經(jīng)典《極坐標(biāo)與參數(shù)方程》綜合測試題(含答案)(匯編)

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1、 精品文檔 《極坐標(biāo)與參數(shù)方程》綜合測試題 1．在極坐標(biāo)系中，已知曲線 C：ρ =2cos，θ將曲線 C 上的點(diǎn)向左平移一個(gè)單位， 然后縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長到原來的 2 倍，得到曲線 C1，又已知直線 l 過點(diǎn) P（ 1,0），傾斜角為 ，且直線 l 與曲線 C1 交于 A， B 兩點(diǎn)． 3 （ 1）求曲線 C1 的直角坐標(biāo)方程，并說明它是什么曲線； （ 2）求+． 2．在直角坐標(biāo)系 xOy 中，

2、圓 C 的參數(shù)方程 （φ為參數(shù)），以 O 為極 點(diǎn)， x 軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． （ 1）求圓 C 的極坐標(biāo)方程； （ 2）直線 l 的極坐標(biāo)方程是 2ρsin（θ+ ）=3 ，射線 OM：θ= 與圓 C 的交 點(diǎn)為 O、P，與直線 l 的交點(diǎn)為 Q，求線段 PQ的長． 精品文檔 精品文檔 2 3．在極坐標(biāo)系中，圓 C 的極坐標(biāo)方程為： ρ=4ρ（cos θ+sin θ）﹣ 6．若以極點(diǎn) O

3、 為原點(diǎn)，極軸所在直線為 x 軸建立平面直角坐標(biāo)系． （Ⅰ）求圓 C 的參數(shù)方程； （Ⅱ）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) P（x，y）是圓 C 上動(dòng)點(diǎn)，試求 x+y 的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn) P 的直角坐標(biāo)． 4．若以直角坐標(biāo)系 xOy 的 O 為極點(diǎn)， Ox 為極軸，選擇相同的長度單位建立極坐 標(biāo)系，得曲線 C 的極坐標(biāo)方程是 ρ= ． （ 1）將曲線 C 的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并指出曲線是什么曲線； （ 2）若直線 l 的參數(shù)

4、方程為 （ t 為參數(shù)）， P 3 ，當(dāng)直線 l 與曲線 C ,0 2 AB 2 . 相交于 A，B 兩點(diǎn)，求 PA PB 精品文檔 精品文檔 5．在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，以原點(diǎn) O 為極點(diǎn)， x 軸的非負(fù)半軸為極軸，建立 極坐標(biāo)系，曲線 x 3cos 為參數(shù)），曲線 C2 的極坐標(biāo)方 C1 的參數(shù)方程為 ( y 2s

5、in 程為 ． （ 1）求曲線 C1 的普通方程和曲線 C2 的直角坐標(biāo)方程； （ 2）設(shè) P 為曲線 C1 上一點(diǎn)， Q 曲線 C2 上一點(diǎn)，求 | PQ| 的最小值及此時(shí) P 點(diǎn)極坐標(biāo)． 6．在極坐標(biāo)系中，曲線 2 ，點(diǎn) R（2 ， ）． C 的方程為 ρ= （Ⅰ）以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為 x 軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，把曲線 C 的 極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程， R 點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)；

6、（Ⅱ）設(shè) P 為曲線 C 上一動(dòng)點(diǎn)，以 PR為對角線的矩形 PQRS的一邊垂直于極軸， 求矩形 PQRS周長的最小值． 精品文檔 精品文檔 7．已知平面直角坐標(biāo)系中，曲線 C1 的參數(shù)方程為 （φ為參數(shù)）， 以原點(diǎn)為極點(diǎn)， x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系， 曲線 C2 的極坐標(biāo)方程為 ρ =2cos．θ （Ⅰ）求曲線 C1 的極坐標(biāo)方程與曲線 C2 的直角坐標(biāo)方程； （Ⅱ）若直線 θ= （ρ∈R

7、）與曲線 C1 交于 P，Q 兩點(diǎn)，求 | PQ| 的長度． 8．在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)， x 軸的正半軸為極軸，以相同的長度單位 建立極坐標(biāo)系，己知直線 l 的極坐標(biāo)方程為 ρcos﹣θρsin θ，=2曲線 C 的極坐標(biāo) 2 （θ ＞ ）． 方程為 ρsinθ =2pcos p 0 （ 1）設(shè) t 為參數(shù)，若 x=﹣2+ t，求直線 l 的參數(shù)方程； （ 2） 已知直線 l 與曲線 C 交于 P、Q，設(shè)

8、M（﹣ 2，﹣4），且| PQ| 2=| MP| ?| MQ| ， 求實(shí)數(shù) p 的值． 精品文檔 精品文檔 9．在極坐標(biāo)系中，射線 l ： θ= 與圓 C： ρ =2交于點(diǎn) A，橢圓 Γ的方程為 2 ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為 x 軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系 xOy ρ= （Ⅰ）求點(diǎn) A 的直角坐標(biāo)和橢圓 Γ的參數(shù)方程； （Ⅱ）若 E 為橢圓 Γ的下頂點(diǎn)， F 為橢圓 Γ上任意一點(diǎn)，求 ? 的

9、取值范圍． 10．已知在直角坐標(biāo)系中，曲線的 C 參數(shù)方程為 （φ 為參數(shù)），現(xiàn) 以原點(diǎn)為極點(diǎn)， x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線 l 的極坐標(biāo)方程為 ρ= ． （ 1）求曲線 C 的普通方程和直線 l 的直角坐標(biāo)方程； （ 2）在曲線 C 上是否存在一點(diǎn) P，使點(diǎn) P 到直線 l 的距離最??？若存在， 求出距離的最小值及點(diǎn) P 的直角坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

10、 精品文檔 精品文檔 11．已知曲線 C1 的參數(shù)方程為 （t 為參數(shù)），以原點(diǎn) O 為極點(diǎn)，以 x 軸 的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C2 的極坐標(biāo)方程為 ． （ I）求曲線 C2 的直角坐標(biāo)系方程； （ II）設(shè) M 1 是曲線 C1 上的點(diǎn)， M2 是曲線 C2 上的點(diǎn)，求 | M1M 2| 的最小值．

11、 12．設(shè)點(diǎn) A 為曲線 C：ρ =2cosθ極軸在 Ox 上方的一點(diǎn)，且 0≤θ≤ ，以極點(diǎn)為 原點(diǎn)，極軸為 x 軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系 xOy， （ 1）求曲線 C 的參數(shù)方程； （ 2）以 A 為直角頂點(diǎn)， AO 為一條直角邊作等腰直角三角形 OAB（B 在 A 的右下方），求 B 點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程． 精品文檔 精品文檔 13．在平面直角

12、坐標(biāo)系 xOy 中，曲線 C1： （ φ為參數(shù)，實(shí)數(shù) a＞ 0）， 曲線 C2： （φ為參數(shù)，實(shí)數(shù) b＞ 0）．在以 O 為極點(diǎn)， x 軸的正 半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線 l：θ=α（ ρ≥ 0， 0≤α≤ ）與 C1 交于 O、 A 兩點(diǎn)，與 C2 交于 O、B 兩點(diǎn)．當(dāng) α=0時(shí)， | OA| =1；當(dāng) α= 時(shí)， | OB| =2． （Ⅰ）求 a，b 的值； （Ⅱ）求 2| OA| 2+| OA| ?| OB| 的最大值．

13、 ．在平面直角坐標(biāo)系中， 曲線 1： （ a 為參數(shù)）經(jīng)過伸縮變換 14 C 后，曲線為 C2，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， x 軸正半軸為極軸建極坐標(biāo)系．（Ⅰ）求 C2 的極坐標(biāo)方程； （Ⅱ）設(shè)曲線 C3 的極坐標(biāo)方程為 ρsin（ ﹣θ）=1，且曲線 C3 與曲線 C2 相交于 P，Q 兩點(diǎn)，求 | PQ| 的值． 精品文檔 精品文檔 15．已知半圓 C 的參數(shù)方程為 ，a 為參數(shù)， a∈[

14、﹣ ， ] ． （Ⅰ）在直角坐標(biāo)系 xOy 中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， x 軸的非負(fù)半軸為極軸建立極 坐標(biāo)系，求半圓 C 的極坐標(biāo)方程； （Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，設(shè) T 是半圓 C 上一點(diǎn)，且 OT= ，試寫出 T 點(diǎn)的極坐標(biāo)． ．已知曲線 1 的參數(shù)方程為 （t 為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， x 16 C 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C2 的極坐標(biāo)方程為 ρ=2sin．θ（Ⅰ）把 C1 的參數(shù)

15、方程化為極坐標(biāo)方程； （Ⅱ）求 C1 與 C2 交點(diǎn)的極坐標(biāo)（ ρ≥0，0≤θ＜2π） 精品文檔 精品文檔 《極坐標(biāo)與參數(shù)方程》綜合測試題答案 一．解答題（共 16 小題） 1．在極坐標(biāo)系中，已知曲線 C：ρ =2cos，θ將曲線 C 上的點(diǎn)向左平移一個(gè)單位， 然后縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長到原來的 2 倍，得到曲線 C1，又已知直線 l 過點(diǎn) P

16、 （ 1,0），傾斜角為 ，且直線 l 與曲線 C1 交于 A， B 兩點(diǎn)． 3 （ 1）求曲線 C1 的直角坐標(biāo)方程，并說明它是什么曲線； （2）求 + ． 【解答】 解：（1）曲線 C 的直角坐標(biāo)方程為： x2+y2﹣ 2x=0 即（ x﹣1）2+y2=1． ∴曲線 C1 的直角坐標(biāo)方程為 =1， ∴曲線 C 表示焦點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣ ，0），（ ， 0），長軸長為 4 的橢圓 （ 2）將直線 l 的參數(shù)方程代入曲線 C 的方程 =1 中，得 13t 2 4t 12 0 ． 設(shè) A、B 兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為 t

17、1， t 2， ∴+=2 10 ． 3 2．在直角坐標(biāo)系 xOy 中，圓 C 的參數(shù)方程 （φ為參數(shù)），以 O 為極 點(diǎn)， x 軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． （ 1）求圓 C 的極坐標(biāo)方程； （ 2）直線 l 的極坐標(biāo)方程是 2ρsin（θ+ ）=3 ，射線 OM：θ= 與圓 C 的交 點(diǎn)為 O、P，與直線 l 的交點(diǎn)為 Q，求線段 PQ的長． 【解答】解：（I）利用 cos2φ 2φ ，把圓 C 的參數(shù)方程 為參數(shù)） +sin =1 化為（ x

18、﹣1）2 +y2=1， 2 ∴ρ﹣2ρcosθ，=0即 ρ=2cos．θ （ II）設(shè)（ ρ， θ）為點(diǎn) P 的極坐標(biāo)，由 ，解得 ． 1 1 精品文檔 精品文檔 設(shè)（ρ，θ）為點(diǎn) Q 的極坐標(biāo)，由 ，解得 ． 2 2 ∵θ1=θ2，∴ | PQ| =| ρ1﹣ ρ2| =2． ∴ | PQ| =2． 2 3．在極坐標(biāo)系中，圓 C 的極坐標(biāo)方程為： ρ=4ρ（cos θ+sin θ）﹣ 6．若以極點(diǎn) O 為原點(diǎn)，極軸所在直線為 x 軸建立平面直角坐標(biāo)系．

19、 （Ⅰ）求圓 C 的參數(shù)方程； （Ⅱ）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) P（x，y）是圓 C 上動(dòng)點(diǎn)，試求 x+y 的最大值，并求 出此時(shí)點(diǎn) P 的直角坐標(biāo)． 【解答】（本小題滿分 10 分）選修 4﹣4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 2 解：（Ⅰ）因?yàn)?ρ=4ρ（ cos θ+sin θ）﹣ 6， 所以 x2+y2=4x+4y﹣6， 所以 x2+y2﹣4x﹣ 4y+6=0， 即（ x﹣ 2） 2+（y﹣2）2=2 為圓 C 的普通方程． （4 分） 所以所求的圓 C 的參數(shù)方程為 （θ為參數(shù)）． （ 6 分） （Ⅱ）由（Ⅰ）可得，

20、（7 分） 當(dāng) 時(shí)，即點(diǎn) P 的直角坐標(biāo)為 （3，3）時(shí)， （9 分）x+y 取到最大值為 6． （ 10 分） 4．若以直角坐標(biāo)系 xOy 的 O 為極點(diǎn)， Ox 為極軸，選擇相同的長度單位建立極坐 標(biāo)系，得曲線 C 的極坐標(biāo)方程是 ρ= ． （ 1）將曲線 C 的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并指出曲線是什么曲線； （ 2）若直線 l 的參數(shù)方程為 （ t 為參數(shù)）， P 3 ,0 ，當(dāng)直線 l 與曲線 C 2 AB 2 . 相交于 A， B 兩點(diǎn)，求 PA PB

21、 精品文檔 精品文檔 【解答】 解：（1）∵ρ= 2 2 θ =6ρ cos，θ ，∴ ρ sin ∴曲線 C 的直角坐標(biāo)方程為 y2=6x．曲線為以（ ，0）為焦點(diǎn)，開口向右的拋物 線． （ 2）直線 l 的參數(shù)方程可化為 ，代入 y2=6x 得 t2﹣4t﹣12=0． 解得 t 1=﹣2，t2 =6． 2 2 AB ∴ | | =| t1﹣t2| =8． 3 PA PB 5．在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，以原點(diǎn) O 為極點(diǎn)， x 軸的非

22、負(fù)半軸為極軸，建立 x 3cos 極坐標(biāo)系，曲線 C1 的參數(shù)方程為 ( 為參數(shù)），曲線 C2 的極坐標(biāo)方程為 y 2sin ． （ 1）求曲線 C1 的普通方程和曲線 C2 的直角坐標(biāo)方程； （ 2）設(shè) P 為曲線 C1 上一點(diǎn)， Q 曲線 C2 上一點(diǎn)，求 | PQ| 的最小值及此時(shí) P 點(diǎn)極坐標(biāo)． 【解答】解：（ 1）由 消去參數(shù) α，得曲線 C1 的普通方程為 ． 由 得，曲線 C2 的直角坐標(biāo)方程為 ． （ 2）設(shè) P（2 cosα，2sin α），則 點(diǎn) P 到 曲 線 C2 的 距 離 為 ．

23、 當(dāng) 時(shí)， d 有最小值 ，所以 | PQ| 的最小值為 ． 6．在極坐標(biāo)系中，曲線 2 ，點(diǎn) R（2 ， ）． C 的方程為 ρ= 精品文檔 精品文檔 （Ⅰ）以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為 x 軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，把曲線 C 的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程， R 點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)； （Ⅱ）設(shè) P 為曲線 C 上一動(dòng)點(diǎn)，以 PR為對角線的矩形 PQRS的一邊垂直于極軸，求矩形 PQRS周長的最小值． 【解答】 解：（Ⅰ）由于 x=ρcos，θy=ρsin，θ 2

24、 則：曲線 C 的方程為 ρ ，轉(zhuǎn)化成 ． = 點(diǎn) R 的極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)為： R（2，2）． （Ⅱ）設(shè) P（ ） 根據(jù)題意，得到 Q（2，sin θ）， 則： | PQ| = ，| QR| =2﹣sin θ， 所以： | PQ|+| QR| = ． 當(dāng) 時(shí)，（ | PQ|+| QR| ）min=2， 矩形的最小周長為 4． 7．已知平面直角坐標(biāo)系中，曲線 C1 的參數(shù)方程為 （φ為參數(shù)）， 以原點(diǎn)為極點(diǎn)， x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C2 的極坐標(biāo)方程為 ρ

25、 =2cos．θ （Ⅰ）求曲線 C1 的極坐標(biāo)方程與曲線 C2 的直角坐標(biāo)方程； （Ⅱ）若直線 θ= （ρ∈R）與曲線 C1 交于 P，Q 兩點(diǎn)，求 | PQ| 的長度． 【解答】解：（ I）曲線 C1 的參數(shù)方程為 （φ為參數(shù)），利用平方關(guān) 系消去 φ可得： +（y+1）2 ，展開為： x 2+y2﹣2 x+2y﹣5=0，可得極 =9 坐標(biāo)方程： ρcos+2θρsin﹣θ5=0．

26、 2 ，θ可得直角坐標(biāo)方程： 2 2 ． 曲線 C2 的極坐標(biāo)方程為 ρ=2cos，θ即 ρ ρ x +y =2 cos =2x （ II）把直線 θ= （ρ∈R）代入 ρcos+2θρsin﹣θ5=0， 2 整理可得： ρ﹣2ρ﹣5=0， 精品文檔 精品文檔 ∴ρ1+ρ2=2，ρ1?ρ2=﹣5， ∴ | PQ| =| ρ1﹣ρ2| = = =2 ．

27、 8．在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)， x 軸的正半軸為極軸，以相同的長度單位建立極坐標(biāo)系，己知直線 l 的極坐標(biāo)方程為 ρcos﹣θρsin θ，=2曲線 C 的極坐標(biāo)方 2 （θ ＞ ）． 程為 ρsinθ =2pcos p 0 （ 1）設(shè) t 為參數(shù)，若 x=﹣2+ t，求直線 l 的參數(shù)方程； （ 2）已知直線 l 與曲線 C 交于 P、Q，設(shè) M（﹣ 2，﹣4），且| PQ| 2=| MP| ?| MQ| ， 求實(shí)數(shù) p 的值． 【解答】解：（ 1）直線 l 的極坐標(biāo)方程為 ρcos﹣θρsin θ，=2

28、化為直角坐標(biāo)方程： x ﹣ y﹣ 2=0． ∵ x=﹣2+ t ，∴ y=x﹣ 2=﹣4+ t ，∴直線 l 的參數(shù)方程為： （t 為 參數(shù)）． 2 （θ ＞ 2 2 θ ρ （θ＞ （ 2）曲線 C 的極坐標(biāo)方程為 ρsinθ ），即為 ρ =2pcos p 0 sin =2p cos p 0），可得直角坐標(biāo)方程： y2=2px． 把直線 l 的參數(shù)方程代入可得： t 2﹣（ 8+2p） t+8p+32

29、=0． ∴ t1+t 2 （ ）， 1 2 =8p+32 ． = 8+2p t t 不妨設(shè) | MP| =t1，| MQ| =t2． | PQ| =| t 1﹣ t2| = = = ． ∵ | PQ| 2=| MP| ?| MQ| ， ∴ 8p2+32p=8p+32， 化為： p2+3p﹣ 4=0， 解得 p=1． 9．在極坐標(biāo)系中，射線 l ： θ= 與圓

30、C： ρ =2交于點(diǎn) A，橢圓 Γ的方程為 2 ρ= ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為 x 軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系 xOy 精品文檔 精品文檔 （Ⅰ）求點(diǎn) A 的直角坐標(biāo)和橢圓 Γ的參數(shù)方程； （Ⅱ）若 E 為橢圓 Γ的下頂點(diǎn)， F 為橢圓 Γ上任意一點(diǎn)，求 ? 的取值范圍． 【解答】解：（Ⅰ）射線 l：θ= 與圓 C：ρ=2交于點(diǎn) A（2， ），點(diǎn) A 的直角坐 標(biāo)（ ，1）； 2 2 橢圓 Γ 的方程為 ρ ，直角坐標(biāo)方程為 +y =1，參數(shù)方程

31、為 = （θ為參數(shù)）； （Ⅱ）設(shè) F（ cosθ，sin θ）， ∵ E（ 0，﹣ 1）， ∴ =（﹣ ，﹣ 2）， =（ cosθ﹣ ，sin θ﹣ 1）， ∴ ? =﹣3cosθ+3﹣2（sin θ﹣1）= sin（θ+α） +5， ∴ ? 的取值范圍是 [ 5﹣ ，5+ ] ． 10．已知在直角坐標(biāo)系中，曲線的 C 參數(shù)方程為 （φ 為參數(shù)），現(xiàn) 以原點(diǎn)為極點(diǎn)， x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線 l 的極坐標(biāo)方

32、程為 ρ= ． （ 1）求曲線 C 的普通方程和直線 l 的直角坐標(biāo)方程； （ 2）在曲線 C 上是否存在一點(diǎn) P，使點(diǎn) P 到直線 l 的距離最?。咳舸嬖?， 求出距離的最小值及點(diǎn) P 的直角坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 【解答】 解：（1）曲線的 C 參數(shù)方程為 （φ 為參數(shù)），普通方程為 （ x﹣1）2 +（y﹣ 1） 2=4， 直線 l 的極坐標(biāo)方程為 ρ= ，直角坐標(biāo)方程為 x﹣y﹣4=0； （ 2）點(diǎn) P 到直線 l 的距離 d= = ， ∴φ﹣ =2kπ﹣ ，即 φ=2kπ﹣ （k∈Z），距離

33、的最小值為 2 ﹣ 2，點(diǎn) P 的 直角坐標(biāo)（ 1+ ，1﹣ ）． 精品文檔 精品文檔 ．已知曲線 1 的參數(shù)方程為 （t 為參數(shù)），以原點(diǎn) O 為極點(diǎn)，以 x 軸 11 C 的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C2 的極坐標(biāo)方程為 ． （ I）求曲線 C2 的直角坐標(biāo)系方程； （ II）設(shè) M 1 是曲線 C1 上的點(diǎn)， M2 是曲線 C2 上的點(diǎn)，求 | M1M 2| 的最小值． 【解答】解：（ I）由 2 2 2 （﹣）； 可得 ρ=x﹣2，∴ρ （ ﹣ ） ，即 y

34、 = x 2 =4 x 1 （Ⅱ）曲線 C1 的參數(shù)方程為 （t 為參數(shù)），消去 t 得： 2x+y+4=0． ∴曲線 C1 的直角坐標(biāo)方程為 2x+y+4=0． ∵ M1 是曲線 C1 上的點(diǎn)， M 2 是曲線 C2 上的點(diǎn)， ∴ | M1M 2| 的最小值等于 M 2 到直線 2x+y+4=0 的距離的最小值．設(shè) M 2（r2﹣1，2r），M2 到直線 2x+y+4=0 的距離為 d， 則 d= = ≥ ． ∴| M1M2| 的最小值為 ． 12．設(shè)點(diǎn) A 為曲

35、線 C：ρ =2cosθ極軸在 Ox 上方的一點(diǎn)，且 0≤θ≤ ，以極點(diǎn)為 原點(diǎn)，極軸為 x 軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系 xOy， （ 1）求曲線 C 的參數(shù)方程； （ 2）以 A 為直角頂點(diǎn)， AO 為一條直角邊作等腰直角三角形 OAB（B 在 A 的右下方），求點(diǎn) B 軌跡的極坐標(biāo)方程． 【解答】（1） x 1 cos (0 ，θ為參數(shù)） y sin 2 （ 2）：設(shè) A（ρ0，θ0），且滿足 ρ0=2cosθ0，B（ρ，θ）， 依題意， 即 代入 ρ0=2cosθ0并整理得， ， ，

36、 精品文檔 精品文檔 所以點(diǎn) B 的軌跡方程為 ， ． 13．在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線 C1： （ φ為參數(shù)，實(shí)數(shù) a＞ 0）， 曲線 C2： （ φ為參數(shù)，實(shí)數(shù) b＞0）．在以 O 為極點(diǎn)， x 軸的正半軸 為極軸的極坐標(biāo)系中，射線 l：θ=α（ρ≥0，0≤α≤ ）與 C1 交于 O、 A 兩點(diǎn)， 與 C2 交于 O、B 兩點(diǎn)．當(dāng) α=0時(shí)， | OA| =1；當(dāng) α= 時(shí)， | OB| =2． （Ⅰ）求 a，b 的值； （Ⅱ）求 2| OA| 2+| OA| ?|

37、 OB| 的最大值． 【解答】 解：（Ⅰ）由曲線 C1： （φ為參數(shù)，實(shí)數(shù) a＞0）， 化為普通方程為（ x﹣ a） 2+y2=a2，展開為： x2+y2﹣2ax=0， 2 其極坐標(biāo)方程為 ρ=2aρ cos，θ即 ρ =2acos，θ由題意可得當(dāng) θ =0時(shí)， | OA| =ρ =1， ∴ a= ． 曲線 C2： （ φ為參數(shù)，實(shí)數(shù) b＞ 0）， 化為普通方程為 x2+（ y﹣ b） 2=b2，展開可得極坐標(biāo)方程為 ρ=2bsin，θ 由題意可得當(dāng) 時(shí)， | OB| =ρ=2，∴ b=1． （Ⅱ）由（ I）可得 C1，C

38、2 的方程分別為 ρ=cos，θρ=2sin．θ ∴ 2| OA| 2+| OA| ?| OB| =2cos2θ θ cos θ θθ ， +2sin =sin2+cos2 +1= +1 ∵ 2θ+ ∈ ，∴ +1 的最大值為 +1， 當(dāng) 2θ+ = 時(shí)， θ= 時(shí)取到最大值． 14．在平面直角坐標(biāo)系中， 曲線 C1： （a 為參數(shù)）經(jīng)過伸縮變換 后的曲線為 C2，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． （Ⅰ）求 C2 的極坐標(biāo)方程；

39、 精品文檔 精品文檔 （Ⅱ）設(shè)曲線 C3 的極坐標(biāo)方程為 ρsin（ ﹣θ）=1，且曲線 C3 與曲線 C2 相交于 P，Q 兩點(diǎn)，求 | PQ| 的值． 【解答】解：（Ⅰ） C2 的參數(shù)方程為 （α為參數(shù)），普通方程為（ x′ 2 2 ﹣ 1） +y′=1， ∴ C2 的極坐標(biāo)方程為 ρ=2cos；θ （Ⅱ） C2 是以（ 1，0）為圓心， 2 為半徑的圓，曲線 C3 的極坐標(biāo)方程為 ρsin（ ﹣ θ） =1，直角坐標(biāo)方程為 x﹣ y﹣2=0， ∴圓心到直線的距離 d=

40、 = ， ∴|PQ|=2 = ． 15．已知半圓 C 的參數(shù)方程為 ，a 為參數(shù)， a∈[ ﹣ ， ] ． （Ⅰ）在直角坐標(biāo)系 xOy 中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， x 軸的非負(fù)半軸為極軸建立極 坐標(biāo)系，求半圓 C 的極坐標(biāo)方程； （Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，設(shè) T 是半圓 C 上一點(diǎn)，且 OT= ，試寫出 T 點(diǎn)的極 坐標(biāo)． 【解答】解：（Ⅰ）由半圓 C 的參數(shù)方程為 ，a 為參數(shù)，a∈[ ﹣ ， ] ， 則圓的普通方程為 x2+（y﹣1）2=1（0≤x≤1），

41、2 2 2 由 x=ρcos，θy=ρsin，θx +y =ρ， 可得半圓 C 的極坐標(biāo)方程為 ρ=2sin，θθ∈[ 0， ] ； （Ⅱ）由題意可得半圓 C 的直徑為 2，設(shè)半圓的直徑為 OA， 則 sin∠ TAO= ， 由于∠ TAO∈ [ 0， ] ，則∠ TAO= ， 精品文檔 精品文檔 由于∠ TAO=∠TOX， 所以∠ TOX= ， T 點(diǎn)的極坐標(biāo)為（ ， ）． 16． 已知曲線 C1 的參數(shù)方程為

42、（t 為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， x 軸的 正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C2 的極坐標(biāo)方程為 ρ=2sin．θ（Ⅰ）把 C1 的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程； （Ⅱ）求 C1 與 C2 交點(diǎn)的極坐標(biāo)（ ρ≥0，0≤θ＜2π） 【解答】 解：（Ⅰ）曲線 C1 的參數(shù)方程式 （ t 為參數(shù)）， 得（ x﹣ 4） 2+（y﹣5）2=25 即為圓 C1 的普通方程， 即 x2+y2﹣8x﹣10y+16=0． 將 x=ρcos，θy=ρsin 代θ入上式，得． 2 ρ﹣ 8ρcosθ﹣10ρsin+16=0θ，此即為 C1 的極坐標(biāo)方程； （Ⅱ）曲線 C2 的極坐標(biāo)方程為 ρ=2sin θ為直角坐標(biāo)方程為：化 x2+y2﹣ 2y=0， 由 ，解得 或 ． ∴ C1 與 C2 交點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為（ ， ），（2， ）． 精品文檔