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1、◆+◆◆二〇一九高考數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料◆+◆◆
學(xué)案29 等比數(shù)列及其前n項和
導(dǎo)學(xué)目標： 1.理解等比數(shù)列的概念.2.掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.4.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用等比數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題．
自主梳理
1．等比數(shù)列的定義
如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的________，通常用字母______表示(q≠0)．
2．等比數(shù)列的通項公式
設(shè)等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，則它的通項an＝___________
2、_.
3．等比中項：
如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項．
4．等比數(shù)列的常用性質(zhì)
(1)通項公式的推廣：an＝am·________ (n，m∈N*)．
(2)若{an}為等比數(shù)列，且k＋l＝m＋n (k，l，m，n∈N*)，則__________________．
(3)若{an}，{bn}(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan} (λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比數(shù)列．
(4)單調(diào)性：或?{an}是________數(shù)列；或?{an}是________數(shù)列；q＝1?{an}
是____數(shù)列；q<0?{an}是______
3、__數(shù)列．
5．等比數(shù)列的前n項和公式
等比數(shù)列{an}的公比為q (q≠0)，其前n項和為Sn，當q＝1時，Sn＝na1；
當q≠1時，Sn＝＝＝－.
6．等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)
公比不為－1的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為______．
自我檢測
1．(2011·蘇州模擬)如果－1，a，b，c，－9成等比數(shù)列，那么b＝________.
2．(2011·湖南長郡中學(xué)模擬)已知等比數(shù)列{an}的前三項依次為a－2，a＋2，a＋8，則an＝______________.
3．設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列，|q|>
4、1，令bn＝an＋1 (n＝1,2，…)，若數(shù)列{bn}有連續(xù)四項在集合{－53，－23,19,37,82}中，則6q＝________.
4．若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n－a，數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則實數(shù)a的值為________．
5．設(shè)f(n)＝2＋24＋27＋…＋23n＋1 (n∈N*)，則f(n)＝____________.
探究點一 等比數(shù)列的基本量運算
例1 已知正項等比數(shù)列{an}中，a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a5＋a4a6＝36，求數(shù)列{an}的通項an和前n項和Sn.
變式遷移1 在等比數(shù)列{an}中，a1＋an
5、＝66，a2·an－1＝128，Sn＝126，求n和q.
探究點二 等比數(shù)列的判定
例2 已知數(shù)列{an}的首項a1＝5，前n項和為Sn，且Sn＋1＝2Sn＋n＋5，n∈N*.
(1)證明：數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列；
(2)求{an}的通項公式以及Sn.
變式遷移2 設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)．
(1)求a2，a3的值；
(2)求證：數(shù)列{Sn＋2}是等比數(shù)列．
探究點三 等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用
例3 在等比數(shù)列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝8
6、，且＋＋＋＋＝2，求a3.
變式遷移3 (1)已知等比數(shù)列{an}中，有a3a11＝4a7，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且b7＝a7，求b5＋b9的值；
(2)在等比數(shù)列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，求a41a42a43a44.
分類討論思想與整體思想
例 (14分)設(shè)首項為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和為80，它的前2n項和為6 560，且前n項中數(shù)值最大的項為54，求此數(shù)列的第2n項．
【答題模板】
解 設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，
若q＝1，則Sn＝na1，S2n＝2na1＝2Sn.
∵S2n＝6 560
7、≠2Sn＝160，∴q≠1，[4分]
由題意得[6分]
將①整體代入②得80(1＋qn)＝6 560，
∴qn＝81.[8分]
將qn＝81代入①得a1(1－81)＝80(1－q)，
∴a1＝q－1，由a1>0，得q>1，
∴數(shù)列{an}為遞增數(shù)列．[10分]
∴an＝a1qn－1＝·qn＝81·＝54.
∴＝.[12分]
與a1＝q－1聯(lián)立可得a1＝2，q＝3，
∴a2n＝2×32n－1 (n∈N*)．[14分]
【突破思維障礙】
(1)分類討論的思想：①利用等比數(shù)列前n項和公式時要分公比q＝1和q≠1兩種情況討論；②研究等比數(shù)列的單調(diào)性時也應(yīng)進行討論：當a1>0，q
8、>1或a1<0,01或a1>0,00且q≠1)常和指數(shù)函數(shù)相聯(lián)系．(3)整體思想：應(yīng)用等比數(shù)列前n項和時，常把qn，當成整體求解．
本題條件前n項中數(shù)值最大的項為54的利用是解決本題的關(guān)鍵，同時將qn和的值整體代入求解，簡化了運算，體現(xiàn)了整體代換的思想，在解決有關(guān)數(shù)列求和的題目時應(yīng)靈活運用．
1．等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式分別為an＝a1qn－1，Sn＝
2．等比數(shù)列的判定方法：
(1)定義法：即證明＝q
9、(q≠0，n∈N*) (q是與n值無關(guān)的常數(shù))．
(2)中項法：證明一個數(shù)列滿足a＝an·an＋2 (n∈N*且an·an＋1·an＋2≠0)．
3．等比數(shù)列的性質(zhì)：
(1)an＝am·qn－m (n，m∈N*)；
(2)若{an}為等比數(shù)列，且k＋l＝m＋n (k，l，m，n∈N*)，則ak·al＝am·an；
(3)設(shè)公比不為－1的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn.
4．在利用等比數(shù)列前n項和公式時，一定要對公比q＝1或q≠1作出判斷；計算過程中要注意整體代入的思想方法．
5．等差數(shù)列與等比數(shù)列的關(guān)系是：
(1
10、)若一個數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則此數(shù)列是非零常數(shù)列；
(2)若{an}是等比數(shù)列，且an>0，則{lg an}構(gòu)成等差數(shù)列．
(滿分：90分)
一、填空題(每小題6分，共48分)
1．(2010·遼寧)設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項和．已知a2a4＝1，S3＝7，則S5＝________.
2．(2010·浙江)設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，8a2＋a5＝0，則＝________.
3．在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1＝3，前三項的和S3＝21，則a3＋a4＋a5＝________.
4．(2011·無錫模擬)等比數(shù)列{an}前n項的積為
11、Tn，若a3a6a18是一個確定的常數(shù)，那么數(shù)列T10，T13，T17，T25中也是常數(shù)的項是________．
5．記等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＝2，S6＝18，則＝________.
6．設(shè){an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若a1＝1，a5＝16，則數(shù)列{an}前7項的和為________．
7．在等比數(shù)列{an}中，公比q＝2，前99項的和S99＝30，則a3＋a6＋a9＋…＋a99＝________.
8．(2010·福建)在等比數(shù)列{an}中，若公比q＝4，且前3項之和等于21，則該數(shù)列的通項公式an＝________.
二、解答題(共42分)
9．(12分)
12、(2010·陜西)已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的通項；
(2)求數(shù)列{2an}的前n項和Sn.
10．(14分)已知數(shù)列{log2(an－1)}為等差數(shù)列，且a1＝3，a2＝5.
(1)求證：數(shù)列{an－1}是等比數(shù)列；
(2)求＋＋…＋的值．
11．(16分)已知等差數(shù)列{an}的首項a1＝1，公差d>0，且第2項、第5項、第14項分別是等比數(shù)列{bn}的第2項、第3項、第4項．
(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列{cn}對n∈N*均有＋＋…＋＝an＋1
13、成立，求c1＋c2＋c3＋…＋c2 010.
答案 自主梳理
1．公比 q 2.a1·qn－1 4.(1)qn－m (2)ak·al＝am·an
(4)遞增 遞減 ?！[動 6.qn
自我檢測
1．－3
解析 由等比數(shù)列的性質(zhì)可得ac＝(－1)×(－9)＝9，b2＝9且b與奇數(shù)項的符號相同，故b＝－3.
2．8·n－1
解析 因為{an}為等比數(shù)列，所以(a＋2)2＝(a－2)(a＋8)，解得a＝10，a－2＝8，q＝＝，
∴an＝a1qn－1＝8·n－1.
3．－9
解析 由題意：等比數(shù)列{an}有連續(xù)四項在集合{－54，－24，18,36,81}中，
14、由等比數(shù)列的定義知：四項是兩個正數(shù)、兩個負數(shù)，
故－24,36，－54,81，符合題意，則q＝－，∴6q＝－9.
4．1
解析 可用特殊值法，由Sn得a1＝3－a，a2＝6，a3＝18，由等比數(shù)列的性質(zhì)可知a＝1.
5.(8n＋1－1)
解析 由題意可知，f(n)即為一個以2為首項，公比q＝23＝8，項數(shù)為n＋1的等比數(shù)列的和．
由公式可得f(n)＝Sn＋1＝
＝＝(8n＋1－1)．
課堂活動區(qū)
例1 解題導(dǎo)引 (1)在等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式中共有a1，an，q，n，Sn五個量，知道其中任意三個量，都可以求出其余兩個量．解題時，將已知條件轉(zhuǎn)化為基本量間的關(guān)系，然后利
15、用方程組的思想求解；
(2)本例可將所有項都用a1和q表示，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和q的方程組求解；也可利用等比數(shù)列的性質(zhì)來轉(zhuǎn)化，兩種方法目的都是消元轉(zhuǎn)化．
解 方法一 由已知得：
①－②，得4aq6＝64，∴aq6＝16.③
代入①，得＋2×16＋16q2＝100.
解得q2＝4或q2＝.
又數(shù)列{an}為正項數(shù)列，∴q＝2或.
當q＝2時，可得a1＝，
∴an＝×2n－1＝2n－2，Sn＝＝2n－1－；
當q＝時，可得a1＝32.
∴an＝32×n－1＝26－n.
Sn＝＝64－26－n.
方法二 ∵a1a5＝a2a4＝a，a2a6＝a3a5，a3a7＝a4a6＝a，
16、
由
可得
即
∴解得或
當a3＝8，a5＝2時，q2＝＝＝.
∵q>0，∴q＝，由a3＝a1q2＝8，
得a1＝32，∴an＝32×n－1＝26－n.
Sn＝＝64－26－n.
當a3＝2，a5＝8時，q2＝＝4，且q>0，∴q＝2.
由a3＝a1q2，得a1＝＝.∴an＝×2n－1＝2n－2.
Sn＝＝2n－1－.
變式遷移1 解 由題意得
解得或
若則Sn＝＝＝126，
解得q＝，此時，an＝2＝64·n－1，∴n＝6.
若則Sn＝＝126，∴q＝2.
∴an＝64＝2·2n－1.∴n＝6.
綜上n＝6，q＝2或.
例2 解題導(dǎo)引 (1)證明數(shù)列是
17、等比數(shù)列的兩個基本方法：
①＝q (q為與n值無關(guān)的常數(shù))(n∈N*)．
②a＝anan＋2 (an≠0，n∈N*)．
(2)證明數(shù)列不是等比數(shù)列，可以通過具體的三個連續(xù)項不成等比數(shù)列來證明，也可用反證法．
解 (1)由已知Sn＋1＝2Sn＋n＋5，n∈N*，
可得n≥2時，Sn＝2Sn－1＋n＋4，
兩式相減得Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1，
即an＋1＝2an＋1，從而an＋1＋1＝2(an＋1)，
當n＝1時，S2＝2S1＋1＋5，
所以a2＋a1＝2a1＋6，
又a1＝5，所以a2＝11，
從而a2＋1＝2(a1＋1)，
故總有an＋1＋1＝2(an＋
18、1)，n∈N*，
又a1＝5，a1＋1≠0，從而＝2，
即數(shù)列{an＋1}是首項為6，公比為2的等比數(shù)列．
(2)由(1)得an＋1＝6·2n－1，
所以an＝6·2n－1－1，
于是Sn＝－n＝6·2n－n－6.
變式遷移2 解 (1)∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，∴當n＝1時，a1＝2×1＝2；
當n＝2時，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，∴a2＝4；
當n＝3時，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，
∴a3＝8.
(2)∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，①
∴當n≥2時，a1
19、＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1
＝(n－2)Sn－1＋2(n－1)．②
①－②得nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2＝n(Sn－Sn－1)－Sn＋2Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2.
∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2，
∴Sn＋2＝2(Sn－1＋2)．
∵S1＋2＝4≠0，∴Sn－1＋2≠0，∴＝2，
故{Sn＋2}是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列．
例3 解題導(dǎo)引 在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq”，可以減少運算量，提高解題速度．
解 由已知得
20、＋＋＋＋＝＋＋
＝＝＝2，
∴a＝4，∴a3＝±2.若a3＝－2，設(shè)數(shù)列的公比為q，
則＋－2－2q－2q2＝8，
即＋＋1＋q＋q2＝2＋2＋＝－4.
此式顯然不成立，經(jīng)驗證，a3＝2符合題意，故a3＝2.
變式遷移3 解 (1)∵a3a11＝a＝4a7，
∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝4，
∵{bn}為等差數(shù)列，∴b5＋b9＝2b7＝8.
(2)a1a2a3a4＝a1·a1q·a1q2·a1q3＝aq6＝1.①
a13a14a15a16＝a1q12·a1q13·a1q14·a1q15
＝a·q54＝8.②
②÷①：＝q48＝8?q16＝2，
又a41a42a43
21、a44＝a1q40·a1q41·a1q42·a1q43
＝a·q166＝a·q6·q160＝(a·q6)·(q16)10
＝1·210＝1 024.
課后練習(xí)區(qū)
1.
解析 ∵{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且a2a4＝1，
∴設(shè){an}的公比為q，則q>0，且a＝1，即a3＝1.
∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝＋＋1＝7，
即6q2－q－1＝0.
故q＝或q＝－(舍去)，∴a1＝＝4.
∴S5＝＝8(1－)＝.
2．－11
解析 由8a2＋a5＝0，得8a1q＋a1q4＝0，所以q＝－2，則＝＝－11.
3．84
解析 由題可設(shè)等比數(shù)列的公比為q，
則＝21?
22、1＋q＋q2＝7?q2＋q－6＝0
?(q＋3)(q－2)＝0，根據(jù)題意可知q>0，故q＝2.
所以a3＋a4＋a5＝q2S3＝4×21＝84.
4．T17
解析 a3a6a18＝aq2＋5＋17＝(a1q8)3＝a，即a9為定值，所以下標和為9的倍數(shù)的積為定值，可知T17為定值．
5．33
解析 因為等比數(shù)列{an}中有S3＝2，S6＝18，
即＝＝1＋q3＝＝9，
故q＝2，從而＝
＝1＋q5＝1＋25＝33.
6．127
解析 ∵公比q4＝＝16，且q>0，∴q＝2，
∴S7＝＝127.
7.
解析 ∵S99＝30，即a1(299－1)＝30，
∵數(shù)列a3，
23、a6，a9，…，a99也成等比數(shù)列且公比為8，
∴a3＋a6＋a9＋…＋a99＝
＝＝×30＝.
8．4n－1
解析 ∵等比數(shù)列{an}的前3項之和為21，公比q＝4，
不妨設(shè)首項為a1，則a1＋a1q＋a1q2＝a1(1＋4＋16)＝21a1＝21，∴a1＝1，∴an＝1×4n－1＝4n－1.
9．解 (1)由題設(shè)知公差d≠0，
由a1＝1，a1，a3，a9成等比數(shù)列，
得＝，…………………………………………………………………………(4分)
解得d＝1或d＝0(舍去)．
故{an}的通項an＝1＋(n－1)×1＝n.……………………………………………………(7分)
(2
24、)由(1)知2an＝2n，由等比數(shù)列前n項和公式，
得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝
＝2n＋1－2.………………………………………………………………………………(12分)
10．(1)證明 設(shè)log2(an－1)－log2(an－1－1)＝d (n≥2)，因為a1＝3，a2＝5，所以d＝log2(a2－1)－log2(a1－1)＝log24－log22＝1，…………………………………………………………(3分)
所以log2(an－1)＝n，所以an－1＝2n，
所以＝2 (n≥2)，所以{an－1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列．………(6分)
(2)解 由(1)可得an－1
25、＝(a1－1)·2n－1，
所以an＝2n＋1，…………………………………………………………………………(8分)
所以＋＋…＋
＝＋＋…＋
＝＋＋…＋＝1－.………………………………………………………………(14分)
11．解 (1)由已知有a2＝1＋d，a5＝1＋4d，a14＝1＋13d，
∴(1＋4d)2＝(1＋d)(1＋13d)．
解得d＝2(d＝0舍)．……………………………………………………………………(2分)
∴an＝1＋(n－1)·2＝2n－1.………………………………………………………………(5分)
又b2＝a2＝3，b3＝a5＝9，
∴數(shù)列{bn}的公比為
26、3，
∴bn＝3·3n－2＝3n－1.………………………………………………………………………(8分)
(2)由＋＋…＋＝an＋1得
當n≥2時，＋＋…＋＝an.
兩式相減得：當n≥2時，＝an＋1－an＝2.……………………………………………(10分)
∴cn＝2bn＝2·3n－1 (n≥2)．
又當n＝1時，＝a2，∴c1＝3.
∴cn＝.………………………………………………………………(12分)
∴c1＋c2＋c3＋…＋c2 010
＝3＋＝3＋(－3＋32 010)＝32 010.…………………………………………(16分)
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