《三角函數(shù)的計算》教案北師版九下

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1、 1.3 三角函數(shù)的計算 1．熟練掌握用科學計算器求三角函數(shù)值； (重點 ) 2．初步理解仰角和俯角的概念及應(yīng)用． (難點 ) 一、情境導(dǎo)入 如圖①和圖②，將一個 Rt△ ABC 形狀的楔子從木樁的底端點 P 沿水平方向打入木樁底下， 可以使木樁向上運動．如果楔子斜面的傾斜角為 10°，楔子沿水平方向前進 5cm( 如箭頭所示 )．那么木樁上升多少厘 米？ 觀察圖②易知， 當楔子沿水平方向前進5cm，即

2、 BN＝5 cm 時，木樁上升的距離為 PN . 在 Rt△ PBN 中，∵ tan10°＝ PNBN ，∴ PN ＝BNtan10°＝ 5tan10°(cm) ． 那么， tan10°等于多少呢？ 對于不是 30°，45°，60°這些特殊角的三角函數(shù)值，可以利用科學計算器來求． 二、合作探究 探究點一： 利用科學計算器解決含三角函數(shù)的計算問題 【類型一】 已知角度，用計算器求三角函數(shù)值 用計算器求下列各式的值 (精確到 0.0001) ：  (1)sin47 °； (2)sin12 ° 30′； (3)co

3、s25 ° 18 ′ ； (4)sin18 ° ＋ cos55 °－ tan59 .° 解析： 熟練使用計算器， 對計算器給出的結(jié)果， 根據(jù)題目要求用四舍五入法取近似值． 解： 根據(jù)題意用計算器求出： (1)sin47 °≈ 0.7314； (2)sin12 ° 30′≈ 0.2164； (3)cos25° 18′≈ 0.9041； (4)sin18 °＋ cos55 °－tan59 ≈°－ 0.7817. 方法總結(jié)： 解決此類問題關(guān)鍵是熟練使 用計算器，使用計算器時要注意按鍵順序． 變式訓(xùn)練：見《學練優(yōu)》 本課時練習“課后鞏固提升”

4、第 3 題 【類型二】 已知三角函數(shù)值，用計算器求銳角的度數(shù) 已知下列銳角三角函數(shù)值，用計算器求銳角∠ A，∠ B 的度數(shù) (結(jié)果精確到 0.1° )： (1)sinA＝ 0.7， sinB＝ 0.01； (2)cosA＝0.15， cosB＝ 0.8； (3)tanA＝ 2.4， tanB＝ 0.5. 解析： 熟練應(yīng)用計算器， 對計算器給出的結(jié)果，根據(jù)題目要求用四舍五入取近似值． 解： (1)由 sinA＝ 0.7，得∠ A≈ 44.4°； 由 sinB＝ 0.01，得∠ B≈ 0.6°； (2) 由 cosA＝ 0.15，得∠ A

5、≈ 81.4°；由cosB＝0.8，得∠ B≈ 36.9°； (3) 由 tanA＝ 2.4，得∠ A≈67.4 °；由 tanB ＝ 0.5，得∠ B≈ 26.6° . 方法總結(jié)： 解決此類問題關(guān)鍵是熟練使用計算器，在使用計算器時要注意按鍵順序． 變式訓(xùn)練：見《學練優(yōu)》 本課時練習“課堂達標訓(xùn)練”第 7 題 【類型三】 利用計算器比較三角函數(shù)值的大小 (1) 通過計算 (可用計算器 ) ，比較下 第 1頁共3頁 列各對數(shù)的大小，并提出你的猜想： ① sin30° ________2sin15 °cos15

6、°； ② sin36° ________2sin18°cos18°； ③ sin45° ________2sin22.5 °cos22.5 °； ④ sin60° ________2sin30°cos30°； ⑤ sin80° ________2sin40°cos40°. 猜想：已知 0°＜ α＜ 45°，則 sin2α ________2sin αcosα； (2)如圖，在△ ABC 中， AB＝ AC＝ 1， ∠ BAC ＝ 2α，請根據(jù)提示，利用面積方法驗證 (1) 中提出的猜想．

7、解析：(1)利用計算器分別計算 ① 至 ⑤各式中左邊與右邊的值， 比較大小； (2)通過計算 △ ABC 的面積來驗證． 解：(1) ①＝ ②＝ ③＝ ④＝ ⑤＝猜想：＝ (2)已知 0°＜ α＜ 45°，則 sin2α ＝ 2sin α cosα . 1 證明： S△ ABC ＝ 2 AB · sin2α · AC， S△ ABC ＝ 1× 2AB sinα ·ACcosα ，∴ sin2α＝ 2sin 2 α cosα . 方法總結(jié)： 本題主要運用了面積法， 通過用不同的方法表示同一個三角形的面積， 來得到三角函數(shù)的關(guān)系， 此種方法在后面的

8、學習中會經(jīng)常用到． 探究點二： 利用三角函數(shù)解決實際問題 【類型一】 非特殊角三角函數(shù)的實際 應(yīng)用 如圖，從 A 地到 B 地的公路需經(jīng) 過 C 地，圖中 AC＝ 10 千米， ∠CAB＝ 25°， ∠ CBA ＝ 45° .因城市規(guī)劃的需要，將在 A、 B 兩地之間修建一條筆直的公路．  (1) 求改直后的公路 AB 的長； (2) 問公路改直后該段路程比原來縮短了多少千米 (精確到 0.1)? 解析： (1)過點 C 作 CD⊥ AB 于 D，根 據(jù) AC＝ 10 千米，∠ C

9、AB＝ 25°，求出 CD 、 AD ，根據(jù) ∠ CBA＝ 45°，求出 BD 、BC，最后根據(jù) AB＝ AD＋ BD 列式計算即可； (2) 根 據(jù) (1) 可知 AC、BC 的長度， 即可得出公路改直后該段路程比原來縮短的路程． 解： (1)過點 C 作 CD ⊥AB 于點 D，∵ AC＝ 10 千米，∠ CAB＝ 25°，∴ CD ＝ sin∠ CAB· AC＝ sin25°× 10≈ 0.42× 10＝ 4.2(千 米 ) ， AD＝ cos∠ CAB· AC＝ cos25°× 10≈ 0.91× 10＝ 9.1(千米 )．∵∠ CBA＝ 45°

10、，∴ BD＝ CD＝4.2(千米 )， BC＝ CD ＝ sin∠ CBA 4.2 sin45° ≈ 5.9(千米 ) ，∴ AB ＝ AD ＋ BD ＝ 9.1 ＋ 4.2＝ 13.3(千米 )．所以， 改直后的公路 AB 的長約為 13.3 千米； (2) ∵ AC＝ 10 千米， BC＝ 5.9 千米，∴ AC＋ BC－ AB＝10＋ 5.9－ 13.3＝2.6( 千米 ) ．所以，公路改直后該段路程比原來縮 短了約 2.6 千米． 方法總結(jié)： 解決問題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)關(guān)系求出有關(guān)線段的長．

11、 變式訓(xùn)練：見《學練優(yōu)》 本課時練習“課堂達標訓(xùn)練” 第 9 題 【類型二】 仰角、俯角問題 如圖，課外數(shù)學小組要測量小山 坡上塔的高度 DE， DE 所在直線與水平線 AN 垂直．他們在 A 處測得塔尖 D 的仰角為 45°，再沿著射線 AN 方向前進 50 米到達 B 處，此時測得塔尖 D 的仰角∠ DBN ＝ 61.4°， 小山坡坡頂 E 的仰角∠ EBN ＝25.6° .現(xiàn)在請 你幫助課外活動小組算一算塔高 DE 大約是 第 2頁共3頁 多少

12、米 (結(jié)果精確到個位 ) ． 解析： 根據(jù)銳角三角函數(shù)關(guān)系表示出 BF 的長，進而求出 EF 的長，得出答案． 解： 延長 DE 交 AB 延長線于點 F ，則 ∠ DFA＝ 90° .∵∠ A＝ 45°，∴ AF＝ DF .設(shè) EF EF ＝x，∵ tan25.6°＝ BF ≈ 0.5，∴ BF ＝2x， 則 DF ＝ AF＝ 50＋ 2x，故 tan61.4°＝ DF ＝ BF 50＋ 2x ＝ 1.8，解得 x≈31.故 DE ＝ DF － EF ＝ 50＋ 31×2－ 31＝81(米 )． 所以，塔高 DE 大約是 81

13、 米． 方法總結(jié)： 解決此類問題要了解角之間 的關(guān)系， 找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三 角形， 當圖形中沒有直角三角形時， 要通過 作高或垂線構(gòu)造直角三角形． 變式訓(xùn)練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課 后鞏固提升”第 7 題 三、板書設(shè)計 三角函數(shù)的計算 1．已知角度，用計算器求三角函數(shù)值 2．已知三角函數(shù)值，用計算器求銳角 的度數(shù) 3．仰角、俯角的意義 本節(jié)課盡可能站在學生的角度上思考問題， 設(shè)計好教學的每一個細節(jié)， 讓學生更多地參 與到課堂的教學過程中， 讓學生體驗思考的 過程， 體驗成功的喜悅和失敗的挫折，舍得 把課堂讓給學生， 盡最大可能在課堂上投入 更多的情感因素，豐富課堂語言，使課堂更 加鮮活，充滿人性魅力，下課后多反思，做 好反饋工作，不斷總結(jié)得失，不斷進步．只 有這樣，才能真正提高課堂教學效率，提高 成績 . 第 3頁共3頁