《圓周角和直徑的關系及圓內(nèi)接四邊形》教案北師版九下

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1、 3.4 圓周角和圓心角的關系 第 2 課時 圓周角和直徑的關系及圓內(nèi)接四邊形 1．掌握圓周角和直徑的關系，會熟練運用解決問題； (重點 ) 2．培養(yǎng)學生觀察、分析及理解問題的 能力，經(jīng)歷猜想、推理、驗證等環(huán)節(jié)，獲得正確的學習方式． (難點 ) 一、情境導入 你喜歡看足球比賽嗎？你踢過足球 嗎？ 如圖②所示， 甲隊員在圓心 O 處，乙隊員在圓上 C 處，丙隊員帶球突破防守到圓上 C 處，依然把球傳給了甲，你知道為

2、什么嗎？你能用數(shù)學知識解釋一下嗎？ 二、合作探究 探究點一：圓周角和直徑的關系 【類型一】 利用直徑所對的圓周角是直角求角的度數(shù) 如圖， BD 是⊙ O 的直徑，∠ CBD ＝ 30°，則∠ A 的度數(shù)為 ( ) A． 30° B ． 45° C． 60° D． 75° 解析： ∵ BD 是⊙ O 的直徑，∴∠ BCD ＝ 90° .∵∠ CBD ＝30°，∴∠ D＝ 60°，∴ ∠ A＝ ∠D ＝60° .故選 C. 方法總結： 在圓中，如果有直徑，一般  要找直徑所對的圓周角， 構造直角三

3、角形解題． 變式訓練：見《學練優(yōu)》 本課時練習“課堂達標訓練”第 3 題 【類型二】 作輔助線構造直角三角形解決問題 如圖，點 A、B、D、 E 在⊙ O 上，弦 AE、BD 的延長線相交于點 C.若 AB 是⊙ O 的直徑， D 是 BC 的中點． (1) 試判斷 AB、AC 之間的大小關系， 并給出證明； (2) 在上述題設條件下，當△ ABC 為正三角形時，點 E 是否為 AC 的中點？為什么？ 解析： (1)連接 AD，先根據(jù)圓周角定理求出 ∠ ADB ＝ 90°，再根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)判斷

4、； (2)連接 BE，根據(jù)圓周角定理求出 ∠ AEB＝ 90°，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求解． 解： (1)AB＝ AC.證明如下：連接 AD ， ∵ AB 是⊙ O 的直徑，∴∠ ADB ＝ 90°， 即 AD ⊥ BC.∵ BD＝DC ，∴ AD 垂直平分 BC， ∴ AB＝ AC； (2) 當△ ABC 為正三角形時， E 是 AC 的 中點．理由如下：連接 BE，∵ AB 為⊙ O 的直徑，∴∠ BEA＝ 90°，即 BE⊥ AC.∵△ ABC 為正三角形，∴ AE ＝EC，即 E 是 AC 的中點． 方法總結： 在解決圓的問題時， 如果有直徑往往考慮作輔助線

5、， 構造直徑所對的圓周角． 變式訓練：見《學練優(yōu)》 本課時練習“課堂達標訓練”第 6 題 探究點二：圓內(nèi)接四邊形 第 1頁共3頁 【類型一】 圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)的運用 如圖，四邊形 ABCD 內(nèi)接于⊙ O， 點 E 是 CB 的延長線上一點， ∠ EBA＝ 125°， 則∠ D＝( ) A．65° B．120° C．125 ° D．130 ° 解析： 利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求得 ∠ FGD ＝ ∠ ACD ，然后根據(jù)垂徑定理推知 AB 是

6、 CD 的垂直平分線， 則 ∠ADC ＝ ∠ ACD. 故∠FGD ＝∠ADC. 證明： ∵四邊形 ACDG 內(nèi)接于⊙ O，∴ 解析： ∵∠ EBA ＝ 125 °，∴∠ ABC ＝ ∠ FGD ＝∠ ACD.又∵ AB 為⊙ O 的直徑， CF 180°－ 125°＝ 55°.∵四邊形 ABCD 內(nèi)接 ⊥ AB 于 E，∴ AB 垂直平分 CD，∴AC＝ AD， 于 ⊙ O，∴∠ D＋ ∠ ABC＝ 180°，∴∠ D＝ ∴∠ ADC ＝∠ ACD，∴∠ FGD ＝∠ ADC . 180°－ 55°＝ 125°.故選 C. 方

7、法總結： 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通 方法總結： 解決問題關鍵是掌握圓內(nèi)接 角相等關系的重要依據(jù)． 四邊形的對角互補這一性質(zhì)． 【類型四】 圓內(nèi)接四邊形、圓周角、 變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課 相似三角形和三角函數(shù)的綜合 堂達標訓練”第 7 題 如圖，四邊形 ABCD 內(nèi)接于⊙ O， 【類型二】 圓內(nèi)接四邊形與圓周角的 ︵ 綜合 AB 為⊙ O 的直徑，點 C 為 BD 的中點， AC、 如圖，在⊙ O 的內(nèi)接四邊形 ABCD BD 交于點 E. 中，∠ BOD＝ 120°，那么∠ BCD 是 ( )

8、(1) 求證：△ CBE ∽△ CAB； A． 120° B． 100° (2) 若 S△CBE ∶ S△CAB ＝1∶ 4，求 sin∠ABD 的值． C． 80° D ． 60° 解析：∵∠ BOD＝ 120°，∴∠ A＝ 60°， ∴∠ C＝ 180°－ 60°＝ 120°，故選 A. 方法總結： 解決問題關鍵是掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補和圓周角的性質(zhì)． 變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第 8 題 【類型三】 圓內(nèi)接四邊形與垂徑定理的綜合 如圖，AB 為⊙ O

9、的直徑， CF⊥ AB 于 E，交⊙ O 于 D， AF 交⊙ O 于 G.求證： ∠ FGD ＝∠ ADC .  解析： (1) 利用圓周角定理得出 ∠DBC ＝ ∠ BAC，根據(jù)兩角對應相等得出兩三角形相似，直接證明即可； (2) 利用相似三角形的性質(zhì)面積比等于相似比的平方，得出 AC∶ BC＝ BC∶ EC＝ 2∶1，再利用三角形中 位線的性質(zhì)以及三角函數(shù)知識得出答案． ︵ (1) 證明：∵點 C 為 BD 的中點，∴∠ DBC ＝∠ BAC.在△ CBE 與△ CAB 中，∠ DBC ＝ ∠ BAC，

10、∠BCE＝∠ACB，∴△ CBE∽△ CAB； (2) 解：連接 OC交 BD 于 F 點，則 OC 垂直平分 BD .∵ S△CBE∶ S△ CAB＝ 1∶ 4，△ CBE ∽△ CAB，∴ AC∶ BC＝ BC∶ EC＝ 2∶1，∴ 第 2頁共3頁 AC ＝4EC，∴AE∶EC＝ 3∶ 1.∵ AB 為⊙ O 的 直徑，∴∠ ADB ＝ 90°，∴ AD ∥ OC ，則 AD ∶ FC＝ AE∶ EC＝ 3∶ 1.設 FC＝ a，則 AD ＝ 3a.∵ F 為 BD 的中點， O 為 AB 的中點， 1

11、 ∴ OF 是△ ABD 的中位線，則 OF＝ 2AD ＝ 1.5a，∴ OC＝OF ＋ FC＝ 1.5a＋ a＝ 2.5a，則 AB ＝2OC＝ 5a.在 Rt△ ABD 中， sin∠ ABD ＝ AD ＝ 3a＝ 3. AB 5a 5 方法總結： 圓內(nèi)接四邊形、圓周角等知 識都是和角有關的定理， 在圓中解決這方面 的問題時考慮相等的角． 三、板書設計 圓周角和直徑的關系及圓內(nèi)接四邊形 1．圓周角和直徑的關系 2．圓內(nèi)接四邊形的概念和性質(zhì) 本節(jié)課采用問題情境——自主探究——拓 展應用的課堂教學模式， 以問題為主，配合 多媒體輔助教學，引導學生進行有效思 考．在教學過程中，通過問題串啟發(fā)引導， 學生自主探究，創(chuàng)設情境等多種教學方式， 激發(fā)學生學習興趣， 調(diào)動課堂氣氛， 收到了 很好的教學效果 . 第 3頁共3頁