《利用三角函數(shù)測高》教案北師版九下

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1、 1.6 利用三角函數(shù)測高 1．經(jīng)歷運用儀器進行實地測量以及撰寫活動報告的過程， 能夠?qū)λ玫降臄?shù)據(jù)進 行分析； (重點 ) 2．能綜合應(yīng)用直角三角形的邊角關(guān)系的知識解決實際問題． (難點 ) 一、情境導(dǎo)入  如圖，在一次測量活動中，小華站在離旗桿底部 B 處 6 米的 D 處，仰望旗桿頂端 A，測得仰角為 60°，眼睛離地面的 距離 ED 為 1.5 米．試幫助小華求出旗桿 AB 的高度 (結(jié)果精確到 0.1 米， 3≈ 1.732)． 解析： 由題意可得四邊形 BCED

2、 是矩 形，所以 BC＝ DE ，然后在 Rt△ ACE 中，根 據(jù) tan∠ AEC＝ACEC，即可求出 AC 的長． 解： ∵ BD＝ CE＝ 6m，∠ AEC＝ 60°， ∴ AC ＝ CE · tan60°＝ 6× 3 ≈ 6 × 1.732≈ 10.4( 米 ) ，∴ AB ＝ AC＋ DE ＝ 10.4＋ 1.5 ＝ 11.9(米 )． 所以，旗桿 AB 的高度約為 11.9 米． 方法總結(jié)： 本題借助仰角構(gòu)造直角三角 形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角 形，解題的關(guān)鍵是從實際問題中整理

3、出直角 如圖所示，站在離旗桿 BE 底部 10 米處 三角形并選擇合適的邊角關(guān)系解題． 的 D 點，目測旗桿的頂部，視線 AB 與水平 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》 本課時練習(xí)“課 線的夾角∠ BAC 為 34°，并已知目高 AD 為 堂達標(biāo)訓(xùn)練” 第 5 題 1.5 米．現(xiàn)在若按 1∶500 的比例將△ ABC 畫 【類型二】 測量底部不可到達的物體 在紙上，并記為△ A′B′C′，用刻度直尺量出 的高度 紙上 B′C′的長度， 便可以算出旗桿的實際高 度．你知道計算的方法嗎？ 實際上，我們利用圖①中已知的數(shù)據(jù)就

4、 可以直接計算旗桿的高度， 而這一問題的解 決將涉及直角三角形中的邊角關(guān)系． 我們已 經(jīng)知道直角三角形的三條邊所滿足的關(guān)系 ( 即勾股定理 )，那么它的邊與角又有什么關(guān) 如圖，放置在水平桌面上的臺燈 系？這就是本節(jié)要探究的內(nèi)容． 的燈臂 AB 長為 30cm，燈罩 BC 長為 20cm， 二、合作探究 底座厚度為 2cm，燈臂與底座構(gòu)成的∠ BAD 探究點：利用三角函數(shù)測高 ＝ 60° .使用發(fā)現(xiàn)， 光線最佳時燈罩 BC 與水 【類型一】 測量底部可以到達的物體 平線所成的角為 30°，

5、此時燈罩頂端 C 到 的高度 桌面的高度 CE 是多少厘米 ( 結(jié)果精確到 0.1cm，參考數(shù)據(jù)： 3≈ 1.732)? 解析： 首先過點 B 作 BF⊥CD 于點 F， 作 BG⊥ AD 于點 G，進而求出 FC 的長，再 求出 BG 的長，即可得出答案． 解： 過點 B 作 BF⊥CD 于點 F，作 BG⊥ AD 于點 G.∴四邊形 BFDG 矩形，∴ BG＝ FD .在 Rt△ BCF 中，∠ CBF ＝ 30°，∴ 第 1頁共2頁 1 CF ＝B

6、C·sin30°＝ 20× 2＝ 10(cm)．在 Rt△ ABG 中，∠ BAG＝60°，∴ BG＝ AB·sin60° ＝ 30× 23＝ 15 3(cm) ．∴ CE＝ CF ＋ FD ＋ DE＝10＋ 15 3＋ 2＝12＋15 3≈ 37.98≈ 38.0(cm) ． 所以，此時燈罩頂端 C 到桌面的高度 CE 約是 38.0cm. 方法總結(jié)： 將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練” 第 8 題 【類型三】 利用三角板測量物體的高 度

7、 如圖，在活動課上，小明和小紅 合作用一副三角板來測量學(xué)校旗桿高度． 已 知小明的眼睛與地面的距離 AB 是 1.7m ，他 調(diào)整自己的位置， 設(shè)法使得三角板的一條直 角邊保持水平，且斜邊與旗桿頂端 M 在同 一條直線上， 測得旗桿頂端 M 仰角為 45°； 小紅眼睛與地面的距離 CD 是 1.5m ，用同樣 的方法測得旗桿頂端 M 的仰角為 30° .兩人 相距 28 米且位于旗桿兩側(cè) (點 B、 N、D 在 同一條直線上 )．求出旗桿 MN 的高度 ( 參考 數(shù)據(jù)： 3≈ 1.7，結(jié)果保留整數(shù) )．

8、 解析：過點 A 作 AE⊥ MN 于點 E，過點 C 作 CF⊥ MN 于點 F，由 △ AEM 是等腰直角三角形得出 AE＝ ME ，設(shè) AE＝ ME＝ xm，根據(jù)三角函數(shù)列方程求出 x 的值即可求解．  解：過點 A 作 AE⊥ MN 于點 E，過點 C 作 CF⊥ MN 于點 F，則 EF＝AB－ CD＝ 1.7 － 1.5＝ 0.2(m) ，在 Rt△ AEM 中，∵∠ AEM ＝ 90°，∠ MAE ＝ 45°，∴ AE＝ ME.設(shè) AE ＝ ME ＝

9、 xm，則 MF ＝ (x＋ 0.2)m ， FC ＝ (28 － x)m.在 Rt△ MFC 中，∵∠ MFC ＝ 90°， ∠ MCF ＝ 30°，∴ MF ＝ CF ·tan∠ MCF ，∴ x 3 ＋ 0.2＝ 3 (28－ x) ，解得 x≈10.1 ，∴ MN ＝ ME ＋ EN＝ 10.1＋ 1.7≈12(米 )． 所以，旗桿 MN 的高度約為 12 米．方法總結(jié)： 解決問題的關(guān)鍵是作出輔助 線構(gòu)造直角三角形，設(shè)出未知數(shù)列出方程． 三、板書設(shè)計 利用三角函數(shù)測高 1．測量底部可以到達的物體的高度 2．測量底部不可到達的物體的高度 3．利用三角板測量物體的高度 本節(jié)課為了充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性， 學(xué)生通過小組討論，大膽地發(fā)表意見， 提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣． 能夠使學(xué)生自己構(gòu)造實際問題中的直角三角形， 并通過解直角三角形解決實際問題，這本身是一個質(zhì)的飛 躍．在教學(xué)過程中， 注重引導(dǎo)學(xué)生運用方程思想解決實際問題， 數(shù)學(xué)思想方法的滲透使學(xué)生的能力發(fā)展先于知識能力， 從而促進學(xué)生知識能力的提高 . 第 2頁共2頁