《弧長及扇形的面積》教案北師版九下

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1、 3.9 弧長及扇形的面積 1．了解扇形的概念，理解 n°的圓心角所對的弧長和扇形面積的計(jì)算公式并熟練掌握它們的應(yīng)用； (重點(diǎn) ) nπ R 和扇形面 2．通過復(fù)習(xí)圓的周長、圓的面積公式，探索n°的圓心角所對的弧長 l ＝ 180 2 積 S 扇＝ nπ R 的計(jì)算公式，并應(yīng)用這些公式解決一些問題． (難點(diǎn) ) 360 一、情境導(dǎo)入 如圖是圓弧形狀的鐵軌示意圖，其中鐵軌的半徑為 100 米，圓心角為 90°

2、 .你能求出這 段鐵軌的長度嗎 (π 取 3.14)? 我們?nèi)菀卓闯鲞@段鐵軌是圓周長的 1，所以鐵軌的長度 l≈ 2× 3.14× 100＝ 157(米 ). 如果 4 4 圓心角是任意的角度，如何計(jì)算它所對的弧長呢？ 二、合作探究 探究點(diǎn)一：弧長公式 【類型一】 求弧長 如圖，某廠生產(chǎn)橫截面直徑為 7cm 的圓柱形罐頭盒，需將“蘑菇罐頭”字樣貼在 罐頭側(cè)面．為了獲得較佳視覺效果，字樣在罐頭盒側(cè)面所形成的弧的度數(shù)為 90°，則“蘑 菇罐頭”字樣的長度為 ( )

3、 π 7π 7π A. 4 cm B. 4 cm C. 2 cm D． 7π cm 解析： ∵ 字樣在罐頭側(cè)面所形成的弧的度數(shù)為90°，∴此弧所對的圓心角為 90° .由題 7 7 90π ×2 ＝ 7π (cm) ．故選 B. 意可得 R＝ cm，則 “蘑菇罐頭 ”字樣的長＝ 180 4 2 方法總結(jié)： 解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意得出圓心角及半徑，代入弧長公式進(jìn)行計(jì)算． 變式訓(xùn)練： 見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第 1 題

4、 第 1頁共4頁 【類型二】 利用弧長公式求半徑或圓心角 (1) 已知扇形的圓心角為 45°，弧長等于 π ，則該扇形的半徑是 ________； 2 π ________． (2)如果一個(gè)扇形的半徑是 1，弧長是 3 ，那么此扇形的圓心角的大小為 解析： (1) 若設(shè)扇形的半徑為 R，則根據(jù)題意，得 π 45× π ×R＝ ，解得 R＝ 2； (2)根據(jù) 180 2 弧長公式得 n× π ×1＝ π ，解得

5、n＝ 60，故扇形圓心角的大小為 60° .故答案分別為 2；60° . 180 3 方法總結(jié)： 逆用弧長的計(jì)算公式可求出相應(yīng)扇形的圓心角和半徑． 變式訓(xùn)練： 見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第 2題與第 4題 【類型三】 圓的切線與弧長公式的綜合 如圖，已知 AB 是⊙ O 的直徑，點(diǎn) C、D 在⊙ O 上，點(diǎn) E 在⊙ O 外，∠ EAC＝∠ D. (1)求證： AE 是⊙ O 的切線； (2)當(dāng) BC＝ 4，AB＝ 8 時(shí)，求劣弧 AC 的長．

6、 解析： (1) 連接 BC，由 AB 是 ⊙O 的直徑， 根據(jù)半圓 (或直徑 )所對的圓周角是直角， 可得 ∠ ACB ＝ 90°，又由 ∠ EAC＝ ∠D ，則可得 AE 是⊙ O 的切線； (2) 首先連接 OC，易得 ∠ABC ＝ 60°，則可得 ∠ AOC＝ 120°，由弧長公式，即可求得劣弧 AC 的長． (1)證明： 如圖，連接 BC，∵ AB 是⊙ O 的直徑，∴∠ BAC＋∠ ABC＝ 90° .又∵∠ EAC ＝∠ D，∠ B＝∠ D，∴∠ BAC＋∠ CAE ＝90°，即 BA⊥ AE，∴ AE 是⊙ O 的切線； BC 4 1

7、 (2)解： 如圖，連接 OC，∵△ ABC 是直角三角形，∴ sin∠ BAC＝ AB ＝8＝ 2，∴∠ BAC ＝ 30°，∴∠ ABC＝ 60°，∴∠ AOC ＝ 120° .∴劣弧 AC 的長＝ 120· π × 4＝ 8π . 1803 方法總結(jié)： 此題考查了切線的判定、 圓周角定理以及弧長公式等知識． 注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法． 探究點(diǎn)二：扇形的面積公式 【類型一】 求扇形面積 一個(gè)扇形的圓心角為 120°，半徑為 3，則這個(gè)扇形的面積為 ________(結(jié)果保留 π )． nπ r 2

8、 120× 32π 解析： 把圓心角和半徑代入扇形面積公式 S＝ 360 ＝ 360 ＝ 3π.故答案為 3π . 方法總結(jié)： 公式中涉及三個(gè)字母，只要知道其中兩個(gè)，就可以求出第三個(gè)．扇形面積還 有另外一種求法 S＝1lr ，其中 l 是弧長， r 是半徑． 2 變式訓(xùn)練： 見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第 5 題 【類型二】 求陰影部分的面積 ︵ AC、 如圖，扇形 AOB 中，半徑 OA＝ 2，∠ AOB＝ 120°， C 是 AB的中點(diǎn)，連接

9、 第 2頁共4頁 BC ，則圖中陰影部分的面積是 ( ) 4π A.3－2 3 B． 2π － 2 3 4π C.3－ 3 2π D.3－ 3 ︵ 解析： 連接 OC，過 O 作 OM ⊥ AC 于 M，∵∠ AOB＝ 120°， C 為 AB中點(diǎn)，∴∠ AOC＝ ∠ BOC ＝ 60° .∵ OA＝OC＝ OB＝ 2，∴△ AOC、△ BOC 是等邊三角形， ∴ AC＝ BC＝OA＝ 2， AM ＝ 1，∴△ AOC 的邊 AC 上的高 OM ＝ 22－ 12＝ 3，△ BOC

10、 邊 BC 上的高為 3，∴陰影 60π ×22 1 4π 部分的面積是 ( 360 － 2× 2× 3)× 2＝ 3 －2 3.故選 A. 方法總結(jié)： 本題考查了扇形的面積、三角形的面積、等邊三角形的判定和性質(zhì)，解決此 題要利用扇形的面積公式求出各部分的面積． 變式訓(xùn)練： 見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第 6 題 【類型三】 求不規(guī)則圖形的面積 如圖，小方格都是邊長為 1 的正方形，則以格點(diǎn)為圓心，半徑為 1和2的兩種弧 圍成的“葉狀”陰影圖案的面積為 ()

11、 A． 4π －2 B． 2π － 2 C． 4π － 4 D． 2π －4 90π× 2 2 1× 2× 2)＝ 解析： 連接 AB，由題意得陰影部分面積＝ 2(S 扇形 AOB－ S△ AOB) ＝ 2( － 360 2 2π－ 4.故選 D. 方法總結(jié)： 關(guān)鍵是需要同學(xué)們仔細(xì)觀察圖形， 將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面 積的和或差． 變式訓(xùn)練： 見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第 8 題 三、板書

12、設(shè)計(jì) 弧長及扇形的面積 1．弧長公式： l ＝ nπ R 180 第 3頁共4頁 2 2．扇形的面積公式： S 扇形 ＝ nπ R ＝ 1 錯(cuò)誤！未找到引用源。 lR 360 2 本節(jié)課的授課思路是： 復(fù)習(xí)圓周長公式， 推出弧長公式， 由圓面積公式類比導(dǎo)出扇形面積公式．使學(xué)生在經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展、形成的“再創(chuàng)造”活動(dòng)中，獲取廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng) 驗(yàn)，進(jìn)而促進(jìn)自身的主動(dòng)發(fā)展 . 第 4頁共4頁