【2022高考必備】2012-2021十年全國(guó)高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 立體幾何大題（精解精析）

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1、 2012-2021十年全國(guó)高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 立體幾何大題（精解精析） 一、解答題 1．(2021年高考全國(guó)甲卷理科)已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)． (1)證明：； (2)當(dāng)為何值時(shí)，面與面所成的二面角的正弦值最小? 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2） 解析：因?yàn)槿庵侵比庵?，所以底面，所? 因?yàn)椋?，所以? 又，所以平面． 所以兩兩垂直． 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖． 所以， ． 由題設(shè)（）． （1）因?yàn)椋? 所以，所以． （2）設(shè)平面的法向量為， 因?yàn)椋? 所以，即． 令，則

2、 因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛椋? 設(shè)平面與平面的二面角的平面角為， 則． 當(dāng)時(shí)，取最小值為， 此時(shí)取最大值為． 所以， 此時(shí)． 【點(diǎn)睛】本題考查空間向量的相關(guān)計(jì)算，能夠根據(jù)題意設(shè)出（），在第二問(wèn)中通過(guò)余弦值最大，找到正弦值最小是關(guān)鍵一步． 2．(2021年高考全國(guó)乙卷理科)如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點(diǎn)，且． (1)求； (2)求二面角的正弦值． 【答案】（1）；（2） 解析：（1）平面，四邊形為矩形，不妨以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)，則、、、、， 則，， ，則，解得，故； （2）設(shè)平面的法向量為，則，，

3、 由，取，可得， 設(shè)平面的法向量為，，， 由，取，可得， ， 所以，， 因此，二面角的正弦值為． 【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用空間向量法求解二面角的步驟如下： （1）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，寫出二面角對(duì)應(yīng)的兩個(gè)半平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）設(shè)出法向量，根據(jù)法向量垂直于平面內(nèi)兩條直線的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面為坐標(biāo)平面，直接取法向量即可）； （3）計(jì)算（2）中兩個(gè)法向量的余弦值，結(jié)合立體圖形中二面角的實(shí)際情況，判斷二面角是銳角還是鈍角，從而得到二面角的余弦值． 3．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，．是底面的

4、內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，． (1)證明：平面； (2)求二面角的余弦值． 【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）． 【解析】（1）由題設(shè)，知為等邊三角形，設(shè)， 則，，所以， 又為等邊三角形，則，所以， ，則，所以， 同理，又，所以平面； （2）過(guò)O作∥BC交AB于點(diǎn)N，因?yàn)槠矫妫設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸，ON為y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則， ，，， 設(shè)平面的一個(gè)法向量為， 由，得，令，得， 所以， 設(shè)平面的一個(gè)法向量為 由，得，令，得， 所以 故， 設(shè)二面角的大小為，則． 【點(diǎn)晴】本題主要考查線面垂直的證明以及利用向量求二面角的大小，考

5、查學(xué)生空間想象能力，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題． 4．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)，過(guò)B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F． (1)證明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F； (2)設(shè)O為△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值． 【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）． 解析：（1）分別為，的中點(diǎn)， 又 在中，為中點(diǎn)，則 又側(cè)面為矩形， 由，平面

6、平面 又，且平面，平面， 平面 又平面，且平面平面 又平面 平面 平面 平面平面 （2）連接 平面，平面平面 根據(jù)三棱柱上下底面平行， 其面平面，面平面 故：四邊形是平行四邊形 設(shè)邊長(zhǎng)是() 可得：， 為的中心，且邊長(zhǎng)為 故： 解得： 在截取，故 且 四邊形是平行四邊形， 由（1）平面 故為與平面所成角 在，根據(jù)勾股定理可得： 直線與平面所成角的正弦值：． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了證明線線平行和面面垂直，及其線面角，解題關(guān)鍵是掌握面面垂直轉(zhuǎn)為求證線面垂直的證法和線面角的定義，考查了分析能力和空間想象能

7、力，屬于難題． 5．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)分別在棱上，且，． (1)證明：點(diǎn)平面內(nèi)； (2)若，，，求二面角的正弦值． 【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）． 解析：（1）在棱上取點(diǎn)，使得，連接、、、， 在長(zhǎng)方體中，且，且， ，，且， 所以，四邊形為平行四邊形，則且， 同理可證四邊形為平行四邊形，且， 且，則四邊形為平行四邊形， 因此，點(diǎn)在平面內(nèi)； （2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則、、、， ，，，， 設(shè)平面的法向量為， 由，得取，得，則， 設(shè)平面的法向量為， 由，得，取，得

8、，，則， ， 設(shè)二面角的平面角為，則，． 因此，二面角的正弦值為． 【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)在平面的證明，同時(shí)也考查了利用空間向量法求解二面角角，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題． 6．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)圖1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)DG，如圖2． (1)證明：圖2中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC⊥平面BCGE； (2)求圖2中的二面角B?CG?A的大?。? 【答案】 (1)見(jiàn)詳解；(2)． 【官方解析】 (1)由已知得

9、，,所以，故確定一個(gè)平面．從而四點(diǎn)共面． 由已知得，故平面． 又因?yàn)槠矫?所以平面平面． （2）作,垂足為．因?yàn)槠矫?平面平面，所以平面． 由已知，菱形的邊長(zhǎng)為，，可求得． 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 ． 設(shè)平面的法向量為，則 即 所以可?。? 又平面的法向量可取為，所以． 因此二面角的大小為． 【點(diǎn)評(píng)】很新穎的立體幾何考題．首先是多面體粘合問(wèn)題，考查考生在粘合過(guò)程中哪些量是不變的．再者粘合后的多面體不是直棱柱，建系的向量解法在本題中略顯麻煩，突出考查

10、幾何方法．最后將求二面角轉(zhuǎn)化為求二面角的平面角問(wèn)題考查考生的空間想象能力． 7．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷理科)如圖，長(zhǎng)方體的底面是正方形，點(diǎn)在棱上，． 證明：平面； 若，求二面角的正弦值． 【答案】證明見(jiàn)解析；. 【官方解析】 證明：由已知得，平面，平面， 故．又，所以平面． 由知．由題設(shè)知，所以， 故，． 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則，，，，，，． 設(shè)平面的法向量為，則 ，即所以可取. 設(shè)平面的法向量為，則 即所以可取. 于是．所以，二面角的正弦值為

11、． 【分析】 利用長(zhǎng)方體的性質(zhì)，可以知道側(cè)面，利用線面垂直的性質(zhì)可以證明出，這樣可以利用線面垂直的判定定理，證明出平面； 以點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，，求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用，可以求出之間的關(guān)系，分別求出平面、平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積公式求出二面角的余弦值的絕對(duì)值，最后利用同角的三角函數(shù)關(guān)系，求出二面角的正弦值. 【解析】 因?yàn)槭情L(zhǎng)方體，所以側(cè)面，而平面，所以,又，，平面，因此平面； 以點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系， ， 因?yàn)?，所以? 所以，， 設(shè)是平面的法向量， 所以， 設(shè)是平面的法向量，

12、 所以， 二面角的余弦值的絕對(duì)值為， 所以二面角的正弦值為. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用線面垂直的性質(zhì)定理證明線線垂直，考查了利用空間向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函數(shù)關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力. 8．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷理科)如圖，直四棱柱的底面是菱形，分別是，，的中點(diǎn)． (1)證明：平面； (2)求二面角的正弦值． 【答案】解：（1）連結(jié)．因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，且． 又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以．由題設(shè)知，可得，故， 因此四邊形為平行四邊形，．又平面，所以平面． （2）由已知可得．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，． 設(shè)為

13、平面的法向量，則，所以可?。? 設(shè)為平面的法向量，則所以可?。? 于是，所以二面角的正弦值為． 9．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷（理）)(12分)如圖，邊長(zhǎng)為的正方形所在平面與半圓弧所在的平面垂直，是弧上異于的點(diǎn)． (1)證明：平面平面； (2)當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求面與面所成二面角的正弦值． 【答案】【官方解析】（1）由題設(shè)知，平面平面，交線為 因?yàn)?，平面，所以平面，? 因?yàn)闉樯袭愑诘狞c(diǎn)，且為直徑，所以 又，所以平面 而平面，故平面平面． （2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，為的中點(diǎn)，由題設(shè)得 ，，，，

14、，， 設(shè)是平面的法向量，則 ，即 可取 易知是平面的法向量，因此 所以 所以面與面所成二面角的正弦值是． 【民間解析】（1）證明：因?yàn)槊姘雸A面，且面半圓面 而四邊形為正方形，所以，所以平面 又平面，所以① 又因?yàn)辄c(diǎn)在以為直徑的半圓上，所以② 又、面，且③ 由①②③可得面，而平面 所以平面平面 （2）如圖，以所在直線作為軸，以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線，作為軸，過(guò)點(diǎn)作面的垂線，作為軸，建立空間直角坐標(biāo)系 因?yàn)?，? 所以當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最大時(shí)，三棱錐的體積最大，此時(shí) 所以，，；， 設(shè)面的法向量為，易知面的法向量為 所以， 由即，解得，可取 所以

15、故所求面與面所成二面角的正弦值為． 10．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷（理）)(12分) 如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)． (1)證明：平面； (2)若點(diǎn)在棱上，且二面角為，求與平面所成角的正弦值． 【答案】解析：（1）因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，且． 連接．因?yàn)?，所以為等腰直角三角形? 且，． 由知． 由，知平面． （2）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系． 由已知得，，，，，． 取平面的法向量為

16、． 設(shè)，則．設(shè)平面的法向量為， 由，得，可取， 所以，由已知可得． 所以，解得（舍去），． 所以．又，所以． 所以與平面所成角的正弦值為． 11．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷Ⅰ（理）)(12分)如圖，四邊形為正方形，分別為的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且． (1)證明:平面平面； (2)求與平面所成角的正弦值． 【答案】解析：（1）由已知可得，⊥，⊥，所以⊥平面． 又平面，所以平面⊥平面． （2）作，垂足為．由（1）得，平面． 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． 由（1）可得，．又，，所以．又，，故． 可得．

17、 則為平面的法向量． 設(shè)與平面所成角為，則． 所以與平面所成角的正弦值為． 12．(2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷理科)如圖,在四棱錐中,,且． (1)證明:平面平面; (2)若,,求二面角的余弦值． 【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2)二面角的余弦值為． 【分析】(1)根據(jù)題設(shè)條件可以得出,,而,就可證明出平面．進(jìn)而證明平面平面;(2)先找出的中點(diǎn),找出相互垂直的線,建立以為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)檩S的正方向,為單位長(zhǎng)的空間直角坐標(biāo)系,列出所需要的點(diǎn)的坐標(biāo),設(shè)是平面的法向量,是平面的法向量,根據(jù)垂直關(guān)系,求出和,利用數(shù)量積公式可求出二面角的平面角． 【解析】(1)由已知,得,

18、 由于,故,從而平面 又平面,所以平面平面 (2)在平面內(nèi)做,垂足為, 由(1)可知,平面,故,可得平面． 以為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)檩S正方向,為單位長(zhǎng),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． 由(1)及已知可得,,,． 所以,,,． 設(shè)是平面的法向量,則 ,即,可取． 設(shè)是平面的法向量,則,即,可?。? 則,所以二面角的余弦值為． 【考點(diǎn)】面面垂直的證明,二面角平面角的求解． 【點(diǎn)評(píng)】高考對(duì)空間向量與立體幾何的考查主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面:①求異面直線所成的角,關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量的夾角;②求直線與平面所成的角,關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化直線的方向向量和平面的法

19、向量的夾角;③求二面角,關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量的夾角．建立空間直角坐標(biāo)系和表示出所需點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵． 13．(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)如圖，四面體中，是正三角形，是直角三角形，，． (1)證明：平面平面； (2)過(guò)的平面交于點(diǎn)，若平面把四面體分成體積相等的兩部分，求二面角的余弦值． 【答案】(Ⅰ)證明略;(Ⅱ)． 【解析】證明:(1)取的中點(diǎn)為,連接 為等邊三角形 ∴ ∴ ． ∴,即為等腰直角三角形, 為直角又為底邊中點(diǎn) ∴ 令,則 易得:, ∴ 由勾股定理的逆定理可得 即 又∵ 由面面垂直

20、的判定定理可得 (2)由題意可知即,到平面的距離相等即為中點(diǎn) 以為原點(diǎn),為軸正方向,為軸正方向,為軸正方向,設(shè),建立空間直角坐標(biāo)系 則,,,, 易得:,, 設(shè)平面的法向量為,平面的法向量為, 則,解得 ,解得 若二面角為,易知為銳角,則． 【考點(diǎn)】二面角的平面角;面面角的向量求法 【點(diǎn)評(píng)】(1)求解本題要注意兩點(diǎn):一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角,二是利用方程思想進(jìn)行向量運(yùn)算,要認(rèn)真細(xì)心,準(zhǔn)確計(jì)算． (2)設(shè)m,n分別為平面α,β的法向量,則二面角θ與互補(bǔ)或相等,故有|cos θ|=|cos|=．求解時(shí)一定要注意

21、結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角． 14．(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)如圖，四棱錐 中，側(cè)面 為等比三角形且垂直于底面 ， 是 的中點(diǎn)． (1)證明：直線 平面 ； (2)點(diǎn) 在棱 上，且直線 與底面 所成銳角為 ，求二面角 的余弦值． 【答案】（1）證明略；（2） 【基本解法1】 （1）證明：取中點(diǎn)為，連接、 因?yàn)?，所? 因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以 所以四邊形為平行四邊形，所以 因?yàn)槠矫?，平? 所以直線平面 （2）取中點(diǎn)為，連接 因?yàn)椤鳛榈冗吶切危? 因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平? 所以平面 因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，所? 所以

22、 以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖 設(shè)，則，所以 設(shè)，則， 因?yàn)辄c(diǎn)在棱上，所以，即 所以，所以 平面的法向量為 因?yàn)橹本€與底面所成角為， 所以 解得，所以 設(shè)平面的法向量為，則 令，則 所以 所以求二面角的余弦值 【基本解法2】 （1）證明：取中點(diǎn)為，連接 因?yàn)?，所以，? 所以四邊形為平行四邊形，所以 因?yàn)槠矫?，平? 所以直線平面 因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以 因?yàn)槠矫?，平? 所以直線平面 因?yàn)椋云矫嫫矫? 因?yàn)槠矫? 所以直線平面 （2）同上 【命題意圖】線面平行的判定，線面垂直的判定，面面垂直的性質(zhì)，線面角、二面角的求解 【知識(shí)拓展】 線

23、面平行的證明一般有兩個(gè)方向，線面平行的判定或面面平行的性質(zhì)。 角的求解多借助空間直角坐標(biāo)系，需要注意兩個(gè)問(wèn)題：（1）題中沒(méi)有現(xiàn)成的三條線兩兩垂直，需要先證明后建系；（2）是指兩個(gè)法向量的夾角，與二面角相等或互補(bǔ)，需要觀察所求二面角是銳二面角還是鈍二面角． 15．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)如圖,四棱錐中,地面,AD∥BC,,,為線段上一點(diǎn),,為的中點(diǎn). (Ⅰ)證明∥平面; (Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值. 【答案】(Ⅰ)見(jiàn)解析;(Ⅱ). 【解析】(Ⅰ)由已知得,取的中點(diǎn),連接 由為中點(diǎn)知∥,. 又∥

24、,故平行且等于,四邊形為平行四邊形,于是∥. 因?yàn)槠矫?平面,所以∥平面. (Ⅱ)取的中點(diǎn),連接 由得,從而,且. 以為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)檩S正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 由題意知,,,,, ,,, 設(shè)為平面的法向量,則, 即,可取,于是. 所以直線與平面所成角的正弦值為. 16．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)(本小題滿分)如圖，菱形的對(duì)角線與交于點(diǎn)，，點(diǎn)分別在上，，交于點(diǎn)．將沿折到的位置，． (I)證明：平

25、面； (II)求二面角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)答案；（Ⅱ）． 【解析】（I）由已知得， 又由得，故． 因此，從而． 由,得． 由得． 所以，． 于是，故． 又，而，所以． （II）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系 則，，，， ，，． 設(shè)是平面的法向量，則，即 所以可以取． 設(shè)是平面的法向量，則，即 所以可以?。谑? ． 因此二面角的正弦值是． 17．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)(本題滿分為12分)如圖，在以為頂點(diǎn)的五面體中，面為正方形，，，且二面角與二面角都是． (I)證明平面； (II)求二面角的余弦值．

26、 【答案】 (I)略；(II) 【官方解答】⑴ 由已知可得，，所以面 又面，故平面平面 (II)過(guò)點(diǎn)作，垂足為，由(I)知面 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 由(I)知為二面角的平面角，故，則 可得 由已知，,所以面． 由，可得平面，所以為二面角的平面角,． 從而可得．所以,,,． 設(shè)是平面的法向量，則即所以可取． 設(shè)是平面的法向量，則 同理可取，則 二面角的余弦值為． 【民間解答】⑴ ∵為正方形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴面,面 ∴平面平面 ⑵由⑴知 ∵,平面,平面 ∴平面,平面 ∵

27、面面 ∴ ∴ ∴四邊形為等腰梯形 以為原點(diǎn)，如圖建立坐標(biāo)系，設(shè) ，， 設(shè)面法向量為． ，即 設(shè)面法向量為 ．即, ∴ 設(shè)二面角的大小為． 二面角的余弦值為． 18．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)(本題滿分12分)如圖，長(zhǎng)方體中,，，，點(diǎn)，分別在，上，．過(guò)點(diǎn)，的平面與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形． (Ⅰ)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說(shuō)出畫法和理由)； (Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）． 解析：（Ⅰ）交線圍成的正方形如圖：

28、 （Ⅱ）作，垂足為，則，，因?yàn)闉檎叫?，所以．于是，所以．以為坐?biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，．設(shè)是平面的法向量，則即所以可?。?，故．所以直線與平面所成角的正弦值為． 考點(diǎn)：1、直線和平面平行的性質(zhì)；2、直線和平面所成的角． 19．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)如圖，四邊形為菱形，，是平面同一側(cè)的兩點(diǎn)，⊥平面，⊥平面，，． (1)證明：平面⊥平面; (2)求直線與直線所成角的余弦值． 【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ） 分析：（Ⅰ）連接BD，設(shè)BD∩AC=G，連接EG，F(xiàn)G，EF，在菱形ABCD中，不妨設(shè)GB=1易證EG⊥AC，通過(guò)計(jì)算

29、可證EG⊥FG，根據(jù)線面垂直判定定理可知EG⊥平面AFC，由面面垂直判定定理知平面AFC⊥平面AEC；（Ⅱ）以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，y軸正方向，為單位長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz，利用向量法可求出異面直線AE與CF所成角的余弦值． 解析：（Ⅰ）連接BD，設(shè)BD∩AC=G，連接EG，F(xiàn)G，EF，在菱形ABCD中，不妨設(shè)GB=1，由∠ABC=120°，可得AG=GC=． 由BE⊥平面ABCD，AB=BC可知，AE=EC， 又∵AE⊥EC，∴EG=，EG⊥AC， 在Rt△EBG中，可得BE=，故DF=． 在Rt△FDG中，可得FG=． 在直角梯形BDFE中，由BD=2，B

30、E=，DF=可得EF=， ∴，∴EG⊥FG， ∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC， ∵EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC． （Ⅱ）如圖，以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，y軸正方向，為單位長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz，由（Ⅰ）可得A（0，－，0），E（1,0, ），F(xiàn)（－1,0，），C（0，，0），∴=（1，，），=（-1，-，）．…10分 故． 所以直線AE與CF所成的角的余弦值為． 考點(diǎn)：空間垂直判定與性質(zhì)；異面直線所成角的計(jì)算；空間想象能力，推理論證能力 20．(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)2理科)(本小題滿分12分) 如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABC

31、D為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)． (Ⅰ)證明：PB∥平面AEC； (Ⅱ)設(shè)二面角D-AE-C為60°，AP=1，AD=，求三棱錐E-ACD的體積． 【答案】解析： （Ⅰ）設(shè)AC的中點(diǎn)為G, 連接EG。在三角形PBD中，中位線EG//PB,且EG在平面AEC上，所以PB//平面AEC． （Ⅱ）設(shè)CD=m, 分別以AD,AB,AP為X,Y,Z軸建立坐標(biāo)系，則 設(shè)平面ADE的法向量則解得向量， 同理設(shè)平面ACE的法向量 解得向量， 解得 設(shè)F為AD的中點(diǎn)， EF即為三棱錐E-ACD的高， 所

32、以，三棱錐E-ACD的體積為． 考點(diǎn)：（1）線面平行（2）二面角（3）棱錐的體積（4）向量在立體幾何中的運(yùn)用 難度：B 備注：高頻考點(diǎn) 21．(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)1理科)如圖三棱柱中,側(cè)面為菱形,． (1)證明:; (2)若,,, 求二面角的余弦值． 【答案】解析 (1)連結(jié),交于,連結(jié)．因?yàn)閭?cè)面為菱形,所以^,且為與的中點(diǎn)．又,所以平面,故=又?,故 (2)因?yàn)榍覟榈闹悬c(diǎn),所以又因?yàn)?所以 故,從而兩兩互相垂直．? 以為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)檩S正方向,為單位長(zhǎng),建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．? 因?yàn)?

33、所以為等邊三角形．又=,則 ,,, , 設(shè)是平面的法向量,則 ,即 所以可取 設(shè)是平面的法向量,則,同理可取 則,所以二面角的余弦值為． 22．(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)如圖，直三棱柱中，分別是的中點(diǎn)， (1)證明：平面； (2)求二面角的正弦值． 【答案】（1）見(jiàn)解析;（2） 解析：(1)證明　連結(jié)交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)． 又是的中點(diǎn)，連結(jié)，則∥． 因?yàn)槠矫?，平面? 所以∥平面． (2)解　由得，． 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，的方向?yàn)檩S正方向，的方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． 設(shè)，則， ． 設(shè)平面的法向量

34、， 則，可?。? 同理，設(shè)m是平面的法向量，同理可得． 從而，故， 即二面角D－A1C－E的正弦值為． 考點(diǎn)：（1）9．4．1直線與平面平行的判定與性質(zhì)；（2）9．8．3求二面角 難度： B 備注：高頻考點(diǎn) 23．(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)如圖，三棱柱中，． (Ⅰ)證明; (Ⅱ)若平面平面，，求直線與平面所成角的正弦值。 【答案】（1）見(jiàn)解析?。?） 解析:（Ⅰ）取AB中點(diǎn)E，連結(jié)CE，，， ∵，=，∴是正三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，∴面， ∴AB⊥； ……6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，， 又∵面面，面面， ∴面，∴

35、， ∴EA，EC，兩兩相互垂直，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，||為單位長(zhǎng)度，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系， 由題設(shè)知A(1,0,0),(0,,0),C(0,0,),B(－1,0,0),則=（1,0，）,==(－1,0,),=(0,－,), ……9分 設(shè)=是平面的法向量， 則，即，可取=（，1，-1）， ∴=， ∴直線A1C 與平面BB1C1C所成角的正弦值為． ……12分 考點(diǎn)（1）9．5．3線面、面面垂直的綜合應(yīng)用；（2）9．8．2求直線與平面所成的角． 難度：Ｃ 備注：高頻考點(diǎn)、易錯(cuò)題 24．(2012高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)理科)如圖，直三棱柱中

36、，， 是棱的中點(diǎn)， (1)證明： (2)求二面角的大?。? 【答案】（１）詳見(jiàn)解析　?。ǎ玻? 解析：（１）證明：設(shè)， 直三棱柱， ， ， ，． 又，， 平面． 平面,． （２）以C為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，CA，CB，所在直線分別為x軸，y軸，z軸， 設(shè)則（0，0，2a）,D（a,0,a）,B（0，a，0），A（a,0,0） 所以，， 設(shè)分別是平面，平面的法向量，則 解得，令，則 解得令則 ∴， ∴ ∵ ∴=30° 即二面角的大小為． 考點(diǎn)：（１）9．1．1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征；（２）9．5．1直線與平面垂直的判定與性質(zhì)； （３）9．8．3求二面角 難度：Ｂ 備注：高頻考點(diǎn)