2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題17 概率與統(tǒng)計教學(xué)案 理

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1、 專題17 概率與統(tǒng)計 1．以客觀題形式考查抽樣方法，樣本的數(shù)字特征和回歸分析，獨立性檢驗的基本思路、方法及相關(guān)計算與推斷． 2．本部分較少命制大題，若在大題中考查多在概率與統(tǒng)計、算法框圖等知識交匯處命題，重點考查抽樣方法，頻率分布直方圖和回歸分析或獨立性檢驗，注意加強(qiáng)抽樣后繪制頻率分布直方圖，然后作統(tǒng)計分析或求概率的綜合練習(xí)． 3．以客觀題形式考查古典概型與幾何概型、互斥事件與對立事件的概率計算． 4．與統(tǒng)計結(jié)合在大題中考查古典概型與幾何概型． 一、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 1.抽樣方法 三種抽樣方法的比較 類別 共同點 各自特點 相互聯(lián)系 適用范圍 簡

2、單隨機(jī)抽樣 抽樣過程中每個個體被抽取的概率相等 從總體中逐個抽取 總體中的個體數(shù)較少 系統(tǒng)抽樣 將總體均分成幾部分，按事先確定的規(guī)則在各部分抽取 在起始部分抽樣時采用簡單隨機(jī)抽樣 總體中的個體數(shù)較多 分層抽樣 將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取 分層抽樣時采用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣 總體由差異明顯的幾部分組成 2.統(tǒng)計圖表 (1)在頻率分布直方圖中： ①各小矩形的面積表示相應(yīng)各組的頻率，各小矩形的高＝；②各小矩形面積之和等于1；③中位數(shù)左右兩側(cè)的直方圖面積相等，因此可以估計其近似值． (2)莖葉圖 當(dāng)數(shù)據(jù)有兩位有效數(shù)字時，用中間的數(shù)字表示十

3、位數(shù)，即第一個有效數(shù)字，兩邊的數(shù)字表示個位數(shù)，即第二個有效數(shù)字，它的中間部分像植物的莖，兩邊部分像植物莖上長出來的葉子，因此通常把這樣的圖叫做莖葉圖． 當(dāng)數(shù)據(jù)有三位有效數(shù)字，前兩位相對比較集中時，常以前兩位為莖，第三位(個位)為葉(其余類推)． 3．樣本的數(shù)字特征 (1)眾數(shù) 在樣本數(shù)據(jù)中，頻率分布最大值所對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)(或出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù))． (2)中位數(shù) 樣本數(shù)據(jù)中，將數(shù)據(jù)按大小排列，位于最中間的數(shù)據(jù)．如果數(shù)據(jù)的個數(shù)為偶數(shù)，就取當(dāng)中兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為中位數(shù)． (3)平均數(shù)與方差 樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)＝(x1＋x2＋…＋xn)． 方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋

4、…＋(xn－)2]． 注意：(1)現(xiàn)實中總體所包含的個體數(shù)往往較多，總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差、方差是不知道(或不可求)的，所以我們通常用樣本的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差、方差來估計總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差、方差． (2)平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平，標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大?。畼?biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定． 4．變量間的相關(guān)關(guān)系 (1)利用散點圖可以初步判斷兩個變量之間是否線性相關(guān)．如果散點圖中的點從整體上看大致分布在一條直線的附近，我們說變量x和y具有線性相關(guān)關(guān)系． (2)用最小二乘法求回歸直線的方程 設(shè)線性回歸方程為＝x＋，則 . 注意：回歸直線一定經(jīng)過

5、樣本的中心點(，)，據(jù)此性質(zhì)可以解決有關(guān)的計算問題． 5．回歸分析 r＝，叫做相關(guān)系數(shù)． 相關(guān)系數(shù)用來衡量變量x與y之間的線性相關(guān)程度；|r|≤1，且|r|越接近于1，相關(guān)程度越高，|r|越接近于0，相關(guān)程度越低． 6．獨立性檢驗 假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為 y1 y2 總計 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 總計 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 則K2＝， 若K2>3.841，則有95%的把握說兩個事件有關(guān)； 若K2>6.635，則有99%的把握說

6、兩個事件有關(guān)； 若K2<2.706，則沒有充分理由認(rèn)為兩個事件有關(guān). 7.隨機(jī)事件的概率 隨機(jī)事件的概率范圍：0≤P(A)≤1； 必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0. 8．古典概型 ①計算一次試驗中基本事件的總數(shù)n；②求事件A包含的基本事件的個數(shù)m；③利用公式P(A)＝計算． 9．一般地，如果事件A、B互斥，那么事件A＋B發(fā)生(即A、B中有一個發(fā)生)的概率，等于事件A、B分別發(fā)生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)． 10．對立事件：在每一次試驗中，相互對立的事件A和不會同時發(fā)生，但一定有一個發(fā)生，因此有P()＝1－P(A)． 11．互斥事件與對立事件的關(guān)系

7、 對立必互斥，互斥未必對立． 12．幾何概型 一般地，在幾何區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)地取一點，記事件“該點落在其內(nèi)部區(qū)域d內(nèi)”為事件A，則事件A發(fā)生的概率P(A)＝. 考點一　事件與概率 例1．(2016·課標(biāo)Ⅱ，18，12分，中)某險種的基本保費為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下： 上年度出險次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 保費 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 設(shè)該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應(yīng)概率如下： 一年內(nèi)出險次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 概率 0

8、.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 (1)求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率； (2)若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出60%的概率； (3)求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值． (3)記續(xù)保人本年度的保費為X，則X的分布列為 X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a P 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 EX＝0.85a×0.30＋a×0.15＋1.25a×0.20＋1.5a×0.20＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.23a.

9、因此續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值為＝1.23. 【變式探究】(2015·廣東，4)袋中共有15個除了顏色外完全相同的球，其中有10個白球，5個紅球．從袋中任取2個球，所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球的概率為(　　) A．1 B. C. D. 解析　從袋中任取2個球共有C＝105種取法，其中恰好1個白球1個紅球共有CC＝50種取法，所以所取的球恰好1個白球1個紅球的概率為＝. 答案　C 考點二　古典概型 例2．【2017山東，理8】從分別標(biāo)有，，，的張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次，每次抽取1張．則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是 （A）

10、 （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】標(biāo)有， ， ， 的張卡片中，標(biāo)奇數(shù)的有張，標(biāo)偶數(shù)的有張，所以抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是 ,選C. 【變式探究】袋中共有15個除了顏色外完全相同的球，其中有10個白球，5個紅球．從袋中任取2個球，所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球的概率為(　　) A. B. C. D．1 【變式探究】從正方形四個頂點及其中心這5個點中，任取2個點，則這2個點的距離不小于該正方形邊長的概率為(　　) A. B. C. D. 解析　從這5個點中任取2個，有C＝10種取法，滿足兩

11、點間的距離不小于正方形邊長的取法有C＝6種，因此所求概率P＝＝.故選C. 答案　C 考點三　隨機(jī)數(shù)與幾何概型 例3．【2017課標(biāo)1，理】如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點，則此點取自黑色部分的概率是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】設(shè)正方形邊長為，則圓的半徑為，正方形的面積為，圓的面積為.由圖形的對稱性可知，太極圖中黑白部分面積相等，即各占圓面積的一半.由幾何概型概率的計算公式得，此點取自黑色部分的概率是，選B. 【變式探究】 (2016·

12、課標(biāo)Ⅰ，4，易)某公司的班車在7：30，8：00，8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時刻是隨機(jī)的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是(　　) A. B. C. D. 【答案】B　【解析】由題意知，小明在7：50至8：30 之間到達(dá)發(fā)車站，故他只能乘坐8：00或8：30發(fā)的車，所以他等車時間不超過10分鐘的概率P＝＝. 【變式探究】(2016·課標(biāo)Ⅱ，10，中)從區(qū)間[0，1]隨機(jī)抽取2n個數(shù)x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，構(gòu)成n個數(shù)對(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個，則用隨

13、機(jī)模擬的方法得到的圓周率π的近似值為(　　) A. B. C. D. 【答案】C　【解析】由題意知，＝，故π＝，即圓周率π的近似值為. 考點四　條件概率與相互獨立事件的概率 例4．【2017課標(biāo)II，理18】海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機(jī)抽取了100 個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg）某頻率分布直方圖如下： （1） 設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨立，記A表示事件：“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg, 新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”，估計A的概率； （2） 填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法

14、有關(guān)： 箱產(chǎn)量＜50kg 箱產(chǎn)量≥50kg 舊養(yǎng)殖法 新養(yǎng)殖法 （3） 根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值（精確到0.01） 附： 【答案】（1）；（2）見解析；（3）. （2）根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表 箱產(chǎn)量 箱產(chǎn)量 舊養(yǎng)殖法 62 38 新養(yǎng)殖法 34 66 由于 故有的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)． （3）因為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中，箱產(chǎn)量低于的直方圖面積為 ， 箱產(chǎn)量低于的直方圖面積為 故新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的

15、估計值為 ． 【變式探究】投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試．已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學(xué)通過測試的概率為(　　) A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312 解析　該同學(xué)通過測試的概率為p＝0.6×0.6＋C×0.4×0.62＝0.648. 答案　A 【變式探究】(2014·新課標(biāo)全國Ⅱ，5)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是(　　) A．0.8 B．0.75

16、C．0.6 D．0.45 解析　由條件概率可得所求概率為＝0.8，故選A. 答案　A 考點五　正態(tài)分布 例5．【2017課標(biāo)1，理19】為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個零件，并測量其尺寸（單位：cm）．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布． （1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及的數(shù)學(xué)期望； （2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查． （?。┰囌f明上述監(jiān)控生產(chǎn)

17、過程方法的合理性； （ⅱ）下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 經(jīng)計算得，，其中為抽取的第個零件的尺寸，．用樣本平均數(shù)作為的估計值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計值，利用估計值判斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計和（精確到0.01）． 附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則， ，． 【答案】（1）.（2）（i）見解析；（ii）. 【解析】 （1）抽取的

18、一個零件的尺寸在之內(nèi)的概率為0.9974，從而零件的尺寸在之外的概率為0.0026，故.因此 . 的數(shù)學(xué)期望為. （2）（i）如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個零件尺寸在之外的概率只有0.0026，一天內(nèi)抽取的16個零件中，出現(xiàn)尺寸在之外的零件的概率只有0.0408，發(fā)生的概率很小.因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的. （ii）由，得的估計值為， 的估計值為，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個零件的尺寸在之外，因此需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查. 剔除之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，因此的估計

19、值為10.02. ，剔除之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為， 因此的估計值為. 【變式探究】在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10 000個點，則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(0，1)的密度曲線)的點的個數(shù)的估計值為(　　) 附：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6， P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4. A．2 386 B．2 718 C．3 413 D．4 772 答案　C 【變式探究】(2014·新課標(biāo)全國Ⅰ，18)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻率分布

20、直方圖： (1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)； (2)由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)x，σ2近似為樣本方差s2. (ⅰ)利用該正態(tài)分布，求P(187.8

21、4 4. 解　(1)抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2分別為 ＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200， s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150. (2)(ⅰ)由(1)知，Z～N(200，150)，從而 P(187.8

22、12.2)的概率為0.682 6，依題意知X～B(100，0.682 6)，所以E(X)＝100×0.682 6＝68.26. 考點六　離散型隨機(jī)變量的分布列 例6．【2017天津，理16】從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口，設(shè)各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為. （Ⅰ）設(shè)表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望； （Ⅱ）若有2輛車獨立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個紅燈的概率. 【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）. 【解析】 （Ⅰ）解：隨機(jī)變量的所有可能取值為0,1,2,3. ， ， ， . 所以，隨機(jī)變量的分布列為 0

23、 1 2 3 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望. （Ⅱ）解：設(shè)表示第一輛車遇到紅燈的個數(shù)， 表示第二輛車遇到紅燈的個數(shù)，則所求事件的概率為 . 所以，這2輛車共遇到1個紅燈的概率為. 【變式探究】(2016·山東，19，12分，中)甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語．在一輪活動中，如果兩人都猜對，則“星隊”得3分；如果只有一人猜對，則“星隊”得1分；如果兩人都沒猜對，則“星隊”得0分．已知甲每輪猜對的概率是，乙每輪猜對的概率是；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果亦互不影響．假設(shè)“星隊”參加兩輪活動，求： (1)“星隊”至少猜對3

24、個成語的概率； (2)“星隊”兩輪得分之和X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX. 解：(1)記事件A：“甲第一輪猜對”，記事件B：“乙第一輪猜對”，記事件C：“甲第二輪猜對”，記事件D：“乙第二輪猜對”，記事件E：“‘星隊’至少猜對3個成語”． 由題意，E＝ABCD＋BCD＋ACD＋ABD＋ABC. 由事件的獨立性與互斥性，得 P(E)＝P(ABCD)＋P(BCD)＋P(ACD)＋P(ABD)＋P(ABC) ＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P()P(B)·P(C)P(D)＋P(A)P()P(C)P(D)＋P(A)P(B)P()P(D)＋P(A)P(B)P(C)·P() ＝×××＋2××＝

25、. 所以“星隊”至少猜對3個成語的概率為. (2)由題意，隨機(jī)變量X可能的取值為0，1，2，3，4，6. 由事件的獨立性與互斥性，得 可得隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 2 3 4 6 P 所以數(shù)學(xué)期望EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋6×＝. 【變式探究】(2015·安徽，17)已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結(jié)果． (1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率； (2)已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用100元，設(shè)X表

26、示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用(單位：元)，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望)． 解　(1)記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件A. P(A)＝＝. (2)X的可能取值為200，300，400. P(X＝200)＝＝， P(X＝300)＝＝， P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－－＝. 故X的分布列為 X 200 300 400 P E(X)＝200×＋300×＋400×＝350. 考點七　均值與方差 例7．【2016高考江蘇卷】已知一組數(shù)據(jù)4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，則該組

27、數(shù)據(jù)的方差是________▲________. 【答案】0.1 【解析】這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，．故答案應(yīng)填：0.1， 【變式探究】如圖，將一個各面都涂了油漆的正方體，切割為125個同樣大小的小正方體，經(jīng)過攪拌后，從中隨機(jī)取一個小正方體，記它的涂漆面數(shù)為X，則X的均值E(X)＝(　　) A. 　　　　　　 B. C. 　　　　　　 D. 解析　由題意可知涂漆面數(shù)X的可能取值為0，1，2，3. 由于P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝， P(X＝3)＝，故E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝. 答案　B 考點八　抽樣方法 例8．【2017

28、天津，理16】從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口，設(shè)各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為. （Ⅰ）設(shè)表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望； （Ⅱ）若有2輛車獨立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個紅燈的概率. 【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）. 【解析】 （Ⅰ）解：隨機(jī)變量的所有可能取值為0,1,2,3. ， ， ， . 所以，隨機(jī)變量的分布列為 0 1 2 3 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望. （Ⅱ）解：設(shè)表示第一輛車遇到紅燈的個數(shù)， 表示第二輛車遇到紅燈的個數(shù)，則所求事件的概率為 . 所以，這2輛車共

29、遇到1個紅燈的概率為. 【變式探究】(2016·山東，3，易)某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時間(單位：小時)，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時間的范圍是[17.5，30]，樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5，20)，[20， 22．5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30]．根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時間不少于22.5小時的人數(shù)是(　　) A．56 B．60 C．120 D．140 (2015·陜西，2)某中學(xué)初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例如圖所示，則該校女教師的人數(shù)為(　　) A．167 B

30、．137 C．123 D．93 解析　由題干扇形統(tǒng)計圖可得該校女教師人數(shù)為：110×70%＋150×(1－60%)＝137.故選B. 答案　B 【變式探究】(2014·湖南，2)對一個容量為N的總體抽取容量為n的樣本，當(dāng)選取簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率分別為p1，p2，p3，則(　　) A．p1＝p2

31、 例9．(2015·安徽，6)若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的標(biāo)準(zhǔn)差為(　　) A．8 B．15 C．16 D．32 解析　法一　由題意知，x1＋x2＋…＋x10＝10x， s1＝， 則＝[(2x1－1)＋(2x2－1)＋…＋(2x10－1)] ＝[2(x1＋x2＋…＋x10)－n]＝2－1， 所以S2＝ ＝＝2s1，故選C. 答案　C 【變式探究】(2015·重慶，3)重慶市2013年各月的平均氣溫(℃)數(shù)據(jù)的莖葉圖如下： 則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是(　　) 0 1 2 2 8 9 2 5

32、 8 0 0 0 3 3 8 1 2 A．19 B．20 C．21.5 D．23 解析　從莖葉圖知所有數(shù)據(jù)為8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，中間兩個數(shù)為20，20，故中位數(shù)為20，選B. 答案　B 考點十　變量間的相關(guān)關(guān)系及統(tǒng)計案例 例10．(2015·新課標(biāo)全國Ⅱ，31)根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫排放量(單位：萬噸)柱形圖．以下結(jié)論不正確的是(　　) A．逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著 B．2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效 C．2006年以來我國二氧

33、化硫年排放量呈減少趨勢 D．2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān) 解析　從2006年，將每年的二氧化硫排放量與前一年作差比較，得到2008年二氧化硫排放量與2007年排放量的差最大，A選項正確； 2007年二氧化硫排放量較2006年降低了很多，B選項正確； 雖然2011年二氧化硫排放量較2010年多一些，但自2006年以來，整體呈遞減趨勢，即C選項正確；自2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份負(fù)相關(guān)，D選項錯誤，故選D. 答案　D 【變式探究】(2015·福建，4)為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表： 收入x(萬元

34、) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y(萬元) 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根據(jù)上表可得回歸直線方程＝x＋，其中＝0.76，＝y(tǒng)－x．據(jù)此估計，該社區(qū)一戶年收入為15萬元家庭的年支出為(　　) A．11.4萬元 B．11.8萬元 C．12.0萬元 D．12.2萬元 解析　回歸直線一定過樣本點中心(10，8)，∵＝0.76，∴＝0.4，由＝0.76x＋0.4得當(dāng)x＝15萬元時，＝11.8萬元．故選B. 答案　B 1.【2017課標(biāo)1，理】如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和

35、白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點，則此點取自黑色部分的概率是 A． B． C． D． 【答案】B 2.【2017浙江，8】已知隨機(jī)變量滿足P（=1）=pi，P（=0）=1—pi，i=1，2． 若0 C．>，< D．>，> 【答案】A 【解析】 ，選A． 3.【2017山東，理5】為了研究某班學(xué)生的腳長（單位：厘米）和身高（單位：厘米）的關(guān)系，從該班隨機(jī)抽取10名學(xué)生，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點圖可以看出與之間有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)其回歸直線方程為．已知，，．該班某學(xué)生的腳長為24，

36、據(jù)此估計其身高為 （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】由已知 ,選C. 4.【2017山東，理8】從分別標(biāo)有，，，的張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次，每次抽取1張．則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是 （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】標(biāo)有， ， ， 的張卡片中，標(biāo)奇數(shù)的有張，標(biāo)偶數(shù)的有張，所以抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是 ,選C. 5.【2017課標(biāo)II，理13】一批產(chǎn)品的二等品率為，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取次，表示

37、抽到的二等品件數(shù)，則 。 【答案】1.96 【解析】由題意可得，抽到二等品的件數(shù)符合二項分布，即，由二項分布的期望公式可得． 6.【2017山東，理18】（本小題滿分12分）在心理學(xué)研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示. （I）求接受甲種心理暗示的志

38、愿者中包含A1但不包含的頻率。 （II）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX. 【答案】（I）(II)X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P X的數(shù)學(xué)期望是. 【解析】（I）記接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件為M，則 (II)由題意知X可取的值為： .則 因此X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P X的數(shù)學(xué)期望是 = 7.【2017課標(biāo)1，理19】為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個零件，并測量其尺寸（單

39、位：cm）．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布． （1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及的數(shù)學(xué)期望； （2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查． （?。┰囌f明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性； （ⅱ）下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10

40、.04 10.05 9.95 經(jīng)計算得，，其中為抽取的第個零件的尺寸，．用樣本平均數(shù)作為的估計值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計值，利用估計值判斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計和（精確到0.01）． 附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則， ，． 【答案】（1）.（2）（i）見解析；（ii）. 【解析】 （1）抽取的一個零件的尺寸在之內(nèi)的概率為0.9974，從而零件的尺寸在之外的概率為0.0026，故.因此 . 的數(shù)學(xué)期望為. （ii）由，得的估計值為， 的估計值為，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個零件的尺寸在之外，因此需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查. 剔除之

41、外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，因此的估計值為10.02. ，剔除之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為， 因此的估計值為. 8.【2017課標(biāo)II，理18】海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機(jī)抽取了100 個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg）某頻率分布直方圖如下： （4） 設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨立，記A表示事件：“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg, 新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”，估計A的概率； （5） 填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)： 箱產(chǎn)量＜50kg 箱產(chǎn)量≥50

42、kg 舊養(yǎng)殖法 新養(yǎng)殖法 （6） 根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值（精確到0.01） 附： 【答案】（1）；（2）見解析；（3）. 【解析】（1）記B表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于” ， 表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于” 由題意知 舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于的頻率為 故的估計值為0.62 新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于的頻率為 故的估計值為0.66 因此，事件A的概率估計值為 （2）根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表 箱產(chǎn)量 箱產(chǎn)量 舊養(yǎng)殖法 62 38 新養(yǎng)殖

43、法 34 66 由于 故有的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)． （3）因為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中，箱產(chǎn)量低于的直方圖面積為 ， 箱產(chǎn)量低于的直方圖面積為 故新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值為 ． 9.【2017北京，理17】為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機(jī)分成兩組，每組各50名，一組服藥，另一組不服藥.一段時間后，記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)據(jù)，并制成下圖，其中“*”表示服藥者，“+”表示未服藥者. （Ⅰ）從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人，求此人指標(biāo)y的值小于60的概率； （Ⅱ）從圖中A，B，C，D四人中隨機(jī).選出兩人，記為選出的兩人中指

44、標(biāo)x的值大于1.7的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望E（）； （Ⅲ）試判斷這100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差的大小.（只需寫出結(jié)論） 【答案】（1）0.3（2）見解析（3）在這100名患者中，服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差大于未服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差. 所以的分布列為 0 1 2 故的期望. （Ⅲ）在這100名患者中，服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差大于未服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差. 10.【2017天津，理16】從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口，設(shè)各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為. （Ⅰ）設(shè)表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù)，求

45、隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望； （Ⅱ）若有2輛車獨立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個紅燈的概率. 【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）. 【解析】 （Ⅰ）解：隨機(jī)變量的所有可能取值為0,1,2,3. ， ， ， . 所以，隨機(jī)變量的分布列為 0 1 2 3 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望. （Ⅱ）解：設(shè)表示第一輛車遇到紅燈的個數(shù)， 表示第二輛車遇到紅燈的個數(shù)，則所求事件的概率 為 . 所以，這2輛車共遇到1個紅燈的概率為. 11. 【2017江蘇，23】 已知一個口袋有個白球,個黑球(),這些球除顏色外全部相同.現(xiàn)將口袋中的球隨機(jī)的逐個取出，并放

46、入如圖所示的編號為的抽屜內(nèi)，其中第次取出的球放入編號為的抽屜. 1 2 3 （1）試求編號為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率; （2）隨機(jī)變量表示最后一個取出的黑球所在抽屜編號的倒數(shù),是的數(shù)學(xué)期望,證明: 【答案】（1）（2）見解析 【解析】解:(1)?編號為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率為: .? (2)?隨機(jī)變量?X?的概率分布為: X … … P … … 隨機(jī)變量?X?的期望為： . 所以 . 12.【2017江蘇，3】 某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號的產(chǎn)品,產(chǎn)量分別為200,

47、400,300,100件.為檢驗產(chǎn)品的質(zhì)量,現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行檢驗,則應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽取 ▲ 件. 【答案】18 【解析】所求人數(shù)為，故答案為18． 13.【2017江蘇，7】 記函數(shù)的定義域為.在區(qū)間上隨機(jī)取一個數(shù),則的概率是 ▲ . 【答案】 1. 【2016高考新課標(biāo)1卷】某公司的班車在7:00,8:00,8:30發(fā)車,小明在7:50至8:30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車,且到達(dá)發(fā)車站的時刻是隨機(jī)的,則他等車時間不超過10分鐘的概率是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【解析】如

48、圖所示,畫出時間軸： 小明到達(dá)的時間會隨機(jī)的落在圖中線段中,而當(dāng)他的到達(dá)時間落在線段或時,才能保證他等車的時間不超過10分鐘根據(jù)幾何概型,所求概率．故選B． 2.【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達(dá)圖．圖中點表示十月的平均最高氣溫約為，點表示四月的平均最低氣溫約為．下面敘述不正確的是（ ） (A)各月的平均最低氣溫都在以上 (B)七月的平均溫差比一月的平均溫差大 (C)三月和十一月的平均最高氣溫基本相同 (D)平均氣溫高于的月份有5個 【答案】D 【解析】由題圖可知各月的

49、平均最低氣溫都在0C以上，A正確；由題圖可知七月的平均溫差大于7.5C，而一月的平均溫差小于7.5C，所以七月的平均溫差比一月的平均溫差大，B正確；由題圖可知三月和十一月的平均最高氣溫都大約在10C，基本相同，C正確；由題圖可知平均最高氣溫高于20℃的月份有3個，所以不正確．故選D． 3.【2016高考山東理數(shù)】某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時間（單位：小時），制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時間的范圍是[17.5，30]，樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5，20)， [20，22.5)， [22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30).根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時

50、間不少于22.5小時的人數(shù)是（ ） （A）56 （B）60 （C）120 （D）140 【答案】D 【解析】由頻率分布直方圖知，自習(xí)時間不少于22.5小時為后三組，有（人），選D. 4.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】從區(qū)間隨機(jī)抽取個數(shù),，…，，，，…，，構(gòu)成n個數(shù)對，，…，，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有個，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率的近似值為 （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】利用幾何概型，圓形的面積和正方形的面積比為，所以.選C. 5.【2016年高考北京理數(shù)】

51、袋中裝有偶數(shù)個球，其中紅球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三個空盒.每次從袋中任意取出兩個球，將其中一個球放入甲盒，如果這個球是紅球，就將另一個球放入乙盒，否則就放入丙盒.重復(fù)上述過程，直到袋中所有球都被放入盒中，則（） A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多 C.乙盒中紅球不多于丙盒中紅球 D.乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多 【答案】C 【解析】若乙盒中放入的是紅球，則須保證抽到的兩個均是紅球；若乙盒中放入的是黑球，則須保證抽到的兩個球是一紅一黑，且紅球放入甲盒；若丙盒中放入的是紅球，則須保證抽到的兩個球是一紅一黑：且黑球放入

52、甲盒；若丙盒中放入的是黑球，則須保證抽到的兩個球都是黑球.由于抽到兩個紅球的次數(shù)與抽到兩個黑球的次數(shù)應(yīng)是相等的，故乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多，選B. 6.【2016高考江蘇卷】將一顆質(zhì)地均勻的骰子（一種各個面上分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6個點的正方體玩具）先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點數(shù)之和小于10的概率是 ▲ . 【答案】 【解析】點數(shù)小于10的基本事件共有30種，所以所求概率為 7.【2016年高考四川理數(shù)】同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時，就說這次試驗成功，則在2次試驗中成功次數(shù)X的均值是 . 【答案】 【解析】同時拋擲兩枚質(zhì)

53、地均勻的硬幣，可能的結(jié)果有（正正），（正反），（反正），（反反），所以在1次試驗中成功次數(shù)的取值為，其中 在1次試驗中成功的概率為， 所以在2次試驗中成功次數(shù)的概率為，， 則. 8.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】有三張卡片，分別寫有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是 ． 【答案】1和3 【解析】由題意分析可知甲的卡片上數(shù)字為1和3，乙的卡片上數(shù)字為2和3，丙卡片上數(shù)字為1和2. 9

54、.【2016高考江蘇卷】已知一組數(shù)據(jù)4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，則該組數(shù)據(jù)的方差是________▲________. 【答案】0.1 【解析】這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，．故答案應(yīng)填：0.1， 10.【2016高考山東理數(shù)】在上隨機(jī)地取一個數(shù)k，則事件“直線y=kx與圓相交”發(fā)生的概率為 . 【答案】 11.【2016高考新課標(biāo)1卷】（本小題滿分12分）某公司計劃購買2臺機(jī)器,該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件,在購進(jìn)機(jī)器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200元.在機(jī)器使用期間,如果備件不足再購買,則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時

55、應(yīng)同時購買幾個易損零件,為此搜集并整理了100臺這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖： 以這100臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率,記表示2臺機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù),表示購買2臺機(jī)器的同時購買的易損零件數(shù). （I）求的分布列； （II）若要求,確定的最小值； （III）以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù),在與之中選其一,應(yīng)選用哪個？ 【答案】（I）見解析（II）19（III） 【解析】（Ⅰ）由柱狀圖并以頻率代替概率可得,一臺機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2

56、,從而 ； ； ； ； ； ； . 所以的分布列為 16 17 18 19 20 21 22 （Ⅱ）由（Ⅰ）知,,故的最小值為19. （Ⅲ）記表示2臺機(jī)器在購買易損零件上所需的費用（單位：元）. 當(dāng)時, . 當(dāng)時, . 可知當(dāng)時所需費用的期望值小于時所需費用的期望值,故應(yīng)選. 12.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】某險種的基本保費為（單位：元），繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人的本年度的保費與其上年度的出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下： 上年度出險次數(shù) 0 1 2 3 4 5 保費 0.85 1.2

57、5 1.5 1.75 2 設(shè)該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應(yīng)概率如下： 一年內(nèi)出險次數(shù) 0 1 2 3 4 5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 （Ⅰ）求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率； （Ⅱ）若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出60%的概率； （Ⅲ）求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值． 【答案】（Ⅰ）0.55；（Ⅱ）；（Ⅲ）. 【解析】（Ⅰ）設(shè)表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”，則事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于1，故 （Ⅱ）設(shè)表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費比

58、基本保費高出”，則事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于3，故 又，故 因此所求概率為 （Ⅲ）記續(xù)保人本年度的保費為，則的分布列為 因此續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值為 13.【2016年高考四川理數(shù)】（本小題滿分12分） 我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水，計劃調(diào)整居民生活用水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)（噸）、一位居民的月用水量不超過的部分按平價收費，超出的部分按議價收費.為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照[0,0.5)，

59、[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖. （I）求直方圖中a的值； （II）設(shè)該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說明理由； （III）若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)（噸），估計的值，并說明理由. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）36000；（Ⅲ）2.9． （Ⅱ）由（Ⅰ），100位居民每人月均用水量不低于3噸的頻率為0.06+0.04+0.02=0.12． 由以上樣本的頻率分布，可以估計全市30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為 300 000×0.12=36 000． （Ⅲ）因為前6組的頻率之和

60、為0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85， 而前5組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85， 所以2.5≤x<3． 由0.3×(x–2.5)=0.85–0.73， 解得x=2.9． 所以，估計月用水量標(biāo)準(zhǔn)為2.9噸時，85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)． 14.【2016年高考北京理數(shù)】（本小題13分） A、B、C三個班共有100名學(xué)生，為調(diào)查他們的體育鍛煉情況，通過分層抽樣獲得了部分學(xué)生一周的鍛煉時間，數(shù)據(jù)如下表（單位：小時）； A班 6 6.5 7 7.5 8

61、 B班 6 7 8 9 10 11 12 C班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 （1）試估計C班的學(xué)生人數(shù)； （2）從A班和C班抽出的學(xué)生中，各隨機(jī)選取一人，A班選出的人記為甲，C班選出的人記為乙，假設(shè)所有學(xué)生的鍛煉時間相對獨立，求該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率； （3）再從A、B、C三個班中各隨機(jī)抽取一名學(xué)生，他們該周的鍛煉時間分別是7，9，8.25（單位：小時），這3個新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記 ，表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為 ，試判斷和的大小，

62、（結(jié)論不要求證明） 【答案】（1）40；（2）；（3）. 【解析】 （1）由題意知，抽出的名學(xué)生中，來自班的學(xué)生有名，根據(jù)分層抽樣方法，班的學(xué)生人數(shù)估計為；（2）設(shè)事件為“甲是現(xiàn)有樣本中班的第個人”，， 事件為“乙是現(xiàn)有樣本中班的第個人”，， 由題意可知，，；，， ，,. 設(shè)事件為“該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長”，由題意知， 因此 （3）根據(jù)平均數(shù)計算公式即可知，. 15.【2016高考山東理數(shù)】（本小題滿分12分） 甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，在一輪活動中，如果兩人都猜對，則“星隊”得3分；如果只有一個人猜對，則“

63、星隊”得1分；如果兩人都沒猜對，則“星隊”得0分.已知甲每輪猜對的概率是，乙每輪猜對的概率是；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果亦互不影響.假設(shè)“星隊”參加兩輪活動，求： （I）“星隊”至少猜對3個成語的概率； （Ⅱ）“星隊”兩輪得分之和為X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）分布列見解析， 【解析】 （Ⅰ）記事件A:“甲第一輪猜對”，記事件B：“乙第一輪猜對”， 記事件C：“甲第二輪猜對”，記事件D：“乙第二輪猜對”， 記事件E：“‘星隊’至少猜對3個成語”. 由題意， 由事件的獨立性與互斥性， , 所以“星隊”至少猜對3個成語的概率為

64、. （Ⅱ）由題意，隨機(jī)變量的可能取值為0,1,2,3,4,6. 可得隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 2 3 4 6 P 所以數(shù)學(xué)期望. 16.【2016高考天津理數(shù)】（本小題滿分13分） 某小組共10人，利用假期參加義工活動，已知參加義工活動次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4,.現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會. （I）設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4”，求事件A發(fā)生的概率； （II）設(shè)為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析 【解

65、析】解：由已知，有 所以，事件發(fā)生的概率為. 隨機(jī)變量的所有可能取值為 ， ， . 所以，隨機(jī)變量分布列為 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望. 17.【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖 （I）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明； （II）建立關(guān)于的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量． 附注： 參考數(shù)據(jù)：，，，≈2.646. 參考公式：相關(guān)系數(shù) 回歸方程 中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為： ． 【答案

66、】（Ⅰ）理由見解析；（Ⅱ）1.82億噸． 【解析】 （Ⅰ）由折線圖這數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得 ，，， ， ． 因為與的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明與的線性相關(guān)相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系. （Ⅱ）由及（Ⅰ）得， ， 所以，關(guān)于的回歸方程為：. 將2016年對應(yīng)的代入回歸方程得：， 所以預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量將約1.82億噸. 18. 【2016高考上海理數(shù)】某次體檢，6位同學(xué)的身高（單位：米）分別為1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是_________（米）. 【答案】1.76 【解析】將這6位同學(xué)的身高按照從低到高排列為：1.69,1.72,1.75，1.77,1.78，1.80，這六個數(shù)的中位數(shù)是1.75與1.77的平均數(shù)，顯然為1.76. 19.【2016高考上海理數(shù)】在的二項式中，所有項的二項式系數(shù)之和為256，則常數(shù)項等于_________. 【答案】 【解析】因為二項式所有項的二項系數(shù)之和為，所以，所以， 二項式展開式的通項為，令，得，所以. 1．(2015·北京，1