8、
6. 設(shè)集合A=, ,且,,,中所有元素之和為224.求集合A .
7. 設(shè),A是M的子集且滿足條件:當(dāng)時,,求.若將15換為17,19又如何.
譯者序: 本文譯自澳大利亞數(shù)學(xué)家 Terence Tao 的近作 “What is Good Mathematics?”。 Tao 是調(diào)和分析、 微分方程、 組合數(shù)學(xué)、 解析數(shù)論等領(lǐng)域的大師級的年輕高手。 2006 年, 31 歲的 Tao 獲得了數(shù)學(xué)界的最高獎 Fields 獎, 成為該獎項(xiàng)七十年來最年輕的獲獎?wù)咧弧?
美國數(shù)學(xué)學(xué)會 (AMS) 對 Tao 的評價是: “他將精純的技巧、 超凡入圣的
9、獨(dú)創(chuàng)及令人驚訝的自然觀點(diǎn)融為一體”。
著名數(shù)學(xué)家 Charles Fefferman (1978 年的 Fields 獎得主) 的評價則是: “如果你有解決不了的問題, 那么找到出路的辦法之一就是引起 Terence Tao 的興趣”。
1. 數(shù)學(xué)品質(zhì)的諸多方面
我們都認(rèn)為數(shù)學(xué)家應(yīng)該努力創(chuàng)造好數(shù)學(xué)。 但 “好數(shù)學(xué)” 該如何定義? 甚至是否該斗膽試圖加以定義呢? 讓我們先考慮前一個問題。 我們幾乎立刻能夠意識到有許多不同種類的數(shù)學(xué)都可以被稱為是 “好” 的。 比方說, “好數(shù)學(xué)” 可以指 (不分先后順序):
好的數(shù)學(xué)題解 (比如在一個重要數(shù)學(xué)問題上的重大突破);
好的數(shù)學(xué)技巧
10、(比如對現(xiàn)有方法的精湛運(yùn)用, 或發(fā)展新的工具);
好的數(shù)學(xué)理論 (比如系統(tǒng)性地統(tǒng)一或推廣一系列現(xiàn)有結(jié)果的概念框架或符號選擇);
好的數(shù)學(xué)洞察 (比如一個重要的概念簡化, 或?qū)σ粋€統(tǒng)一的原理或主題的實(shí)現(xiàn));
好的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn) (比如對一個出人意料、 引人入勝的新的數(shù)學(xué)現(xiàn)象、 關(guān)聯(lián)或反例的揭示);
好的數(shù)學(xué)應(yīng)用 (比如應(yīng)用于物理、 工程、 計(jì)算機(jī)科學(xué)、 統(tǒng)計(jì)等領(lǐng)域的重要問題, 或?qū)⒁粋€數(shù)學(xué)領(lǐng)域的結(jié)果應(yīng)用于另一個數(shù)學(xué)領(lǐng)域);
好的數(shù)學(xué)展示 (比如對新近數(shù)學(xué)課題的詳盡而廣博的概覽, 或一個清晰而合理的論證);
好的數(shù)學(xué)教學(xué) (比如能讓他人更有效地學(xué)習(xí)及研究數(shù)學(xué)的講義或?qū)懽黠L(fēng)格, 或?qū)?shù)學(xué)教育的
11、貢獻(xiàn));
好的數(shù)學(xué)遠(yuǎn)見 (比如富有成效的長遠(yuǎn)計(jì)劃或猜想); 待續(xù)
好的數(shù)學(xué)品味 (比如自身有趣且對重要課題、 主題或問題有影響的研究目標(biāo));
好的數(shù)學(xué)公關(guān) (比如向非數(shù)學(xué)家或另一個領(lǐng)域的數(shù)學(xué)家有效地展示數(shù)學(xué)成就);
好的元數(shù)學(xué) (比如數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、 哲學(xué)、 歷史、 學(xué)識或?qū)嵺`方面的進(jìn)展); [
嚴(yán)密的數(shù)學(xué) (所有細(xì)節(jié)都正確、 細(xì)致而完整地給出);
美麗的數(shù)學(xué) (比如 Ramanujan 的令人驚奇的恒等式; 陳述簡單漂亮, 證明卻很困難的結(jié)果);
優(yōu)美的數(shù)學(xué) (比如 Paul E
12、rdos 的 “來自天書的證明” 觀念; 通過最少的努力得到困難的結(jié)果);
創(chuàng)造性的數(shù)學(xué) (比如本質(zhì)上新穎的原創(chuàng)技巧、 觀點(diǎn)或各類結(jié)果);
有用的數(shù)學(xué) (比如會在某個領(lǐng)域的未來工作中被反復(fù)用到的引理或方法);
強(qiáng)有力的數(shù)學(xué) (比如與一個已知反例相匹配的敏銳的結(jié)果, 或從一個看起來很弱的假設(shè)推出一個強(qiáng)得出乎意料的結(jié)論);
深刻的數(shù)學(xué) (比如一個明顯非平凡的結(jié)果, 比如理解一個無法用更初等的方法接近的微妙現(xiàn)象);
直觀的數(shù)學(xué) (比如一個自然的、 容易形象化的論證);
明確的數(shù)學(xué) (比如對某一類型的所有客體的分類; 對一個數(shù)學(xué)課題的結(jié)論);
其它。
如上所述, 數(shù)學(xué)品質(zhì)這一概念是一
13、個高維的 (high-dimensional) 概念, 并且不存在顯而易見的標(biāo)準(zhǔn)排序[注二]。 我相信這是由于數(shù)學(xué)本身就是復(fù)雜和高維的, 并且會以一種自我調(diào)整及難以預(yù)料的方式而演化; 上述每種品質(zhì)都代表了我們作為一個群體增進(jìn)對數(shù)學(xué)的理解及運(yùn)用的不同方式。 至于上述品質(zhì)的相對重要性或權(quán)重, 看來并無普遍的共識。 這部分地是由于技術(shù)上的考慮: 一個特定時期的某個數(shù)學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展也許更易于接納一種特殊的方法; 部分地也是由于文化上的考慮: 任何一個特定的數(shù)學(xué)領(lǐng)域或?qū)W派都傾向于吸引具有相似思維、 喜愛相似方法的數(shù)學(xué)家。 它同時也反映了數(shù)學(xué)能力的多樣性: 不同的數(shù)學(xué)家往往擅長不同的風(fēng)格, 因而適應(yīng)不同類型的數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)。
· 學(xué)習(xí)之外 陶哲軒談什么是好數(shù)學(xué)
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