《二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)》教案北師版九下

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1、 2.2 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 第 5 課時 二次函數(shù) y=ax2+bx+c 的圖象與性質(zhì) 1．掌握把 y＝ ax2＋ bx＋ c(a≠ 0)通過配方寫成 y＝a(x－ h)2 ＋k( a≠0)的形式，并能由 此得到二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)； (重點(diǎn) ) 2 2.掌握二次函數(shù) y＝ ax ＋ bx＋ c(a≠ 0) 點(diǎn) ) 一、情境導(dǎo)入 在跳繩時， 繩甩到最高處的形狀可近似地看作拋物線．如圖，正在甩繩的甲、乙兩 名學(xué)生拿繩的手間距為 4

2、米，距地面均為 1 米，學(xué)生丙的身高是 1.5 米，距甲拿繩的手水平距離為 1 米，繩子甩到最高處時，剛好通過他的頭頂． 當(dāng)繩子甩到最高時， 學(xué)生丁從距甲拿繩的手 2.5 米處進(jìn)入游戲，恰好通過．你能根據(jù)以上信息確定學(xué)生丁的身高嗎？ 二、合作探究 探究點(diǎn)：二次函數(shù) y＝ ax2＋ bx＋ c 的圖象與性質(zhì) 【類型一】 二次函數(shù) y＝ ax2＋ bx＋c 的圖象的性質(zhì) 若點(diǎn) A(2， y1)， B(－ 3， y2)， C(－1，y3) 三點(diǎn)在拋物線 y＝ x2－ 4x－ m的圖象上， 則 y1、 y2、 y3 的大小關(guān)系是 ( ) A． y1＞ y2＞ y

3、3 B． y2＞ y1＞ y3 C． y2＞ y3＞ y1 D． y3＞ y1＞ y2 解析： ∵ 二次函數(shù) y＝ x2－ 4x－m 中 a ＝ 1＞ 0，∴開口向上，對稱軸為 x＝－ b ＝ 2a  2.∵ A(2，y1)中 x＝ 2，∴ y1 最小．又 ∵ B(－ 3， y2) ，C(－ 1，y3)都在對稱軸的左側(cè)，而在對 稱軸的左側(cè)， y 隨 x 的增大而減小，故 y2＞y3，∴ y2＞ y3＞ y1.故選 C. 方法總結(jié)： 當(dāng)二次項系數(shù) a＞ 0 時，在對稱軸的左邊， y 隨 x 的增大而減小，在對稱軸的右邊， y 隨 x 的增大而增大；當(dāng) a

4、＜ 0 時，在對稱軸的左邊， y 隨 x 的增大而增大，在對稱軸的右邊， y 隨 x 的增大而減?。? 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》 本課時練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練” 第 3 題 【類型二】 二次函數(shù) y＝ ax2＋ bx＋c 的圖象的位置與各項系數(shù)符號的關(guān)系 已知拋物線 y＝ ax2＋ bx＋ c(a≠ 0) 經(jīng)過點(diǎn) (－ 1， 0)，且頂點(diǎn)在第一象限．有下列四個結(jié)論：① a＜ 0；② a＋ b＋ c＞ 0；③－ 2ab ＞ 0 ； ④ abc ＞ 0. 其 中 正 確 的 結(jié) 論 是 ________(填序號 )． 解析：由拋物線的開口方向向下可推出a＜ 0，拋

5、物線與 y 軸的正半軸相交，可得出 c＞ 0，對稱軸在 y 軸的右側(cè)， a， b 異號， b ＞ 0，∴ abc＜ 0；因為對稱軸在 y 軸右側(cè)， ∴對稱軸為－ b ＞ 0；由圖象可知：當(dāng) x＝ 1 2a 時，y＞ 0，∴a＋ b＋ c＞0.∴①②③ 都正確．故 答案為 ①②③ . 方法總結(jié)： 二次函數(shù) y＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a≠ 0)， a 的符號由拋物線開口方向決定； b 的符號由對稱軸的位置及 a 的符號決定； c 的符號由拋物線與 y 軸交點(diǎn)的位置決定． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》 本課時練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第 7 題

6、 【類型三】 二次函數(shù) y＝ ax2＋ bx＋c 與一次函數(shù)圖象的綜合 在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù) y＝mx＋m 和函數(shù) y＝ mx2＋ 2x＋ 2(m 是常數(shù)，且 m≠0)的圖象可能是 ( ) 第 1頁共3頁 解析：若函數(shù) y＝ mx＋ m 中的 m＜ 0 時，函數(shù) y＝mx2＋ 2x＋ 2 開口方向朝下， 對稱軸 為 x＝－ 2ab＝－ 2m2＝－ m1＞ 0，則對稱軸應(yīng)在 y 軸右側(cè)，故 A 、B 選項錯誤， D 選項正確；若函數(shù) y＝ mx＋ m 中的 m＞0 時，函數(shù) y＝

7、 mx 2＋ 2x＋2 開口方向朝上，對稱軸為 x＝－ b ＝－ 2 ＝－ 1 ＜ 0，則對稱軸應(yīng)在 y 軸左 2a 2mm 側(cè)，故 C 選項錯誤．故選 D. 方法總結(jié)： 熟記一次函數(shù) y＝ ax＋ b 在不同情況下所在的象限， 以及熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：開口方向、對稱軸、頂點(diǎn) 坐標(biāo)等． 【類型四】 二次函數(shù) y＝ ax2＋ bx＋c 與幾何圖形的綜合 已知：如圖，二次函數(shù) y＝ ax2＋bx＋ c 的圖象與 x 軸交于 A、 B 兩點(diǎn)，其中點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 (－ 1， 0)，點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 (0，5)，另拋物線經(jīng)過點(diǎn) (1，8

8、)，M 為它的頂點(diǎn)． (1)求拋物線的解析式； (2)求△ MCB 的面積 S△ MCB. 解析：(1)將已知的三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線中，即可求得拋物線的解析式； (2)根據(jù)拋物線的解析式先求出點(diǎn) M 和點(diǎn) B 的坐標(biāo)，可將 S△ MCB 化為其他圖形面積的和差來解． a－b＋ c＝ 0， 解： (1)依題意可知 a＋ b＋c＝ 8，解得 c＝ 5， a＝－ 1， b＝ 4， ∴拋物線的解析式為 y＝－ x2＋ c＝ 5，  4x＋ 5； (2) 令 y＝ 0，得 (x－

9、 5)(x＋ 1)＝ 0，解得 x1 ＝ 5， x2＝－ 1，∴點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 (5，0)．由y＝－ x2＋ 4x＋ 5＝－ (x－ 2)2＋ 9，得點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 (2，9)．作 ME ⊥ y 軸于點(diǎn) E，可得 S 1 △ MCB ＝ S 梯形 MEOB － S△ MCE－ S△ OBC＝ 2(2 ＋ 5)× 9－ 1×4× 2－ 1× 5× 5＝15. 2 2 方法總結(jié)： 本題考查了二次函數(shù)解析式的確定以及圖形面積的求法． 不規(guī)則圖形的面積通常轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積的和差． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》 本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第 8 題 【類型五】 二

10、次函數(shù) y＝ ax2＋ bx＋c 的實(shí)際應(yīng)用 跳繩時，繩甩到最高處時的形狀 是拋物線． 正在甩繩的甲、乙兩名同學(xué)拿繩 的手間距 AB 為 6 米，到地面的距離 AO 和 BD 均為 0.9 米，身高為 1.4 米的小麗站在距 點(diǎn) O 的水平距離為 1 米的點(diǎn) F 處，繩子甩 到最高處時剛好通過她的頭頂點(diǎn)E.以點(diǎn) O 為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系， 設(shè)此拋物線的解析式為 y＝ ax2＋ bx＋ 0.9. (1) 求該拋物線的解析式； (2) 如果身高為 157.5 厘米的小明站在

11、 OD 之間且離點(diǎn) O 的距離為 t 米，繩子甩到最高處時超過他的頭頂，請結(jié)合函數(shù)圖象，求出 t 的取值范圍． 解析：(1)已知拋物線解析式 y＝ ax2＋ bx ＋ 0.9，選定拋物線上兩點(diǎn) E(1， 1.4)，B(6， 0.9)，把坐標(biāo)代入解析式即可得出 a、b 的值， 繼而得出拋物線解析式； (2) 求出 y＝ 1.575 時，對應(yīng)的 x 的兩個值，從而可確定 t 的取 值范圍． 解：(1)由題意得點(diǎn) E 的坐標(biāo)為 (1，1.4)， 點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 (6， 0.9)，代入 y＝ ax2＋bx＋ a＋b＋ 0.9＝1.4，

12、0.9 ， 得 解 得 36a＋ 6b＋ 0.9＝ 0.9， 第 2頁共3頁 a＝－ 0.1， 故所求的拋物線的解析式為 y＝ b＝ 0.6. － 0.1x2＋ 0.6x＋0.9； (2)157.5cm ＝ 1.575m，當(dāng) y＝ 1.575 時， － 0.1x2＋ 0.6x＋0.9＝ 1.575，解得 x1＝3， x2 2 ＝ 9 ，則 t 的取值范圍為 3＜ t＜ 9. 2 2 2 方法總結(jié)： 解答本題的關(guān)鍵是注意審 題，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)問題， 培養(yǎng)自 己利用數(shù)學(xué)知識解答實(shí)際問題的能

13、力． 三、板書設(shè)計 2 二次函數(shù) y＝ ax ＋ bx＋c 的圖象與性質(zhì) 2 1．二次函數(shù) y＝ ax ＋ bx＋c 的圖象與性 質(zhì) 2．二次函數(shù) y＝ax2＋ bx＋ c 的應(yīng)用 總結(jié)二次函數(shù)性質(zhì)， 充分地相信學(xué)生，鼓勵 學(xué)生大膽地用自己的語言進(jìn)行歸納， 在教學(xué) 過程中，注重為學(xué)生提供展示自己的機(jī)會， 這樣也利于教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生分析問題、 解決問 題的獨(dú)到見解， 以及思維的誤區(qū)，以便指導(dǎo) 今后的教學(xué)． 課堂上要把激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情 和提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力放在教學(xué)首位， 通過運(yùn) 用各種啟發(fā)、激勵的語言，以及組織小組合 作學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生形成積極主動的求知態(tài)度 . 第 3頁共3頁