦機型市場占有率能超過0.5%. 核心考點五獨立性檢驗 在高考中獨立性檢驗常與抽樣方法、樣本對總體的估計等知識結合在一起考查，難度多為中等或中等以下，屬于得分題. 【經(jīng)典示例】某工廠有25周歲以上(含25周歲)工人300名,25周歲以下工人200名．為研究工人的日平均生產量是否與年齡有關,現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從中抽取了100名工人,先統(tǒng)計了他們某月的日平均生產件數(shù),然后按工人年齡在“25周歲以上(含25周歲)”和“25周歲以下”分為兩組,再將兩組工人的日平均生產

19、件數(shù)分成5組：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分別加以統(tǒng)計,得到如圖所示的頻率分布直方圖 (1)從樣本中日平均生產件數(shù)不足60件的工人中隨機抽取2人,求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的概率； (2)規(guī)定日平均生產件數(shù)不少于80件者為“生產能手”,請你根據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認為“生產能手與工人所在的年齡組有關”？ 附：K2＝ P(K2≥k) 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 答題模板 第一步，假設兩個分類變量

20、x與y沒有關系； 第二步，計算出K2的觀測值,其中K2＝； 第三步，把K2的值與臨界值比較,作出合理的判斷． 【滿分答案】(1)由已知得,樣本中有25周歲以上組工人60名,25周歲以下組工人40名,所以,樣本中日平均生產件數(shù)不足60件的工人中,25周歲以上組工人有60×0.05＝3(人),25周歲以下組工人有40×0.05＝2(人),從5名工人中隨機抽取2人有C＝10種情形,每種情形都是等可能出現(xiàn)的,其中至少抽到一名“25周歲以下組”工人有CC＋C＝7種,故所求概率P＝. (2)由頻率分布直方圖可知,在抽取的100名工人中,“25周歲以上組”中的生產能手有60×0.25＝15(人),“

21、25周歲以下組”中的生產能手有40×0.375＝15(人),據(jù)此可得2×2列聯(lián)表如圖所示： 生產能手 非生產能手 合計 25周歲以上組 15 45 60 25周歲以下組 15 25 40 合計 30 70 100 所以K2＝＝＝≈1.79. 因為1.79<2.706,所以沒有90%的把握認為“生產能手與工人所在的年齡組有關” . 【解題技巧】 (1)在列聯(lián)表中注意事件的對應及相關值的確定,不可混淆． (2)在實際問題中,獨立性檢驗的結論僅是一種數(shù)學關系表述,得到的結論有一定的概率出錯． (3)對判斷結果進行描述時,注意對象的選取要準確無誤,應是對假

22、設結論進行的含概率的判斷,而非其他． 模擬訓練 5.某公司為評估兩套促銷活動方案（方案1運作費用為5元/件；方案2的運作費用為2元/件）,在某地區(qū)部分營銷網(wǎng)點進行試點（每個試點網(wǎng)點只采用一種促銷活動方案）,運作一年后,對比該地區(qū)上一年度的銷售情況,制作相應的等高條形圖如圖所示． （1）請根據(jù)等高條形圖提供的信息,為該公司今年選擇一套較為有利的促銷活動方案（不必說明理由）； （2）已知該公司產品的成本為10元/件（未包括促銷活動運作費用）,為制定本年度該地區(qū)的產品銷售價格,統(tǒng)計上一年度的8組售價（單位：元/件,整數(shù)）和銷量（單位：件）（）如下表所示： 售價 33 35 37 39 41 43 45 47 銷量 840 800 740 695 640 580 525 460 ① 請根據(jù)下列數(shù)據(jù)計算相應的相關指數(shù),并根據(jù)計算結果,選擇合適的回歸模型進行擬合； ② 根據(jù)所選回歸模型,分析售價定為多少時？利潤可以達到最大. 49428.74 11512.43 175.26 124650 （附：相關指數(shù)） 因為,所以采用回歸模型進行擬合最為合適. ②由（1）可知,采用方案1的運作效果較方案2好, 故年利潤, , 當時, 單調遞增； 當時, 單調遞減,故當售價時,利潤達到最大. 13