2018年高考數(shù)學(xué) 常見題型解法歸納反饋訓(xùn)練 第37講 數(shù)列通項(xiàng)的求法二（構(gòu)造法）

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1、 第37講 數(shù)列通項(xiàng)的求法二（構(gòu)造法） 【知識(shí)要點(diǎn)】 一、數(shù)列的通項(xiàng)公式 如果數(shù)列的第項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.即.不是每一個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式.不是每一個(gè)數(shù)列只有一個(gè)通項(xiàng)公式. 二、構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng) 類型一：已知，一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng). 類型二：已知數(shù)列，一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng). 類型三：已知，一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比或等差數(shù)列求通項(xiàng). 類型四：已知，一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng). 類型五：已知，一般利用倒數(shù)構(gòu)造等差數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng). 類型六：已知，一般利用取對(duì)數(shù)構(gòu)造等比數(shù)列.

2、 【方法講評(píng)】 類型一 構(gòu)造法一 使用情景 已知 解題步驟 一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng). 【例1】已知數(shù)列{}滿足=1，= ()，求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式. 【點(diǎn)評(píng)】（1）已知，一般可以利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，其公比為（2）注意數(shù)列的首項(xiàng)為，不是對(duì)新數(shù)列的首項(xiàng)要弄準(zhǔn)確. 【反饋檢測(cè)1】已知數(shù)列{}中，=2，= ，求{}的通項(xiàng)公式. 類型二 構(gòu)造法二 使用情景 已知數(shù)列 解題步驟 一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng). 【例2 】已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 由及⑨式，得 則，故數(shù)列為以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，因此，則.

3、 【點(diǎn)評(píng)】本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，其中要用到待定系數(shù)法，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式. 【反饋檢測(cè)2】 在數(shù)列{}中，，=6 ，求通項(xiàng)公式. 類型三 構(gòu)造法三 使用情景 已知 解題步驟 一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比或等差數(shù)列求通項(xiàng). 【例3 】已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 【點(diǎn)評(píng)】（1）本題的一個(gè)關(guān)鍵是先要把變成,這樣才便于后面構(gòu)造數(shù)列,否則不方便構(gòu)造. （2）換元之后原等式變成，即型，又可以利用前面的構(gòu)造方法構(gòu)造一個(gè)等比數(shù)列求數(shù)列通項(xiàng). 【反饋檢測(cè)3】已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 【例4】

4、 已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 【點(diǎn)評(píng)】（1）本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，說(shuō)明數(shù)列是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）已知，有時(shí)可以構(gòu)造等比數(shù)列，有時(shí)可以構(gòu)造等差數(shù)列，本題是構(gòu)造等比數(shù)列，此時(shí)的系數(shù)和指數(shù)函數(shù)的底數(shù)相同. 【反饋檢測(cè)4】數(shù)列{}滿足且. 求、、； 是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使此數(shù)列為等差數(shù)列？若存在求出的值及；若不存在，說(shuō)明理由. 類型四 構(gòu)造法四 使用情景 已知 解題步驟 一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng). 【例5】 數(shù)列中，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 【解析】 比較系數(shù)得 若取 【

5、點(diǎn)評(píng)】（1）遞推式為時(shí)，可以設(shè)，其待定系數(shù)求出，從而得到一個(gè)等比數(shù)列.（2）這種特征的構(gòu)造一般要結(jié)合其它方法才能得出結(jié)果.此題就結(jié)合了累差法. 【反饋檢測(cè)5】在數(shù)列{}中，，當(dāng)， ① 求通項(xiàng)公式. 類型五 構(gòu)造法五 使用情景 已知 解題步驟 一般利用倒數(shù)構(gòu)造等差數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng). 【例6】已知數(shù)列滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 【解析】取倒數(shù) ∴ 【點(diǎn)評(píng)】（1）形如遞推式，考慮函數(shù)倒數(shù)關(guān)系有 型.（2）對(duì)于形如 的也可以在方程的兩邊同時(shí)除以，再構(gòu)造等差數(shù)列. 【反饋檢測(cè)6】 已知數(shù)列{}中，其中，且當(dāng)時(shí)，，求通項(xiàng)公式. 類型六 構(gòu)造法六

6、使用情景 已知 解題步驟 一般利用取對(duì)數(shù)構(gòu)造等比數(shù)列. 【例7】若數(shù)列{}中，=3且（是正整數(shù)），求它的通項(xiàng)公式是. 【反饋檢測(cè)7】已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 【反饋檢測(cè)8】設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且對(duì)任意.都有 ,,. (e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828……） (1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列的前項(xiàng)和； (3)試探究是否存在整數(shù)，使得對(duì)于任意，不等式恒成立？若 存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 高中數(shù)學(xué)常見題型解法歸納及反饋檢測(cè)第37講： 數(shù)列通項(xiàng)的求法二（構(gòu)造法）參考答案 【反饋

7、檢測(cè)1答案】= 【反饋檢測(cè)2答案】 【反饋檢測(cè)2詳細(xì)解析】 ①式可化為： ② 比較系數(shù)可得：=-6，，② 式為 是一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比為.∴ 即 故. 【反饋檢測(cè)3答案】 【反饋檢測(cè)3詳細(xì)解析】在原等式兩邊同除以，得 【反饋檢測(cè)4答案】（1）=5；（2）=. 【反饋檢測(cè)5答案】 【反饋檢測(cè)5詳細(xì)解析】①式可化為： 比較系數(shù)得=-3或=-2，不妨取=-2.①式可化為： 則是一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)=2-2（-1）=4，公比為3. ∴.利用上題結(jié)果有：. 【反饋檢測(cè)6答案】 【反饋檢測(cè)6詳細(xì)

8、解析】將兩邊取倒數(shù)得：，這說(shuō)明是一個(gè)等差數(shù)列，首項(xiàng)是，公差為2，所以，即. 【反饋檢測(cè)7答案】 【變式演練7詳細(xì)解析】因?yàn)?，所?在式兩邊取常用對(duì)數(shù)得 ① 設(shè) ② 所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以5為公比的等比數(shù)列，則，因此 則. 【反饋檢測(cè)8答案】（1），；（2）；（3）時(shí)，原 不等式恒成立. （2）由（1）知，， 所以，③ ，④ 由③-④得， 所以. （3） 由，得， 由可得， 即使得對(duì)于任意且，不等式恒成立等價(jià)于使得對(duì)于任意且，不等式恒成立. . （或用導(dǎo)數(shù)求在上的最大值.） 解得,所以當(dāng)時(shí)，取最小值，最小值為, 所以時(shí)，原不等式恒成立. 11