五年級下冊數(shù)學(xué)專項訓(xùn)練 奧數(shù)第十四講遞推方法全國版(含答案

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1、第十四講 遞推方法家庭是幼兒語言活動的重要環(huán)境，為了與家長配合做好幼兒閱讀訓(xùn)練工作，孩子一入園就召開家長會，給家長提出早期抓好幼兒閱讀的要求。我把幼兒在園里的閱讀活動及閱讀情況及時傳遞給家長，要求孩子回家向家長朗誦兒歌，表演故事。我和家長共同配合，一道訓(xùn)練，幼兒的閱讀能力提高很快。 遞推方法是人們從開始認(rèn)識數(shù)量關(guān)系時就很自然地產(chǎn)生的一種推理思想.例如自然數(shù)中最小的數(shù)是1，比1大1的數(shù)是2，接下來比2大1的數(shù)是3，由此得到了自然數(shù)數(shù)列：1，2，3，4，5，.在這里實際上就有了一個遞推公式，假設(shè)第n個數(shù)為an，則唐宋或更早之前，針對“經(jīng)學(xué)”“律學(xué)”“算學(xué)”和“書學(xué)”各科目，其相應(yīng)傳授者稱為“博士”

2、，這與當(dāng)今“博士”含義已經(jīng)相去甚遠(yuǎn)。而對那些特別講授“武事”或講解“經(jīng)籍”者，又稱“講師”?！敖淌凇焙汀爸獭本瓰閷W(xué)官稱謂。前者始于宋，乃“宗學(xué)”“律學(xué)”“醫(yī)學(xué)”“武學(xué)”等科目的講授者；而后者則于西晉武帝時代即已設(shè)立了，主要協(xié)助國子、博士培養(yǎng)生徒?！爸獭痹诠糯粌H要作入流的學(xué)問，其教書育人的職責(zé)也十分明晰。唐代國子學(xué)、太學(xué)等所設(shè)之“助教”一席，也是當(dāng)朝打眼的學(xué)官。至明清兩代，只設(shè)國子監(jiān)（國子學(xué)）一科的“助教”，其身價不謂顯赫，也稱得上朝廷要員。至此，無論是“博士”“講師”，還是“教授”“助教”，其今日教師應(yīng)具有的基本概念都具有了。 an+1=an+1課本、報刊雜志中的成語、名言警句等俯首皆

3、是,但學(xué)生寫作文運用到文章中的甚少,即使運用也很難做到恰如其分。為什么?還是沒有徹底“記死”的緣故。要解決這個問題,方法很簡單,每天花3-5分鐘左右的時間記一條成語、一則名言警句即可?？梢詫懺诤蠛诎宓摹胺e累專欄”上每日一換,可以在每天課前的3分鐘讓學(xué)生輪流講解,也可讓學(xué)生個人搜集,每天往筆記本上抄寫,教師定期檢查等等。這樣,一年就可記300多條成語、300多則名言警句,日積月累,終究會成為一筆不小的財富。這些成語典故“貯藏”在學(xué)生腦中,自然會出口成章,寫作時便會隨心所欲地“提取”出來,使文章增色添輝。 即由自然數(shù)中第n個數(shù)加上1，就是第n+1個數(shù)。由此可得an2=an11，這樣就可以得到自然數(shù)

4、數(shù)列中任何一個數(shù)再看一個例子：例1 平面上5條直線最多能把圓的內(nèi)部分成幾部分？平面上100條直線最多能把圓的內(nèi)部分成幾部分？解：假設(shè)用ak表示k條直線最多能把圓的內(nèi)部分成的部分?jǐn)?shù).這里k0，1，2，.如圖可見。a01a1=a0+12a2=a12=4a3=a23=7a4=a3+411歸納出遞推公式an1an+n. （1）即畫第n1條直線時，最多增加n部分.原因是這樣的：第一條直線最多把圓分成兩部分，故a12.當(dāng)畫第二條直線時要想把圓內(nèi)部分割的部分盡可能多，就應(yīng)和第一條直線在圓內(nèi)相交，交點把第二條直線在圓內(nèi)部分分成兩條線段，而每條線段又把原來的一個區(qū)域劃分成兩個區(qū)域，因而增加的區(qū)域數(shù)是2，正好等于

5、第二條直線的序號.同理，當(dāng)畫第三條直線時，要想把圓內(nèi)部分割的部分?jǐn)?shù)盡可能多，它就應(yīng)和前兩條直線在圓內(nèi)各有一個交點.兩個交點把第三條線在圓內(nèi)部分成三條線段.而每條線段又把原來一個區(qū)域劃分成兩個區(qū)域.因而增加的區(qū)域部分?jǐn)?shù)是3，正好等于第三條直線的序號，.這個道理適用于任意多條直線的情形.所以遞推公式（1）是正確的.這樣就易求得5條直線最多把圓內(nèi)分成：a5=a4+511=516（部分）。要想求出100條直線最多能把圓內(nèi)分成多少區(qū)域，不能直接用上面公式了，可把上面的遞推公式變形：an=an-1+n=nn-2（n-1）n=an-3+（n-2）（n-n）+n公式（2）也稱為數(shù)列1，2，4，7，11，16，

6、的通項公式.一般來說，如果一個與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)列中的任一項an可以由它前面的k（n-1）項經(jīng)過運算或其他方法表示出來，我們就稱相鄰項之間有遞歸關(guān)系，并稱這個數(shù)列為遞歸數(shù)列.如果這種推算方法能用公式表示出來，就稱這種公式為遞推公式或遞推關(guān)系式.通過尋求遞歸關(guān)系來解決問題的方法就稱為遞推方法.許多與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題都常常具有遞推關(guān)系，可以用遞推公式來表達(dá)它的數(shù)量關(guān)系.如何尋求這個遞推公式是解決這類問題的關(guān)鍵之一，常用的方法是“退”到問題最簡單情況開始觀察.逐步歸納并猜想一般的速推公式.在小學(xué)生階段，我們僅要求學(xué)生能撥開問題的一些表面現(xiàn)象由簡到繁地歸納出問題的遞推公式就行了，不要求嚴(yán)格證明.當(dāng)然

7、能證明更好.所謂證明，就是要嚴(yán)格推出你建立的關(guān)系式適合所有的n，有時，僅僅在前面幾項成立的關(guān)系式，不一定當(dāng)n較大時也成立。例2 平面上10個兩兩相交的圓最多能將平面分割成多少個區(qū)域？平面上1993個圓最多能將平面分割成多少個區(qū)域？解：設(shè)平面上k個圓最多能將平面分割成ak部分.我們先“退”到最簡單的情形.如圖可見a1=2，a2=4221，a38=422，a4=14=8+23，an=an-1+2（n-1）.（3）（3）是這個問題的遞推公式.再把它變形為當(dāng)n較大時也能方便求出結(jié)果的公式：anan-1+2（n-1）an-2+2（n-2）+（n-1）an-32（n-3）+（n-2）+（n-1）=a1+2

8、（1+2+3+n-2+n-1）a10=102-10+2=92（個），a1993=19932-19932=3970058（個）。關(guān)于這個遞推公式成立的正確性分析與例1完全類似.比如，第一個圓顯然將平面分為兩個區(qū)域；當(dāng)畫第二個圓時，應(yīng)與原來的一個圓有兩個交點，即被第一個圓截成兩段弧，而每一段弧將原來的每一個區(qū)域分成兩個區(qū)域，故區(qū)域數(shù)增加了2，即增加了原來圓的個數(shù)的2倍；當(dāng)畫第三個圓時，應(yīng)與原來的兩個圓共有4個交點，圓弧被截成4段，而每段弧又將原來的每個區(qū)域分成兩個區(qū)域，所以區(qū)域增加了4，即原來圓的個數(shù)的2倍，同理類推，說明遞推公式應(yīng)該是an=an-1+2（n-1）。例3在一個圓周上按下面規(guī)則標(biāo)上一

9、些數(shù):第一次先把圓周二等分三次把4段圓弧分別二等分，并在4個分點旁邊標(biāo)上兩個相鄰分點旁所去，當(dāng)?shù)诎舜螛?biāo)完數(shù)以后，圓周上所有已標(biāo)的數(shù)的和是多少？解：解：我們一般地設(shè)第一次所標(biāo)的兩數(shù)分別為a、b，用Sk表示第k次標(biāo)完后各分點所標(biāo)數(shù)的和.如圖可見S1ab，S2S1+2S13S13（ab）。原因是這樣的：S2是兩類分點旁的標(biāo)數(shù)和，一類是原來分點所標(biāo)數(shù)的和S1，另一類是新增分點所標(biāo)數(shù)的和，它正好是由原來各分點所標(biāo)的數(shù)向左加一次，又向右加一次的和，故新增分點旁所標(biāo)數(shù)的和恰好是原來所有數(shù)之和的2倍2S1，因此有S2=S12S1=3S1，同理類推S3=S2+2S23S2=32S1，S432S1232S132S

10、1，Sn=3n-1S1=3n-1（ab） （4）（4）式為遞推公式：Sn3Sn-1在S1=ab時已解出的表達(dá)式.所謂解出，即Sn直接依賴于n與S1而計算出.不再是Sn依賴于Sn-1，Sn-1又依賴于Sn-2這樣的形式。例4 假設(shè)剛出生的雌雄一對小兔過兩個月就能生下雌雄一對小兔，此后每月生下一對小兔.如果養(yǎng)了初生的一對小兔，問滿一年時共可得多少對兔子？解：我們先退到開始的簡單情況來推算，從中歸納出遞推關(guān)系.如圖：第一個月：只有1對小兔。第二個月：一對小兔長成一對大兔，但尚不會生殖.仍只有一對兔子。第三個月：這對大兔生了一對小兔，這時共2對兔子。第四個月：大兔又生了一對小兔，而上月出生的小兔正在長

11、大，這時共3對兔子。第五個月：這時已有兩對大兔可以生殖（原來的大兔和第三個月出生的小兔），于是生了兩對小兔，這時共有5對兔子。把推算的結(jié)果列成一張表由表中可見滿一年時可得144對兔子。如果要算的時間長，這種方法就有困難了，現(xiàn)在我們來找遞推關(guān)系。用un表示第n個月時的兔子對數(shù)，則un：1，1，2，3，5，8，13，21，34，。容易發(fā)現(xiàn)遞推公式是un=un-1+un-2?，F(xiàn)在說明這個遞推公式是正確的.因為第n個月時的兔子對分兩類，一類是第n-1個月時的兔子對，另一類是當(dāng)月新生的兔子對，而這些小兔對數(shù)恰好是第n-2個月時的兔子對數(shù)un-2。有了上面的遞推公式就可以寫出un的第12項為144對.這正

12、是本題要求的滿一年時的小兔總對數(shù)。數(shù)列un稱為斐波那契數(shù)列（Fibonacci，11701250，是意大利數(shù)學(xué)家）.由于數(shù)列un具有許多重要的奇特性質(zhì).因而受到數(shù)學(xué)家們的極大關(guān)注，并把數(shù)列un取名為斐波那契數(shù)列.例5 傳說在印度的佛教圣地貝拿勒斯圣廟里安放著個一個黃銅板，板上插著三根寶石針，在第一根寶石針上，從下到上穿著由大到小的64片中心有孔的金片.每天都有一個值班僧侶按下面規(guī)則移動金片：把金片從第一根寶石針移到其余的某根寶石針上.要求一次只能移動一片，而且小片永遠(yuǎn)要放在大片的上面.當(dāng)時傳說當(dāng)64片金片都按上面的規(guī)則從第一根寶石針移到另一根寶石針上時，世界將在一聲霹靂中毀滅.所以有人戲稱這個

13、問題叫“世界末日”問題（也稱為“Hanoi塔”問題），當(dāng)然，移金片和世界毀滅并無聯(lián)系，這只是一個傳說而已，但說明這是一個需要移動很多很多次才能辦到的事情.解這個問題的方法在算法分析中也常用到.究竟按上述規(guī)則移動完成64片金片需要移動多少次呢？解：設(shè)有n片金片，把從第一片金片至第k片金片按題目要求由第I根寶石針移到另一根寶石針共需移動ak次。先對4片金片的簡單情形用下列的幾組圖來表示移動過程中的各種狀態(tài)，并計數(shù)，歸納出遞歸關(guān)系式。這節(jié)的前幾個例子都是“退”到簡單的特殊情況來歸納出一般規(guī)律.在這個例子里，我們將先用一般推理得出遞推公式，再以n=64代入，便可解決我們這個例題.這種從一般到特殊來解決

14、問題的方法也是數(shù)學(xué)上的一種常用方法。我們可以這樣來想：為了移動第n片到第根寶石針上，我們必須先把它上面的n-1片按題目的規(guī)則采用某種程序移到第根寶石針上，這需要移動an-1次.然后才能把最下面第n片（最大的），稱到第根寶石針上.最后再經(jīng)過an-1次才能把第根寶石針上的n-1片金片按上面規(guī)則采用同樣程序移到第根寶石針上.因此把n片金片按題中的規(guī)則全部移到另一根寶石針上共應(yīng)移an=2an-1+1（次）. （5）這就是遞推公式。為了求得n=64時a64的值，我們當(dāng)然不能一次次地由a1=1，a2=3，a3=7，直到算出a64.現(xiàn)在我們設(shè)法把遞推公式（5）變形為可以直接計算a64的形式。an=2an-1

15、+1=2（2an-21）+1=22an-2+21=22（2an-3+1）+2+123an-322+21+12n-1a12n-2+2n-3+21=1222+2n-22n-1，an2an-an=2（1+2+22+2n-1）-（1+2+2n-1）=2n-1，a64264-1。a64是一個非常大的數(shù).如果按每移動一片次需一秒鐘算，把64片金片從一根寶石針移到另一根寶石針上大約需要5800億年。習(xí)題十四1. 請你根據(jù)下列各個數(shù)之間的關(guān)系，在括號里填上恰當(dāng)?shù)臄?shù)：1，5，9，13，17，（ ）。0.625，1.25，2.5，5，（ ）。198，297，396，495，（ ），（ ）。2.將自然數(shù)1，2，3，按圖排列，在“2”處轉(zhuǎn)第一個彎，“3”處轉(zhuǎn)第二個彎，“5”處轉(zhuǎn)第三個彎，.問哪個數(shù)處轉(zhuǎn)第二十個彎？3.請用速推方法求出甲、乙、丙、丁四人站成一排照相，共有多少種不同站法？4.上一段12級樓梯，規(guī)定每一步只能上一級或兩級.問要登上第12級樓梯共有多少種不同走法？5. 有10個村莊，分別用A1，A2，A10表示，某人從A1出發(fā)按箭頭方向繞一圈最后經(jīng)由A10再回到A1，有多少種不同走法？注：每點（村）至多過一次，兩村之間，可走直線，也可走圓周上弧線，但都必須按箭頭方向走.第 7 頁