《切線長定理》教案北師版九下

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1、 *3.7 切線長定理 1．理解切線長的定義； (重點 ) 2．掌握切線長定理并能運用切線長定理解決問題． (難點 ) 一、情境導(dǎo)入 如圖①， PA 為⊙ O 的一條切線，點 A 為切點．如圖②所示，沿著直線 PO 將紙對 折，由于直線 PO 經(jīng)過圓心 O，所以 PO 是 圓的一條對稱軸， 兩半圓重合． 設(shè)與點 A 重 合的點為點 B，這里， OB 是⊙ O 的一條半 徑， PB 是⊙ O 的一條切線．圖中 PA 與 PB、 ∠ APO 與∠ BPO 有什么關(guān)

2、系？ 二、合作探究 探究點：切線長定理 【類型一】 利用切線長定理求線段的 長 如圖，從⊙ O 外一點 P 引圓的兩條切線 PA、PB ，切點分別是點 A 和點 B，如果∠ APB ＝ 60°，線段 PA＝ 10，那么弦 AB的長是( ) A． 10 B． 12 C．5 3 D．10 3  解析： ∵ PA、 PB 都是 ⊙ O 的切線，∴ PA＝ PB.∵∠ APB＝ 60°，∴△ PAB 是等邊三角形

3、，∴ AB＝ PA＝ 10.故選 A. 方法總結(jié)： 切線長定理是在圓中判斷線段相等的主要依據(jù)，經(jīng)常用到． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》 本課時練習“課堂達標訓(xùn)練”第 4 題 【類型二】 利用切線長定理求角的度 數(shù) 如圖， PA、PB 是⊙ O 的切線，切點分別為 A、B，點 C 在⊙ O 上，如果∠ ACB ＝ 70°，那么∠ OPA 的度數(shù)是 ________度． 解析： 如圖所示，連接 OA、 OB.∵ PA、 PB 是 ⊙ O 的切線， 切點分別為 A、B，∴ OA ⊥ PA， OB⊥ PB，∴∠

4、OAP＝ ∠ OBP＝ 90° . 又 ∵∠ AOB＝ 2∠ ACB＝ 140°，∴∠ APB ＝360°－ ∠PAO－ ∠ AOB－ ∠ OBP ＝ 360°－90°－ 140 °－ 90°＝40°.易證 △ POA≌△ POB， 1 ∴∠ OPA＝ ∠ APB ＝20° .故答案為 20. 方法總結(jié)： 由公共點引出的兩條切線， 可以運用切線長定理得到等腰三角形． 另外 根據(jù)全等的判定，可得到 PO 平分 ∠APB. 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》 本課時練習“課 堂達標訓(xùn)練”第 3 題 【類型三】 利用切線長定理求三角形 的周長 如圖，

5、PA、 PB、 DE 是⊙ O 的切線，切點分別為 A、B、F，已知 PO＝ 13cm， ⊙ O 的半徑為 5cm，求△ PDE 的周長． 第 1頁共3頁 解析：連接 OA，根據(jù)切線的性質(zhì)定理， (1) 求證： BE＝ CE； 得 OA⊥ PA.根據(jù)勾股定理， 得 PA＝ 12，再根 (2) 若∠ A＝ 90°， AB ＝ AC＝ 2，求⊙ O 據(jù)切線長定理即可求得 △ PDE 的周長． 的半徑． 解： 連接 OA，則 OA⊥PA.在 Rt△ APO 中， PO＝ 13cm，OA＝ 5cm，根據(jù)勾股定理，

6、得 AP＝ 12cm.∵ PA、PB、DE 是⊙ O 的切線， ∴ PA＝ PB， DA ＝ DF ， EF＝ EB，∴△ PDE 的周長 PD＋DE＋PE＝PD＋DF ＋FE＋PE ＝ PD＋ DA＋ EB＋PE＝PA＋PB＝2PA＝ 解析： (1) 利用切線長定理得出 AD ＝ 24cm. AF ，BD ＝ BE，CE＝ CF，進而得出 BD＝ CF， 方法總結(jié)： 從圓外一點引圓的兩條切 即可得出答案； 線，它們的切線長相等， 圓心和這一點的連 (2) 首先連接 OD 、OE、 OF ，進而利

7、用 線，平分兩條切線的夾角． 切線的性質(zhì)得出 ∠ODA ＝ ∠OFA ＝ ∠A＝ 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習“課 90°，進而得出四邊形 ODAF 是正方形， 再 后鞏固提升”第 4 題 利用勾股定理求出 ⊙ O 的半徑． 【類型四】 利用切線長定理解決圓外 (1) 證明： ∵⊙ O 是△ ABC 的內(nèi)切圓， 切四邊形的問題 ∴ AD ＝ AF，BD ＝ BE ，CE＝ CF .∵ AB＝ AC， ∴AB－AD＝ AC－AF ，即 BD＝CF，∴ BE ＝ CE；

8、 (2)解： 連接 OD、 OE、OF ，∵⊙ O 是 △ ABC 的內(nèi)切圓，切點為 D、 E、 F，∴∠ ODA ＝∠ OFA＝∠ A＝ 90° .又∵ OD ＝ OF ， 如圖，四邊形 ABCD 的邊與圓 O ∴四邊形 ODAF 是正方形．設(shè) OD＝AD ＝ 分別相切于點 E、F 、G、H，判斷 AB 、BC、 AF ＝ r ，則 BE＝ BD ＝ CF ＝ CE ＝ 2 － r. 在 CD 、DA 之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理 △ ABC 中，∠ A＝90°， ∴ BC＝ AB2 ＋

9、AC2 由． ＝ 2 2.又∵ BC＝ BE ＋CE，∴ (2－r )＋ (2－ r) 解析： 直接利用切線長定理解答即可． ＝ 2 2，得 r＝ 2－ 2，∴⊙ O 的半徑是 2－ 解：AD＋ BC＝ CD ＋AB，理由如下： ∵ 2 . 四邊形 ABCD 的邊與圓 O 分別相切于點 E、 方法總結(jié)： 本題綜合考查了正方形的判 F、G、H ，∴DH ＝ DG，CG＝ CF，BE＝ BF， 定以及切線長定理和勾股定理等知識， 解決 AE ＝ AH，∴ AH＋DH ＋ CF ＋ BF＝DG ＋ GC 問題的關(guān)鍵是得出

10、四邊形 ODAF 是正方形． ＋ AE＋ BE，即 AD ＋ BC＝CD ＋ AB. 【類型六】 利用切線長定理解決存在 方法總結(jié)： 由切線長定理可以得到一些 性問題 相等的線段，一定要明確這些相等線段． 記 如圖①，已知正方形 ABCD 的邊 住 “ 圓外切四邊形的對邊之和相等 ” ，對我 長為 2 3，點 M 是 AD 的中點， P 是線段 們以后解決問題有很大幫助． MD 上的一動點 (P 不與 M，D 重合 )，以 AB 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習“課 為直徑作⊙ O，過點 P 作⊙ O 的切線

11、交 BC 堂達標訓(xùn)練”第 4 題 于點 F，切點為 E. 【類型五】 切線長定理與三角形內(nèi)切 (1) 除正方形 ABCD 的四邊和⊙ O 中的 圓的綜合 半徑外，圖中還有哪些相等的線段 (不能添 如圖，在△ ABC 中， AB＝ AC，⊙ 加字母和輔助線 )? O 是△ ABC 的內(nèi)切圓，它與 AB、 BC、 CA (2) 求四邊形 CDPF 的周長； 分別相切于點 D、 E、F. (3) 延長 CD ，F(xiàn)P 相交于點 G，如圖②所 第 2頁共3頁

12、 示．是否存在點 P，使 BF·FG ＝CF ·OF ？如果存在，試求此時 AP 的長；如果不存在，請說明理由． 解析：(1) 根據(jù)切線長定理得到 FB ＝ FE， PE ＝ PA； (2) 根據(jù)切線長定理，發(fā)現(xiàn)該四邊 形的周長等于正方形的三邊之和； (3)若要滿足結(jié)論，則 ∠ BFO＝ ∠ GFC，根據(jù)切線長定理得 ∠ BFO＝ ∠ EFO，從而得到這三個角應(yīng) 是 60°，然后結(jié)合已知的正方形的邊長， 也是圓的直徑， 利用 30°的直角三角形的知識進行計算． 解： (1)FB＝ F

13、E， PE＝ PA； (2)四邊形 CDPF 的周長為 FC ＋ CD＋ DP ＋ PE＋EF＝FC ＋ CD＋ DP ＋PA＋BF ＝ BF ＋FC＋ CD＋DP＋ PA＝ BC＋CD ＋DA＝ 2 3×3＝ 6 3； (3) 假設(shè)存在點 P，使 BF·FG＝ CF ·OF .∴ OFBF ＝ CFFG .∵ cos∠ OFB ＝ BFOF ， cos ∠ GFC ＝ CFFG ，∴∠ OFB ＝∠ GFC.∵∠ OFB ＝∠ OFE ，∴∠ OFE ＝∠ OFB ＝∠ GFC ＝ 60°，∴在 Rt△ OFB 中， BF ＝ OB ＝ tan

14、∠ OFB OB ＝ 1.在 Rt△ GFC 中，∵ CG＝ CF·tan tan60° ∠ GFC ＝ CF·tan60°＝ (2 3－ 1)× 3＝ 6－ 3，∴ DG ＝CG－CD＝6－3 3，∴ DP＝ DG ·tan∠ PGD ＝ DG·tan30°＝ 2 3 － 3，∴ AP ＝AD －DP ＝ 2 3－ (2 3－ 3)＝ 3. 方法總結(jié)： 由于存在性問題的結(jié)論有兩種可能，所以具有開放的特征， 在假設(shè)存在 性以后進行的推理或計算．一般思路是： 假設(shè)存在 —— 推理論證 —— 得出結(jié)論． 若能導(dǎo)出合理的結(jié)果，就做出 “ 存在 ”的

15、判斷，若導(dǎo)出矛盾，就做出 “不存在 ”的判斷．  三、板書設(shè)計 切線長定理 1．切線長的概念 2．切線長定理 3．切線長定理的應(yīng)用 在教學(xué)過程中， 通過安排實踐操作活動， 使學(xué)生提高了探究的興趣． 首先教師突出操作要求， 學(xué)生操作并思考回答問題，教師在學(xué)生回答問題的基礎(chǔ)上進一步引導(dǎo)學(xué)生從中 發(fā)現(xiàn)問題， 讓學(xué)生體會從具體情景和實踐操作中發(fā)現(xiàn)問題， 解決問題．通過設(shè)計問題情境，使學(xué)生提高解決問題的意識，通過自己畫圖嘗試從中得到感性認識， 進而不斷地比較，讓學(xué)生的思維能夠經(jīng)歷一個從模糊到清晰，從具體到抽象，從直覺到邏輯的過程，再由直觀、粗糙向嚴格、精確，使學(xué)生體會數(shù)學(xué)發(fā)展的過程 . 第 3頁共3頁