[理學(xué)]高等數(shù)學(xué) 第四章不定積分課后習(xí)題詳解
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1、第4章 不定積分 內(nèi)容概要 名稱 主要內(nèi)容 不 定 積 分 不 定 積 分 的 概 念 設(shè), ,若存在函數(shù),使得對任意均有 或,則稱為的一個原函數(shù)。 的全部原函數(shù)稱為在區(qū)間上的不定積分,記為 注:(1)若連續(xù),則必可積;(2)若均為的原函數(shù),則。故不定積分的表達(dá)式不唯一。 性 質(zhì) 性質(zhì)1:或; 性質(zhì)2:或; 性質(zhì)3:,為非零常數(shù)。 計 算 方 法 第一換元 積分法 (湊微分法) 設(shè)的 原函數(shù)為,可導(dǎo),則有換元公式: 第二類 換元積 分法
2、設(shè)單調(diào)、可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)不為零,有原函數(shù),則 分部積分法 有理函數(shù)積分 若有理函數(shù)為假分式,則先將其變?yōu)槎囗検胶驼娣质降暮?;對真分式的處理按情況確定。 本章 的地 位與 作用 在下一章定積分中由微積分基本公式可知---求定積分的問題,實質(zhì)上是求被積函數(shù)的原函數(shù)問題;后繼課程無論是二重積分、三重積分、曲線積分還是曲面積分,最終的解決都?xì)w結(jié)為對定積分的求解;而求解微分方程更是直接歸結(jié)為求不定積分。從這種意義上講,不定積分在整個積分學(xué)理論中起到了根基的作用,積分的問題會不會求解及求解的快慢程度,幾乎完全取決于對這一章掌握的好壞。這一點隨著學(xué)習(xí)的深入,同學(xué)們會慢慢體會到!
3、 課后習(xí)題全解 習(xí)題4-1 1.求下列不定積分: 知識點:直接積分法的練習(xí)——求不定積分的基本方法。 思路分析:利用不定積分的運算性質(zhì)和基本積分公式,直接求出不定積分! ★(1) 思路: 被積函數(shù) ,由積分表中的公式(2)可解。 解: ★(2) 思路:根據(jù)不定積分的線性性質(zhì),將被積函數(shù)分為兩項,分別積分。 解: ★(3) 思路:根據(jù)不定積分的線性性質(zhì),將被積函數(shù)分為兩項,分別積分。 解: ★(4) 思路:根據(jù)不定積分的線性性質(zhì),將被積函數(shù)分為兩項,分別積分。 解: ★★(5) 思路:觀察到后,根據(jù)不定積分的線
4、性性質(zhì),將被積函數(shù)分項,分別積分。 解: ★★(6) 思路:注意到,根據(jù)不定積分的線性性質(zhì),將被積函數(shù)分項,分別積分。 解: 注:容易看出(5)(6)兩題的解題思路是一致的。一般地,如果被積函數(shù)為一個有理的假分式,通常先將其分解為一個整式加上或減去一個真分式的形式,再分項積分。 ★(7) 思路:分項積分。 解: ★(8) 思路:分項積分。 解: ★★(9) 思路:?看到,直接積分。 解: ★★(10) 思路:裂項分項積分。 解: ★(11) 解: ★★(12) 思路:初中數(shù)學(xué)中有同底數(shù)冪的乘法: 指數(shù)不變,底數(shù)相乘。顯然。 解: ★★(13)
5、 思路:應(yīng)用三角恒等式“”。 解: ★★(14) 思路:被積函數(shù) ,積分沒困難。 解: ★★(15) 思路:若被積函數(shù)為弦函數(shù)的偶次方時,一般地先降冪,再積分。 解: ★★(16) 思路:應(yīng)用弦函數(shù)的升降冪公式,先升冪再積分。 解: ★(17) 思路:不難,關(guān)鍵知道“”。 解: ★(18) 思路:同上題方法,應(yīng)用“”,分項積分。 解: ★★(19) 思路:注意到被積函數(shù) ,應(yīng)用公式(5)即可。 解: ★★(20) 思路:注意到被積函數(shù) ,則積分易得。 解: ★2、設(shè),求。 知識點:考查不定積分(原函數(shù))與被積函數(shù)的關(guān)系。 思路分析:直接利用
6、不定積分的性質(zhì)1:即可。 解:等式兩邊對求導(dǎo)數(shù)得: ★3、設(shè)的導(dǎo)函數(shù)為,求的原函數(shù)全體。 知識點:仍為考查不定積分(原函數(shù))與被積函數(shù)的關(guān)系。 思路分析:連續(xù)兩次求不定積分即可。 解:由題意可知, 所以的原函數(shù)全體為:。 ★4、證明函數(shù)和都是的原函數(shù) 知識點:考查原函數(shù)(不定積分)與被積函數(shù)的關(guān)系。 思路分析:只需驗證即可。 解:,而 ★5、一曲線通過點,且在任意點處的切線的斜率都等于該點的橫坐標(biāo)的倒數(shù),求此曲線的方程。 知識點:屬于第12章最簡單的一階線性微分方程的初值問題,實質(zhì)仍為考查原函數(shù)(不定積分)與被積函數(shù)的關(guān)系。 思路分析:求得曲線方程的一般式,然后將
7、點的坐標(biāo)帶入方程確定具體的方程即可。 解:設(shè)曲線方程為,由題意可知:,; 又點在曲線上,適合方程,有, 所以曲線的方程為 ★★6、一物體由靜止開始運動,經(jīng)秒后的速度是,問: (1) 在秒后物體離開出發(fā)點的距離是多少? (2) 物體走完米需要多少時間? 知識點:屬于最簡單的一階線性微分方程的初值問題,實質(zhì)仍為考查原函數(shù)(不定積分)與被積函數(shù)的關(guān)系。 思路分析:求得物體的位移方程的一般式,然后將條件帶入方程即可。 解:設(shè)物體的位移方程為:, 則由速度和位移的關(guān)系可得:, 又因為物體是由靜止開始運動的,。 (1) 秒后物體離開出發(fā)點的距離為:米; (2)令秒。 習(xí)題4-2
8、 ★1、填空是下列等式成立。 知識點:練習(xí)簡單的湊微分。 思路分析:根據(jù)微分運算湊齊系數(shù)即可。 解: 2、求下列不定積分。 知識點:(湊微分)第一換元積分法的練習(xí)。 思路分析:審題看看是否需要湊微分。直白的講,湊微分其實就是看看積分表達(dá)式中,有沒有成塊的形式作為一個整體變量,這種能夠馬上觀察出來的功夫來自對微積分基本公式的熟練掌握。此外第二類換元法中的倒代換法對特定的題目也非常有效,這在課外例題中專門介紹! ★(1) 思路:湊微分。 解: ★(2) 思路:湊微分。 解: ★(3) 思路:湊微分。 解: ★(4) 思路:湊微分。 解: ★(5) 思路
9、:湊微分。 解: ★★(6) 思路:如果你能看到,湊出易解。 解: ★(7) 思路:湊微分。 解: ★★(8) 思路:連續(xù)三次應(yīng)用公式(3)湊微分即可。 解: ★★(9) 思路:本題關(guān)鍵是能夠看到 是什么,是什么呢?就是!這有一定難度! 解: ★★(10) 思路:湊微分。 解: 方法一:倍角公式。 方法二:將被積函數(shù)湊出的函數(shù)和的導(dǎo)數(shù)。 方法三: 三角公式,然后湊微分。 ★★(11) 思路:湊微分:。 解: ★(12) 思路:湊微分。 解: ★★(13) 思路:由湊微分易解。 解: ★★(14) 思路:湊微分。
10、解: ★★(15) 思路:湊微分。 解: ★(16) 思路:湊微分。 解: ★★(17) 思路:經(jīng)過兩步湊微分即可。 解: ★★(18) 思路:分項后分別湊微分即可。 解: ★★(19) 思路:裂項分項后分別湊微分即可。 解: ★(20) 思路:分項后分別湊微分即可。 解: ★(21) 思路:分項后分別湊微分即可。 解: ★★(22) 思路:裂項分項后分別湊微分即可。 解: ★(23) 思路:湊微分。。 解: ★★(24) 思路:降冪后分項湊微分。 解: ★★★(25) 思路:積化和差后分項
11、湊微分。 解: ★★★(26) 思路:積化和差后分項湊微分。 解: ★★★(27) 思路:湊微分。 解: ★★(28) 思路:湊微分。 解: ★★(29) 思路:湊微分。 解: ★★★★(30) 思路:湊微分。 解: ★★★★(31) 思路:被積函數(shù)中間變量為,故須在微分中湊出,即被積函數(shù)中湊出, 解: ★★★★(32) 思路: 解: ★★★★(33) 解:方法一: 思路:將被積函數(shù)的分子分母同時除以 ,則湊微分易得。 方法二: 思路:分項后湊微分 方法三: 思路:
12、 將被積函數(shù)的分子分母同時乘以 ,裂項后湊微分。 ★★★★(34) 解:方法一: 思路:分項后湊積分。 方法二:思路:利用第二類換元法的倒代換。 令,則。 ★★★★(35) 解:方法一: 思路:分項后湊積分。 方法二: 思路: 利用第二類換元法的倒代換。 令,則。 3、求下列不定積分。 知識點:(真正的換元,主要是三角換元)第二種換元積分法的練習(xí)。 思路分析:題目特征是----被積函數(shù)中有二次根式,如何化無理式為有理式?三角函數(shù)中,下列二恒等式起到了重要的作用。 為保證
13、替換函數(shù)的單調(diào)性,通常將交的范圍加以限制,以確保函數(shù)單調(diào)。不妨將角的范圍統(tǒng)統(tǒng)限制在銳角范圍內(nèi),得出新變量的表達(dá)式,再形式化地?fù)Q回原變量即可。 ★★★(1) 思路:令,先進(jìn)行三角換元,分項后,再用三角函數(shù)的升降冪公式。 解:令,則。 (或) (萬能公式,又時,) ★★★(2) 思路:令,三角換元。 解:令,則。 (時,) ★★★(3) 思路:令,三角換元。 解:令,則。 ★★★(4) 思路:令,三角換元。 解:令,則。 ★★★★(5) 思路:先令,進(jìn)行第一次換元;然后令,進(jìn)行第二次換元。 解:,令得: ,令,則, (與課本后答案不
14、同) ★★★(6) 思路:三角換元,關(guān)鍵配方要正確。 解:,令,則。 ★★4、求一個函數(shù),滿足,且。 思路:求出的不定積分,由條件確定出常數(shù) 的值即可。 解: 令,又,可知, ★★★5、設(shè),求證:,并求。 思路:由目標(biāo)式子可以看出應(yīng)將被積函數(shù) 分開成,進(jìn)而寫成: ,分項積分即可。 證明: 習(xí)題4-3 1、 求下列不定積分: 知識點:基本的分部積分法的練習(xí)。 思路分析:嚴(yán)格按照“‘反、對、冪、三、指’順序,越靠后的越優(yōu)先納入到微分號下湊微分?!钡脑瓌t進(jìn)行分部積分的練習(xí)。 ★(1) 思路:被積函數(shù)的形式看作,按照“反、對、冪、三、指”順序,冪函數(shù)優(yōu)先
15、納入到微分號下,湊微分后仍為。 解: ★★(2) 思路:同上題。 解: ★(3) 思路:同上題。 解: ★★(4) 思路:嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。 解: ★★(5) 思路:嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。 解: ★(6) 思路:嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。 解: ★★(7) 思路:嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。 解: ★★(8) 思路:嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。 解: ★★(9) 思路:嚴(yán)格按照“反、對
16、、冪、三、指”順序湊微分即可。 解: ★★(10) 思路:嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。 解: ★★(11) 思路:嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。 解: ★★(12) 思路:詳見第(10) 小題解答中間,解答略。 ★★(13) 思路:嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。 解: ★★(14) 思路:嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。 解: ★★(15) 思路:嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。 解: ★★(16) 思路: 將積分表達(dá)式寫成,將看作一
17、個整體變量積分即可。 解: ★★★ (17) 思路:嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。 解: ★★(18) 思路:先將降冪得,然后分項積分;第二個積分嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。 解: ★★(19) 思路:分項后對第一個積分分部積分。 解: ★★★(20) 思路:首先換元,后分部積分。 解:令,則 ★★★(21) 思路:嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。 解: ★★★(22) 思路:嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。 解:方法一: 方法二:
18、 ★★★(23) 思路:嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。 解: 令,則 所以原積分。 ★★★(24) 思路:嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。 解: 注:該題中的其他計算方法可參照習(xí)題4-2,2(33)。 ★★★(25) 思路:嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。 解: 注: 該題也可以化為 再利用分部積分法計算。 ★★★(26) 思路:將被積表達(dá)式 寫成,然后分部積分即可。 解: 2、 用列表法求下列不定積分。 知識點:仍是分部積分法的練習(xí)。 思路分析:審題看看是否
19、需要分項,是否需要分部積分,是否需要湊微分。按照各種方法完成。我們?nèi)匀挥靡话惴椒ń獬?,不用列表法? ★(1) 思路:嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。 解: ★(2) 思路:嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。 解:。 ★(3) 思路:嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。 解: ★(4) 思路:分項后分部積分即可。 解: ★(5) 思路:嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。 解: ★(6) 思路:嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。 解: ★3、已知是的原函數(shù),求。 知識點:考察原函
20、數(shù)的定義及分部積分法的練習(xí)。 思路分析:積分 中出現(xiàn)了,應(yīng)馬上知道積分應(yīng)使用分部積分, 條件告訴你是的原函數(shù),應(yīng)該知道 解: 又 ★★4、已知,求。 知識點:仍然是分部積分法的練習(xí)。 思路分析:積分中出現(xiàn)了),應(yīng)馬上知道積分應(yīng)使用分部積分。 解: 又 ★★★★5、設(shè),;證明:。 知識點:仍然是分部積分法的練習(xí)。 思路分析:要證明的目標(biāo)表達(dá)式中出現(xiàn)了,和 提示我們?nèi)绾卧诒环e函數(shù)的表達(dá)式中變出 和 呢?這里涉及到三角函數(shù)中的變形應(yīng)用,初等數(shù)學(xué)中有過專門的介紹,這里可變?yōu)椤? 證明: ★★★★6、設(shè)為單調(diào)連續(xù)函數(shù),為其反函數(shù),且 , 求:。 知識點:本題考察了一
21、對互為反函數(shù)的函數(shù)間的關(guān)系,還有就是分部積分法的練習(xí)。 思路分析:要明白這一恒等式,在分部積分過程中適時替換。 解: 又 又 習(xí)題4-4 1、 求下列不定積分 知識點:有理函數(shù)積分法的練習(xí)。 思路分析:被積函數(shù)為有理函數(shù)的形式時,要區(qū)分被積函數(shù)為有理真分式還是有理假分式,若是假分式,通常將被積函數(shù)分解為一個整式加上一個真分式的形式,然后再具體問題具體分析。 ★(1) 思路:被積函數(shù)為假分式,先將被積函數(shù)分解為一個整式加上一個真分式的形式,然后分項積分。 解: ★★★(2) 思路:被積函數(shù)為假分式,先將被積函數(shù)分解為一個整式加上一個真分式的形式,然后分
22、項積分。 解: 而 令,等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項的系數(shù)得: 解此方程組得: ★★★(3) 思路:將被積函數(shù)裂項后分項積分。 解:,令等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項的系數(shù)得: 解此方程組得: ★★★(4) 思路:將被積函數(shù)裂項后分項積分。 解:令,等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項的系數(shù)得: ,解此方程組得:。 ★★★(5) 思路:將被積函數(shù)裂項后分項積分。 解:,令 等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項的系數(shù)得: 解此方程組得:。 ★★★(6) 思路:將被積函數(shù)裂項后分項積分。 解: ;令,等式右邊通分后比較兩邊分子
23、的同次項的系數(shù)得: 解此方程組得: ★★★(7) 思路:將被積函數(shù)裂項后分項積分。 解: 令,等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項的系數(shù)得: 解此方程組得: 而 ★★★(8) 思路:將被積函數(shù)裂項后分項積分。 解: 又由分部積分法可知: ★★★(9) 思路:將被積函數(shù)裂項后分項積分。 解: 令, 等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項的系數(shù)得: 解之得: 而 ★★★(10) 思路:將被積函數(shù)裂項后分項積分。 解: 令,等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項的系數(shù)得: ;解之得:。 ★★★(1
24、1) 思路:將被積函數(shù)裂項后分項積分。 解:令,等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項的系數(shù)得: 解之得: ★★★(12) 思路:將被積函數(shù)裂項后分項積分。 解: 令,等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項的系數(shù)得: ,解之得: ★★★★★(13) 思路:將被積函數(shù)裂項后分項積分。 解: 令,等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項的系數(shù)得: 解之得: 注:由導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)可證 本題的另一種解法: 注:由導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)可證。 ★★★★★(14) 思路:將被積函數(shù)裂項后分項積分。 解: 又 注:本題再推到過程中用到如下性
25、質(zhì):(本性質(zhì)可由分部積分法導(dǎo)出。) 若記 ,其中為正整數(shù),,則必有: 。 2、 求下列不定積分 知識點:三角有理函數(shù)積分和簡單的無理函數(shù)積分法的練習(xí)。 思路分析:求這兩種積分的基本思路都是通過適當(dāng)?shù)淖儞Q化為有理函數(shù)積分去完成。 ★★(1) 思路:分子分母同除以變?yōu)楹鬁愇⒎帧? 解: ★★(2) 思路:萬能代換! 解:令,則 注:另一種解法是: ★★(3) 思路:萬能代換! 解:令,則 ★★(4) 思路:利用變換?。ㄈf能代換也可,但較繁?。? 解:令,則 ★★(5) 思路:萬能代換! 解:令,則 ★★(6) 思路:
26、萬能代換! 解:令,則 而 ★★★★(7) 思路一:萬能代換! 解:令,則 而, 令,等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項的系數(shù)得: 解之得: 思路二:利用代換! 解:令,則 令,等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項的系數(shù)得: 解之得: 注:比較上述兩解法可以看出應(yīng)用萬能代換對某些題目可能并不簡單! ★★★★(8) 思路:將被積函數(shù)分項得,對兩個不定積分分別利用代換和萬能代換! 解: 對積分,令,則 令,等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項的系數(shù)得: 解之得: 對積分,令 ★★(9) 思路:變無理式為有理式,
27、變量替換。 解:令則 ★★(10) 思路:變無理式為有理式,變量替換。 解:令 ★★(11) 思路:變無理式為有理式,變量替換。 解:令 ★★★(12) 思路:變無理式為有理式,變量替換。 解:令 ★★★(13) 思路:變無理式為有理式,三角換元。 解:令 ★★★(14) 思路:將被積函數(shù) 變形為后,三角換元。 解:令則; 注: 另一種解法,分項后湊微分。 ★★★(15) 思路:換元。 解:令,則 總習(xí)題四 ★1、設(shè)的一個原函數(shù)是,則 (A) (B) -2 (C) -4
28、 (D) 4 知識點:原函數(shù)的定義考察。 思路分析:略。 解:(B)。 ★2、設(shè),則 。 知識點:原函數(shù)的定義性質(zhì)考察。 思路分析:對條件兩邊求導(dǎo)數(shù)后解出后代入到要求的表達(dá)式中,積分即可。 解:對式子兩邊求導(dǎo)數(shù)得: ★★3、設(shè),且,求。 知識點:函數(shù)的定義考察。 思路分析:求出后解得,積分即可。 解: 又 ★★★4、設(shè)為的原函數(shù),當(dāng)時,有,且, 試求。 知識點:原函數(shù)的定義性質(zhì)考察。 思路分析:注意到,先求出,再求 即可。 解: 即 又 又 又。 5、求下列不定積分。 知識點:求不定積分的綜合考察。
29、思路分析:具體問題具體分析。 ★★(1) 思路:變無理式為有理式,變量替換。 解:令,則 ★(2) 思路:變無理式為有理式,變量替換。 解:令,則。 ★★★(3) 思路:將被積函數(shù) 變?yōu)楹髶Q元或湊微分。 解:令,則。 ★★(4) 思路:湊微分。 解: ★★(5) 思路:將被積函數(shù)進(jìn)行配方后換元或先湊微分再換元。 解:方法一: 令,則 方法二: 令 再令,則 ★★★(6) 思路:倒代換! 解:令,則 ★★★★(7) 思路:大凡被積函數(shù)的分子分母皆為同一個角的正余弦函數(shù)的線性組合的形式的積分,一般思路是
30、將被積函數(shù)的分子寫成分母和分母的導(dǎo)數(shù)的線性組合的形式,然后分項分別積分即可。 解: ★★★★(8) 思路:分項積分后對前一積分采用分部積分,后一積分不動。 解: ★★★★6、求不定積分: 知識點:分部積分法考察兼顧湊微分的靈活性。 思路分析:分項后,第二個積分顯然可湊現(xiàn)成的微分,分部積分第二個積分,第一個積分不動,合并同種積分,出現(xiàn)循環(huán)后解出加一個任意常數(shù)即可。 解: 而 ★★★★7、設(shè),求證:,并求。 知識點:分部積分法考察,三角恒等式的應(yīng)用,湊微分等。 思路分析:由要證明的目標(biāo)式子可知,應(yīng)將分解成,進(jìn)而寫成 ,分部積分后
31、即可得到。 證明: 。 ★★★8、 思路:化無理式為有理式,三交換元。 解:令,則。 ★★★9、設(shè)不定積分,若,則有。 思路:,提示我們將被積函數(shù)的分子分母同乘以后再積分。 解: 又 選。 10、求下列不定積分: 知識點:求無理函數(shù)的不定積分的綜合考察。 思路分析:基本思路——將被積函數(shù)化為有理式。 ★★★★(1)、 思路:先進(jìn)行倒代換,在進(jìn)行三角換元 。 解:令,則。 令,則。 ★★★(2)、 思路:進(jìn)行三角換元,化無理式為有理式。 解:令,則 注: ★★★(3)、 思路:進(jìn)行三角換元,化無理式為有理式。 解:令
32、,則 ★★★★★(4)、 思路:進(jìn)行三角換元,化無理式為有理式。 解:令,則 ★★★(5)、 思路:進(jìn)行三角換元,化無理式為有理式。 解:令,則 11、求下列不定積分: 知識點:較復(fù)雜的分部積分法的考察。 思路分析:基本思路——嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分。 ★★★(1)、 思路:分部積分。 解: ★★(2)、 思路:分部積分。 解: 。 ★★★★(3)、 思路:分部積分。 解: ★★★(4)、 思路:分項后分部積分。 解: ★★★★(5)、 思路:分部積分后 倒代換。 解: 對于積分應(yīng)用倒代換,令,
33、則, ★★★(6)、 思路:將被積函數(shù)變形后分部積分。 解: 。 ★★★12、求不定積分:為自然數(shù)。 知識點:較復(fù)雜的分部積分法的考察。 思路分析:基本思路——嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分,推一個遞推關(guān)系式。 解: ★★★13、求不定積分: 知識點:較復(fù)雜的分部積分法的考察。 思路分析:基本思路——嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分,分項后分別積分。 解:
34、 14、求下列不定積分: 知識點:求解較復(fù)雜的有理函數(shù)和無理函數(shù)的不定積分。 思路分析:基本思路——有理式分項、無理式化為
35、有理式。 ★★★★(1)、 思路:將被積函數(shù)化為一個整式加上一個真分式的形式,然后積分。 解: ★★★★(2)、 思路:將被積函數(shù)化為一個整式加上一個真分式的形式,然后積分。 解: 對采用倒代換,令,則。 而 ★★★★(3)、 思路:將被積函數(shù)分項后分部積分。 解: ★★★(4)、 思路:將被積函數(shù)裂項分項后積分。 解: ★★★★(5)、 思路:將被積函數(shù)分項后積分。 解:令,等式右邊通分后比較等式兩邊分子上的同次冪項的系數(shù)得:; 解之得: ★★★(6)、 思路:化無理式為有理式,第二類換元法。該題中欲同時去掉
36、,,應(yīng)令。 解:令,則 ★★★★(7)、 思路:分母有理化,換元。 解: 對于積分,令,則 對于積分,令,則 ★★★★★(8)、 思路:換元倒代換。 解:令,則 (解題過程中涉及到開方,不妨設(shè),若小于零,不影響最后結(jié)果的形式。也就是:不論正負(fù),結(jié)果都一樣。) ★★★(9)、 解答詳見習(xí)題4-4第2題的(15)題。 ★★★★★(10)、 思路:“一路”換元。 解: 令,則 令則 15、求下列不定積分: 知識點:求解較復(fù)雜的三角函數(shù)有理式的不定積分。 思路分析:基本思路——三角代換等,具體問題具體分析。 ★★★(1)、 思路:
37、萬能代換。 解:令,則 ★★★(2)、 思路:萬能代換。 解:令,則 ★★★★★(3)、 思路:將被積函數(shù)的分子1變換一下,。 解: ★★★★★(4)、 思路:注意到,而,此題易解。 解: ★★★★★(5)、 思路:將被積函數(shù)積化和差。 解: 注:另一種解法是: ★★★★★(6)、 思路:注意到被積函數(shù)的分子,分母,易解。 解: ★★★★★(7)、、 思路:萬能代換。 解:令,則,代入得: ★★★★★(8)、 思路:非常典型的解題思路----將被積函數(shù)的分子表示成分母和分母的導(dǎo)數(shù)的線性組合的形式。 解:
38、★★★★16、求 知識點:被積函數(shù)表現(xiàn)為一個分段函數(shù),則不定積分也表現(xiàn)為一個分段函數(shù)。 思路分析:基本思路——討論。 解:當(dāng)時,;而當(dāng)時,; 當(dāng)時,; 當(dāng)時, 當(dāng)時, 當(dāng)時, 由的連續(xù)性可知:設(shè) ★★★★17、設(shè)求 思路: 變量替換。 解:令,則 。 ★★★★18、設(shè)定義在上,,又在連續(xù),為的第一類間斷點,問在內(nèi)是否存在原函數(shù)?為什么? 知識點:考察對原函數(shù)定義的理解。 思路分析:反證法。 解證:假設(shè)為的一個原函數(shù),考察在點的導(dǎo)數(shù), 而 在點連續(xù),這與為的第一類間斷點矛盾! 課外典型例題與習(xí)題解答 ★★★1、 思路分析:此題屬于有理函數(shù)的
39、積分,且分母的次數(shù)大于分子的次數(shù),可使用倒代換。下面的解答采用另一種方法,仔細(xì)體會,你會收獲不??! 解: ★★★2、 思路分析:此題屬于有理函數(shù)的積分,且分子的次數(shù)大于分母的次數(shù)。經(jīng)典的解法----將被積函數(shù)寫成一個整式加上一個真分式的形式,然后分項積分。 解: ★★★3、 思路分析:經(jīng)典思路----若被積函數(shù)為弦函數(shù)的奇數(shù)次冪,則取其一次湊微分,余下部分化為余函數(shù)的形式積分即可。 解: ★★★4、 思路分析:經(jīng)典思路----若被積函數(shù)為弦函數(shù)的偶數(shù)次冪,則將被積函數(shù)降冪,然后分項積分即可。 解: ★★★5、 思路分析:經(jīng)典思路----大凡被積函數(shù)表現(xiàn)為
40、反三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等五大類基本初等函數(shù)中的某兩類的乘積的形式,則使用分部積分法求解!且按照“反、對、冪、三、指”的順序,順序排后者優(yōu)先納入到微分號下湊微分。其中“反、對、冪、三、指”依次代表“反三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)”五類函數(shù)。 解: 6、 思路分析: 湊微分。 解: 。 7、 思路分析: 湊微分。 解: 注:第一類換元法,6、7小題均為中間變量較復(fù)雜的情形,這需要大家對第3章求導(dǎo)數(shù)過程比較熟悉,請大家好好體會! 8、 解: 方法一:湊微分。注意到被積函數(shù)中有,而,這同樣需要大家對經(jīng)常出現(xiàn)的求導(dǎo)過程比較熟悉
41、。 方法二:分部積分法。先分項,再用分部積分法,注意到。 9、 思路:湊微分。三角函數(shù),且。 解: 10、設(shè)計算(2000年數(shù)學(xué)二、三) 思路:先求出,再根據(jù)分部積分法計算。 解: 令,則帶入原式得: ,故 具體求解過程見習(xí)題4-3,1(24)。 11、 (94年數(shù)學(xué)二) 思路: 分部積分法。。 解: 12、 (98年數(shù)學(xué)二) 思路: 分部積分法。 解: 13、已知,求。 思路:先求,再積分求。 解: 。 13、 (01年數(shù)學(xué)一) 思路:綜合題。 解: 14、設(shè)是連續(xù)函數(shù)的一個原函數(shù),是指的充要條件是,則下列說法正確的是 。(05年數(shù)學(xué)二) (A )是偶函數(shù)是奇函數(shù); (B) 是奇函數(shù)是偶函數(shù); (C)是周期函數(shù)是周期函數(shù); (D)是單調(diào)函數(shù)是單調(diào)函數(shù); 思路:,用排除法。 解: 對(B) 令,則為其一個原函數(shù),但非奇非偶。 (C) 令,其周期為,不是周期函數(shù)。 (D)令,單增函數(shù)。但不是單調(diào)函數(shù)。 故答案為 A。 66
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