《圓周角和圓心角的關(guān)系》教案北師版九下

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1、 3.4 圓周角和圓心角的關(guān)系 第 1 課時 圓周角和圓心角的關(guān)系 1．理解圓周角的概念，掌握圓周角的 兩個特征、定理的內(nèi)容及簡單應(yīng)用； (重點 ) 2．能運用圓周角定理及其推論進行簡單的證明計算． (難點 ) 一、情境導(dǎo)入 在下圖中， 當球員在 B, D, E 處射門時，他所處的位置對球門 AC 分別形成三個張角 ∠ ABC, ∠ ADC ，∠ AEC.這三個角的大小有什么關(guān)系？ 二、合作探究 探究點：

2、圓周角定理及其推論 【類型一】 利用圓周角定理求角的度 數(shù) 如圖，已知 CD 是⊙ O 的直徑，過點 D 的弦 DE 平行于半徑 OA，若∠ D 的 度數(shù)是 50°，則∠ C 的度數(shù)是 ( ) A．25° B．30° C．40° D ．50° 解析： ∵OA ∥DE ，∠ D ＝ 50°，∴∠ AOD ＝ 50°.∵∠ C＝1∠ AOD ，∴∠ C＝1× 2 2 50°＝ 25°.故選 A. 方法總結(jié)： 解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握  圓周角定理． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》 本課時練

3、習“課堂達標訓(xùn)練”第 2 題 【類型二】 利用圓周角定理的推論求角的度數(shù) ︵ ︵ 如圖，在⊙ O 中， AB＝AC ，∠ A ＝ 30°，則∠ B＝ ( ) A ． 150° B． 75° C． 60° D． 15° ︵ ︵ 解析： 因為 AB＝ AC，根據(jù) “ 同弧或等 弧所對的圓周角相等 ” 得到 ∠B＝∠ C，因 為 ∠ A＋ ∠ B＋ ∠ C＝ 180°，所以 ∠A＋ 2∠B ＝ 180°，又因為 ∠ A＝ 30°，所以 30°＋ 2∠ B＝ 180°，解得 ∠B

4、＝ 75° .故選 B. 方法總結(jié)： 解題的關(guān)鍵是掌握在同圓或等圓中，相等的兩條弧所對的圓周角也相等．注意方程思想的應(yīng)用． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》 本課時練習“課堂達標訓(xùn)練”第 8 題 【類型三】 圓周角定理與垂徑定理的 綜合 如圖所示， AB 是⊙ O 的一條弦， OD ⊥ AB，垂足為點 C，交⊙ O 于點 D ，E在⊙O上． (1) ∠ AOD＝ 52°，求∠ DEB 的度數(shù)； (2) 若 AC＝ 7，CD＝ 1，求⊙ O 的半徑． 第 1頁共3頁 解析： (1)由 OD⊥AB，根據(jù)垂徑定理的

5、︵ ︵ 推論可求得 AD ＝BD ，再由圓周角定理及其推論求 ∠DEB 的度數(shù)； (2) 首先設(shè) ⊙ O 的半 徑為 x，然后由勾股定理得到方程解答． 解：(1) ∵ AB 是⊙ O 的一條弦，OD ⊥ AB， ︵ ︵ 1∠ AOD ＝ 1× 52° ∴AD＝BD，∴∠ DEB＝ 2 2 ＝ 26°； (2)設(shè)⊙ O 的半徑為 x，則 OC＝ OD －CD ＝ x－ 1.∵OC2 ＋ AC2 ＝ OA2 ， ∴ (x － 1)2 ＋ ( 7)2＝ x2，解得 x＝4，∴⊙ O 的半徑為 4. 方法總結(jié)： 本題綜合考查了圓周

6、角定理及其推論、 垂徑定理以及勾股定理． 注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓(xùn)練”第 3 題 【類型四】 圓周角定理的推論與圓心角、弧、弦之間的關(guān)系的綜合 如圖，△ ABC 內(nèi)接于⊙ O， AB＝ AC ，點 D 在弧 AB 上，連接 CD 交 AB 于點 ︵ E，點 B 是CD的中點，求證：∠ B＝∠ BEC . ︵ 解析： 由點 B 是 CD 的中點，得 ∠BCE ＝ ∠ BAC，即可得 ∠ BEC＝ ∠ ACB，然后由等腰三角形的性質(zhì)，證得

7、結(jié)論． ︵ ︵ ︵ 證明： ∵ B 是CD 的中點，∴ BC＝ BD ， ∴∠ BCE ＝∠ BAC .∵∠ BEC ＝ 180 °－∠ B －∠ BCE，∠ ACB＝ 180°－∠ BAC－∠ B， ∴ ∠ BEC ＝ ∠ACB.∵AB ＝ AC ， ∴ ∠ B＝ ∠ ACB ，∴∠ B＝∠ BEC. 方法總結(jié)： 此題考查了圓周角定理的推論以及等腰三角形的性質(zhì)． 解答時一定要結(jié)合圖形． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習“課  后鞏固提升”第 7 題 【類型五】 圓周角定理的推論與三角 形知識的綜合 如圖， A、P、B、C

8、是⊙ O 上四點，且∠ APC＝∠ CPB＝60° .連接 AB、BC、AC. (1) 試判斷△ ABC 的形狀，并給予證明； (2) 求證： CP＝ BP＋ AP. 解析： (1)利用圓周角定理可得 ∠BAC ＝ ∠ CPB，∠ ABC ＝∠ APC，而 ∠ APC＝∠ CPB ＝ 60°，所以 ∠BAC＝ ∠ ABC＝ 60°，從而可判斷 △ ABC 的形狀； (2) 在 PC 上截取 PD ＝ AP，則 △ APD 是等邊三角形，然后證明 △ APB≌△ ADC ，證明 BP＝ CD，即可證得． (

9、1) 解： △ ABC 是等邊三角形．證明如 ︵ 下：在⊙ O 中，∵∠ BAC 與∠ CPB 是 BC所 ︵ 對的圓周角，∠ ABC 與∠ APC 是AC所對的 圓周角，∴∠ BAC＝∠ CPB，∠ ABC＝∠ APC . 又∵∠ APC ＝∠ CPB ＝ 60°，∴∠ ABC ＝ ∠ BAC＝ 60°，∴△ ABC 為等邊三角形； (2) 證明： 在 PC 上截取 PD ＝AP，連接 AD .又∵∠ APC ＝ 60°，∴△ APD 是等邊三角形，∴ AD ＝ AP＝ PD ，∠ ADP ＝ 60°，即 ∠ADC ＝120° .又∵∠ APB＝ ∠AP

10、C＋ ∠ BPC ＝ 120°，∴∠ ADC ＝∠ APB.在△ APB ∠APB＝∠ ADC， 和△ ADC 中， ∠ ABP＝∠ ACD， ∴△ APB AP＝ AD， ≌△ ADC (AAS) ，∴ BP＝ CD.又∵ PD＝ AP， ∴ CP＝ BP＋ AP. 方法總結(jié)： 本題考查了圓周角定理的理論以及三角形的全等的判定與性質(zhì)， 正確作出輔助線是解決問題的關(guān)鍵． 【類型六】 圓周角定理的推論與相似三角形的綜合 第 2頁共3頁 ︵ 如圖，點 E 是BC的中點，點 A 在 ⊙ O

11、上，AE 交 BC 于 D.求證： BE2＝ AE·DE . ︵ 解析： 點 E 是BC的中點，根據(jù)圓周角 定理的推論可得 ∠BAE ＝ ∠CBE ，可證得 △ BDE ∽△ ABE，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例得結(jié)論． ︵ ︵ ︵ 證明：∵點 E 是 BC的中點，即 BE＝ CE， ∴∠ BAE＝∠ CBE.∵∠ E＝∠ E( 公共角 )，∴ △ BDE ∽△ ABE，∴ BE∶ AE＝ DE ∶ BE，∴ BE 2＝ AE·DE . 方法總結(jié)： 圓周角定理的推論是和角有關(guān)系的定理，

12、所以在圓中，解決相似三角形的問題常?？紤]此定理． 三、板書設(shè)計 圓周角和圓心角的關(guān)系1．圓周角的概念2．圓周角定理 3．圓周角定理的推論 本節(jié)課的重點是圓周角與圓心角的關(guān)系， 難 點是應(yīng)用所學(xué)知識靈活解題． 在本節(jié)課的教 學(xué)中，學(xué)生對圓周角的概念和“同弧所對的 圓周角相等”這一性質(zhì)較容易掌握， 理解起 來問題也不大， 而對圓周角與圓心角的關(guān)系 理解起來則相對困難， 因此在教學(xué)過程中要 著重引導(dǎo)學(xué)生對這一知識的探索與理解． 還 有些學(xué)生在應(yīng)用知識解決問題的過程中往 往會忽略同弧的問題， 在教學(xué)過程中要對此 予以足夠的強調(diào)，借助多媒體加以突出 . 第 3頁共3頁